高考数学二轮复习 考前回扣7 立体几何讲学案 理-人教版高三全册数学学案

回扣7立体几何

IT基础回归--------------------

1.概念理解

（1）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关

系.

底面是平行四边形

1四棱柱卜-•I平行六面体1

侧直侧直

棱底棱底

垂面垂面

底面是平行四边形

「且十仃八回1公1

底正

面苏面露

为形为形

棱长」if方二极长

相等［正方体|相等_|¥士侏I

（2）三视图

①三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察

几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.

②三视图排列规则：俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图一样；侧（左）视图放

在正（主）视图的右面，高度和正（主）视图一样，宽度与俯视图一样.

2.柱、锥、台、球体的表面积和体积

侧面展开图表面积体积

直棱柱长方形S=2S底+S侧-s底•力

圆柱长方形S=2Jir+2兀rlV=r91

1

棱锥由若干三角形构成5=5底+5侧—底•h

o

12

圆锥扇形S=兀r+兀rl—§兀r•h

金+

棱台由若干个梯形构成S=S上底+S下底+S侧J

S')-h

f

S=兀/?+兀(r+r)7+f

圆台扇环—［兀｛r~\~rr'+r

2

JIr

2)•h

5=1nr

球5=4Jir

3.平行、垂直关系的转化示意图

(1)

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

线线线面垂直的判定.线面1面面垂直的判定.面面

垂直线面垂直的性质垂直面面垂直的性质垂直

面面垂直的性质

⑵两个结论

a_La//b1

①a//b,②r=>bX.a.

bA_a\a±a\

4.用空间向量证明平行垂直

设直线，的方向向量为a=(4,b\,ci),平面a,£的法向量分别为〃=3，也,c2),v

=(a3,b,,GJ).则有：

⑴线面平行

J〃a=aJ_〃=a・。=0=@1&+6立+QC2=0.

(2)线面垂直

7±aoa〃B=a=kN=a、=kai,b\—kbi,Ci=kd.

(3)面面平行

a〃£=〃〃「<=>〃=1roa2=Aas,bi—bi,c2—Cs.

(4)面面垂直

aJ_•片0=a2a3+Z%庆+c2c3=0.

5.用向量求空间角

⑴直线Z,心的夹角《有cos«=|cos〈4,珀|(其中Z,乙分别是直线为，心的方向向

量）.

（2）直线/与平面。的夹角夕有sin夕=|cos〈/,n）|（其中/是直线/的方向向量，n

是平面a的法向量）.

（3）平面a,£的夹角夕有cos«=|cos〈4，加,贝！］。一/一£二面角的平面角为9

或it—0（其中恐分别是平面a,B的法向量）.

ET易错提醒----------------------

1.混淆“点/在直线a上”与“直线a在平面a内”的数学符号关系，应表示为/da,

aca.

2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮

廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正（主）

视图和俯视图为主.

3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面

面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数）

4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中

的条件，导致判断出错.如由aC8=1,mil,易误得出九L£的结论，就是因

为忽视面面垂直的性质定理中归a的限制条件.

5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不

变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位

置与数量关系.

6.几种角的范围

两条异面直线所成的角0°<aW90°；

直线与平面所成的角0°WaW90°；

二面角0°WaW180。；

两条相交直线所成的角（夹角）0°；

直线的倾斜角0°Wa〈180°；

两个向量的夹角0°WaW180。；

锐角0°<^<90°.

7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几

何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导

致出错.

m回归训练

1.（2017•重庆外国语学校月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

JI

C.-D.Ji

答案D

334

3

解析由三视图可知，该几何体为球的彳，其半径为1,则体积r=7X-XJrxi=n.

2.直三棱柱/反-48K的直观图及三视图如图所示，，为/。的中点，则下列命题是假命题

的是（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

A.阳〃平面劭G

B.4C_L平面劭G

C.直三棱柱的体积「=4

D.直三棱柱的外接球的表面积为4/n

答案D

解析由三视图可知，直三棱柱A6G4反G的侧面60是边长为2

的正方形，底面/8C是等腰直角三角形，ABVBC,AB=BC=2.

连接BK交BQ于点0,连接0D.

B

在中，0,，分别是6C,/C的中点，

：.0D//AB,,C,

又Ofc平面〃居，46H平面初G,

平面劭G.故A正确；

在直三棱柱ABC-461G中，44_L平面ABC,

:.AA'LBD.又AB=BC=2,〃为/C的中点，

J.BDLAC,

又/4C/C=4M,47u平面册KG

.•.皮?_L平面/4GC：

：.BDVAxC.

又48_L6iG,AiBdBB

.,.4合_1_平面BiCiCB,

••A\B\A_BC\.

,:B&LaC,且AiB1cBic=R,

aU平面AiBtC.

：.BG±AiC,

又BDCB£=B,BD,6Gu平面初G,

...4C_L平面劭G.故B正确；

片=8胸XGC=；X2X2X2=4,故C正确；

此直三棱柱的外接球的半径为十，其表面积为12m,D错.故选D.

3.已知直线/,力和平面a,则下列结论正确的是（）

A.若1//m,归a,则/〃。

B.若7_LQ,归a,贝ljl.\_m

C.若l_Lm,7_LQ,则m//Q

D.若/〃a,。，贝1Jl//m

答案B

解析若1//m,归a,贝!]/〃。或Jua,故A错误；若/_L。，归a,则B正确；

若ILm,/_!_a,则y»ca或m//a,故C错误；若/〃a,maa,则/〃加或/,勿异面，

故选B.

4.己知互相垂直的平面a,£交于直线/.若直线如〃满足0〃a,贝)

A.m//1B.m//n

C.nilD.mln

答案C

解析由题意知，aC8=1,：.luB,

故选C.

