2025高考备考数学知识点第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解4个基本事实和定理.平面的基本性质及应用2020新高考卷ⅠT16；2020全国卷ⅡT16；2020全国卷ⅢT19该讲是立体几何的基础，主要以客观题的形式出现，考查平面的基本性质及应用（如作截面），线线位置关系的判定等，难度中等.在2025年高考备考中要侧重对基本性质的理解和应用.空间直线、平面间的位置关系2023上海春季T15；2021新高考卷ⅡT10；2019全国卷ⅢT8学生用书P1421.平面的基本性质（1）三个基本事实基本事实1过①不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3如果两个不重合的平面②有一个公共点，那么它们有且只有③一条过该点的公共直线.（2）三个推论利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条④相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条⑤平行直线，有且只有一个平面.2.空间中直线间的位置关系共面直线（1）过平面外一点A和平面内一点B的直线，与平面内不过点B的直线是异面直线；（2）异面直线既不平行，也不相交；（3）异面直线不具有传递性，即若直线a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c不一定是异面直线.3.空间中直线、平面间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α⑥无数个平面与平面平行α∥β⑦0个相交α∩β＝l无数个说明分别在两个平行平面内的直线平行或异面.1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（D）A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M2.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等，则这条直线与该平面平行B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行C.若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面D.不共面的四点中，任意三点都不共线解析对于A，直线也可能在平面内或与平面相交；对于B，两平面也可能相交；易知C，D正确.3.[多选]如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（CD）A.AF与CN平行 B.BM与AN是异面直线C.AF与BM是异面直线 D.BN与DE是异面直线解析把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AF与CN是异面直线，故A错误；BM与AN平行，故B错误；BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，故AF与BM是异面直线，故C正确；DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，故BN与DE是异面直线，故D正确.学生用书P143命题点1平面的基本性质及应用例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：（1）D，B，F，E四点共面.（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.（3）DE，BF，CC1三线交于一点.解析（1）如图所示，连接B1D1.由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.（2）记A1，C，C1三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点.同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.（3）因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.方法技巧1.证明点共线问题的常用方法基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上.纳入直线法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.训练1如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，AA1的中点.（1）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由.（2）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线.解析（1）如图1所示，直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线，理由如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行， 图1所以在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA，则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P，所以P∈AD，P∈D1F.因为DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F，所以P∈平面ABCD，P∈平面BED1F，即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点.连接PB，又B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，所以直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.（2）如图2所示，连接BD1，BD，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形.因为H为直线B1D与平面BED1F的交点，所以H∈B1D， 图2又B1D⊂平面BB1D1D，所以H∈平面BB1D1D，又H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，所以H∈BD1，所以B，H，D1三点共线.命题点2空间直线、平面间的位置关系例2（1）[2023上海春季高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 （B）A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C解析对于A，如图1，当点P为A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则P在B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1共面，故A错误；图1 图2对于B，如图2，连接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C，D错误.故选B.（2）[2023高三名校联考（一）]设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是（B）A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m解析A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误；B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确；C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误；D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误.故选B.图1 图2方法技巧1.判断空间直线、平面间的位置关系时，注意对平面的基本性质及有关定理的应用.2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时，常借助几何模型（长方体、正方体）或实物（墙角、桌面等）.3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.训练2若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（D）A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条直线相交D.l至少与l1，l2中的一条直线相交解析解法一（反证法）若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条直线相交.解法二（模型法）如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.1.[命题点1]到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（C）A.1 B.4 C.7 D.8解析当空间四点A，B，C，D不共面时，则四点构成一个三棱锥.当平面一侧有一个点，另一侧有三个点时，如图1，当平面过AD，BD，CD的中点时，满足条件.因为三棱锥有4个面，则此时满足条件的平面有4个. 图1 图2当平面一侧有两个点，另一侧有两个点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有3对，则此时满足条件的平面有3个.所以满足条件的平面共有7个.故选C.2.[命题点2/多选]已知G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则下列表示直线GH，MN是异面直线的图形是（BD）A B C D解析A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面.学生用书·练习帮P3311.[2024广东省深圳市第二高级中学模拟]已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（B）A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面解析如图1，可得a，b，c可能两两垂直；如图2，可得a，b，c可能两两相交；如图3，可得a，b，c可能两两异面.故选B.图1 图2 图32.[2024河南焦作模拟]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（B）A.α∥β，l∥αB.α与β相交，且交线平行于lC.α⊥β，l⊥βD.α与β相交，且交线垂直于l解析若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交.设α∩β＝a，过空间内一点P，作m'∥m，n'∥n，m'与n'相交，设m'与n'确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m'，l⊥n'，故l⊥γ，因为m⊥α，n⊥β，所以m'⊥α，n'⊥β，所以a⊥m'，a⊥n'，所以a⊥γ，又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合，所以l∥a.故选B.3.[多选/2024贵州省遵义市南白中学联考]已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（BC）A.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B.若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线C.若α∥β，a⊂α，则a∥βD.若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交解析选项正误原因A✕若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面.B√若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行.C√若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a⊂α，所以a∥β.D✕若α∩β＝b，a⊂α，则当a∥b时，a∥β.4.[多选/2023广东省广州市模拟]已知直线l与平面α相交于点P，则下列结论正确的是（ABD）A.α内不存在直线与l平行B.α内有无数条直线与l垂直C.α内所有直线与l是异面直线D.至少存在一个过l且与α垂直的平面解析直线l与平面α相交于点P，故α内不存在直线与l平行，A正确.若l⊥α，则α内的所有直线都与l垂直；若l与α不垂直，设与l在平面α内的射影垂直的直线为n，则平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，B正确.平面α内过点P的直线与l相交，C错误.若l⊥α，则过l的任一平面都与α垂直；若l与α不垂直，取l上异于点P的一点Q，过Q作QM⊥平面α于点M，则平面PQM⊥α，D正确.故选ABD.5.[多选/2023高三名校模拟]下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是（ABC）A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线D.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；若a∥b，则a，b确定一个平面，且a，b分别与直线c，d的交点都在此平面内，则c，d共面，与c，d是异面直线矛盾，所以直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线（c，d中的一条直线过a，b的交点），故C不正确；如图，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确.故选ABC.6.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（B）A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析设CD的中点为O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过点M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝（32）2＋（32）2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN7.[多选/2024云南昆明高三校考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，BC，CD，B1C1的中点，则下列结论正确的是（AC）A.AF∥平面A1DEB.AG∥平面A1DEC.A1，D，E，H四点共面D.A1，D，E，C1四点共面解析如图1，取A1D的中点M，连接AM，EF，ME，BC1，则EF∥BC1，EF＝12BC1，AM∥BC1，AM＝12BC1，所