2025届高三数学一轮总复习 第二章 第三讲 函数的奇偶性与周期性

第三讲函数的奇偶性与周期性第二章函数、导数及其应用奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称1.函数的奇偶性【名师点睛】(1)常见的奇函数有f(x)＝xk(k为奇数)，f(x)＝sinx，f(x)＝tanx，＝c(c为常数)，f(x)＝xk(k为非零偶数)，f(x)＝cosx，f(x)＝g(|x|). (2)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【名师点睛】函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).3.函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.考点一判断函数的奇偶性)[例1](1)已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(A.f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)解析：将函数f(x)＝x·|x|－2x去掉绝对值得画出函数f(x)的图象，如图2-3-1，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，图2-3-11)上单调递减.故选C.答案：C(2)(多选题)(2023年辽宁省月考)已知f(x)是定义在R上不恒为)0的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，则( A.f(f(x))为奇函数 B.g(g(x))为奇函数 C.f(g(x))为偶函数 D.g(f(x))为偶函数解析：由题意可知，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(f(－x))＝f(f(x))，即f(f(x))为偶函数，A项错误；g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，即g(g(x))为奇函数，B项正确；因为f(g(－x))＝f(g(x))，即f(g(x))为偶函数，C项正确；因为g(f(－x))＝g(f(x))，即g(f(x))为偶函数，D项正确.答案：BCD【题后反思】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称.(3)在两函数的公共定义域中：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶.②f(x)＝【变式训练】给定四个函数：①f(x)＝－3x4；

12x＋1；③f(x)＝3x，x∈[－1，2]；④f(x)＝5x＋7.其中奇函数的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：对于①，因为f(－x)＝－3(－x)4＝－3x4≠－f(x)，即f(x)不是奇函数；所以函数的定义域不关于原点对称，即f(x)不是奇函数；对于③，函数的定义域为[－1，2]，所以函数的定义域不关于原点对称，即f(x)不是奇函数；对于④，因为f(－x)＝－5x＋7≠－f(x)，即f(x)不是奇函数，即奇函数的个数为0.故选A.答案：A考点二根据函数的奇偶性求参数的值或范围∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0.故选B.答案：B答案：C【题后反思】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题. (3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称[关于点(a，0)对称].【变式训练】答案：±1ax＋1＋cosx，

若f(x)为偶函数，则f(－x)＝x2＋2x－ax＋1＋cosx＝x2－2x＋ax＋1＋cosx＝f(x)，

变形可得(a－2)x＝0在R上恒成立，必有a＝2.答案：2考点三函数性质的综合应用考向1单调性与奇偶性的综合问题

通性通法：(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，实现不等式的等价转化.(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用.[例3]已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

)A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，则f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.答案：C考向2周期性与奇偶性的综合问题

通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

[例4](2023年未央区模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax3＋2x＋a＋1，则f(2023)＝()A.－3C.1

B.－1D.3解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，则当x∈[0，1]时，f(x)＝－x3＋2x，∵奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2)＝－1.故选B.答案：B考向3单调性、奇偶性与周期性的综合问题

通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数另一区间上的性质.【常用结论】函数图象的对称性与函数周期性的关系(1)若y＝f(x)的图象既关于x＝a对称，也关于x＝b对称，则|2(a－b)|是f(x)的一个周期.(2)若y＝f(x)的图象既关于(a，0)对称，也关于(b，0)对称，则|2(a－b)|是f(x)的一个周期.(3)若y＝f(x)的图象既关于x＝a对称，也关于(b，0)对称，则|4(a－b)|是f(x)的一个周期.[例5](多选题)(2023年南平市期末)若定义在R上的奇函数f(x))满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x，则( A.y＝f(x＋1)为偶函数 B.f(x)在(3，5)上单调递增 C.f(x)在(－3，－1)上单调递增 D.f(x)的最小正周期T＝4解析：由f(x)＝f(2－x)得函数f(x)的图象关于x＝1对称，函数f(x＋1)的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以函数f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以函数f(x＋1)是偶函数，故A正确；由f(x)＝f(2－x)得f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)，f(x)的最小正周期为4，故D正确；当x∈(0，1]时，f(x)＝x，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[－1，0)时，f(x)＝x，且f(0)＝0，

所以f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，

因为f(x)的最小正周期T＝4，所以f(x)在(3，5)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，故B正确，C错误.故选ABD.答案：ABD

【考法全练】

1.(考向1)(2020年全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]

解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图D2(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图D2(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.(1)(2)图D2答案：D2.(考向3)(多选题)(2023年邵阳市月考)已知函数f(x)＝

A.f(x－3)是奇函数 B.f(x－3)是偶函数 C.f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)上是减函数 D.f(x)有最大值

根据复合函数单调性同增异减可知：f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)上是减函数，C选项正确；

由于f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)上是减函数，但f(x)的定义域是{x|x≠－3}，所以f(x)没有最大值，D选项错误.故选BC.答案：BC

3.(考向2)(2023年蒙城县校级三模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，若x∈[0，1]时，f(x)＝x，则f(11)的值为____________.解析：根据题意，奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，则有f(2－x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，变形可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(11)＝f(－1＋12)＝f(－1)＝－f(1)，而x∈[0，1]时，f(x)＝x，则f(1)＝1，故f(11)＝－f(1)＝－1.答案：－1⊙函数奇偶性、周期性的应用

函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出函数奇偶性的拓展及应用.(1)若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.

(2)已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.(3)若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称.(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|).解析：易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数.当x≥0答案：A答案：