5.已知r,〃为异面直线，0_L平面a,平面£.直线/满足/_!_〃，l^_n,IQa,及B,

则()

A.a〃£且/〃a

B.。_1£且八£

C.a与£相交，且交线垂直于1

D.。与£相交，且交线平行于1

答案D

解析假设。〃£,由旌L平面a,〃_L平面£,得小〃A,这与已知如〃为异面直线矛盾,

那么。与£相交，设交线为4,则，，如hl.n,在直线加上任取一点作小平行于〃，那

么，和,都垂直于直线口与4所确定的平面，所以△〃).

6.如图，正方体/G的棱长为1,过点力作平面4曲的垂线，垂足为点〃

以下四个命题：①点〃是加的垂心；②/〃垂直于平面组”；③直线

和掰所成角为45°；④四的延长线经过点G,其中假命题的个数为

()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析'：AB=AAl=AD,BA\=BD=A\D,

三棱锥力一物防为正三棱锥，

.,.点〃是劭的垂心，故①正确;

:平面4初与平面反勿平行，平面4劭,

平面CBM,故②正确；

'：AAJ/BB„

：.24■就是直线/〃和阳所成的角，

在直角三角形4处中，

・・・力4=1,4〃='|义半x/=平，

sinXAiA/f=^~7^~^j故③错误；

04

根据正方体的对称性得到的延长线经过Q,

故④正确，故选B.

7.将正方体的纸盒展开如图，直线切在原正方体的位置关系是（）

A.平行B.垂直

C.相交成60°角D.异面且成60°角

答案D

解析如图，直线48切异面.因为磔'〃/8所以/氏/即为直线/氏切所成的角，因为

应为等边三角形，故/反3=60°.

8.长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5,则该球面的表

面积为（）

A.25兀B.50Ji

125蛆

C.75兀D.—不一兀

答案B

解析设球的半径为尼由题意可得（2而2=32+于+52=50,，4川=50,球的表面积为S=

4兀4=50兀.

9.如图，三棱锥力一夕切的棱长全相等，点£为/〃的中点，则直线四与初所成角的余弦

值为（）

A

V63RV23

答案A

解析方法一取四中点G,连接CG.

为49中点，：.EG//BD.

曲「为CF与劭所成的角.设48=1,

11

则nlEG=-^BD=-,

VI

CE=CG=看,

,E4+EE—GG

..cos/GK_2XEGXEC

V63

方法二设45=1,则无'•筋=（益一亦•（花一葩）=（同一司•

（AD-A5）

=；而一;茄。诵一於•花+花，茄

11

---

2260—cos60°+cos60°=-

4

1

砺4-

V63

/.cos〈CE,BD)-故选A.

2

10.已知正三棱柱相。一464的侧棱长与底面边长相等，则眼与侧面ZGG4所成角的正弦

值等于（)

A近

A-4B-迎4

花

答案A

解析如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2,则

。(0,0,0),8((,0,0),4(0,-1,0),BAyfi,0,2),则诵】=(十,

1,2）,则瓦上（一:，0,0）为侧面4M4的法向量,

宓.的乖

故sin0—

4,

Ml\B0\

11.如图，在空间四边形力6切中，点、MGAB,点NGAD,若言=诉则直线腑与平面6%

MbINU

的位置关系是

答案平行

解析由暗=嗡，得如■〃薇

MDND

而〃七平面初C,■平面初C,

所以册■〃平面及心

12.己知长方体/以力一/B'CD',E,F,G,〃分别是棱BB',B'0,DD'的中

点，从中任取两点确定的直线中，与平面48,D'平行的有条.

答案6

解析如图，连接为EH,FG,,：EH^FG,

瓦诩四点共面，由EG//AB',EH//AD',

EGCEH=E,AB'C\AD'=4,

可得平面防阳与平面"夕D'平行,

.•.符合条件的共有6条.

13.点尸在正方形相切所在平面外，见，平面PA=AB,则以与〃所成角的大小是

、兀

答案T

解析以/为原点，所在直线为x轴，/〃所在直线为y轴，/尸所在直线为z轴建立空间

直角坐标系，设正方形/阅9的边长为1,则2(0,0,0),户(0,0,1),6(1,0,0),C(l,1,0),面

=(1,0,—1),AC=(1,1,0),因此

1+0X1+0X(―1)_______1

cos{PB,AC)\jf+O2+(-1)2•^/l2+f+025'

JI

因此阳和AC所成的角为60°,即亍

14.设勿，〃是不同的直线，a,0,尸是不同的平面，有以下四个命题:

=£〃/；②彳01n工£；

①]a//y[m//a

m.La,\m//n,

=a_L£；=s〃a.

m//B[77ca

其中，正确的命题是.(填序号)

答案①③

解析①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中如£可能平行，相交或直线在平

面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中如。可能平行或线在面内.

15.如图(1),在边长为4的菱形画/中，/物6=60°,点£,尸分别是边切，"的中点,

ACCEF=O,沿必将△呼翻折到△阳；连接PB,PD,得到如图⑵所示的五棱锥产一

ABFED,且PB=4.

(1)

⑴求证：BD1PA；

(2)求四棱锥，一〃物的体积.

(1)证明：点反尸分别是边切，⑵的中点,

C.BD//EF.

•••菱形48切的对角线互相垂直，

C.BDLAC.

：.EFLAC.

C.EFLAO,EF1PO.

,：AOC2POA,尸平面P小，AOCPgO,

.•.既L平面POA,

...皮LL平面POA,

又PAc.平面POA,

C.BDLPA.

⑵解设AOCBAH.

连接被

•：/DAB=6Q°,

.•.△/初为等边三角形，

.,.做=4,BH=2,

//A=2y[3,HO=PO=y^>,

在Rt△掰9中，方。=七胡+