第03讲 因式分解 精讲（解析版）数-高一数学学初升高衔接精讲精练（人教A版2019）

第03讲因式分解（精讲）

目录

一、知识巩固与延伸..................................................1

1、因式分解定义..................................................1

2、提公因式法....................................................1

3、公式法：......................................................1

4、十字相乘法....................................................2

5、分组分解法....................................................3

6、求根公式法....................................................3

二、高中相关知识....................................................3

二、重点题型剖析....................................................3

题型一：提公因式法因式分解.......................................3

题型二：运用公式法分解因式.......................................5

题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算.................11

题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解....................13

题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解..................16

题型六：含参数的十字相乘法.....................................20

题型七：十字相乘法的综合应用...................................20

题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）.................22

题型九：因式分解的应用..........................................28

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一、知识巩固与延伸

一、初中知识再现

1、因式分解定义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.

2、提公因式法

（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化

成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如：出?+ac=a（h+c）

（2）概念内涵：

①因式分解的最后结果应当是“积”；

②公因式可能是单项式，也可能是多项式；

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即：ma+mb-mc=m（a+b-c）

3、公式法：

3.1公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

a2-b2=（a+b）（a-h）

特别说明：

（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整

式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母4和匕的广泛意义，。、8可以是字母，也可以是单项式或多

项式.

3.2公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+h）2,a2-lab+b2=（a-b）2.

形如〃+29?+〃，a2-2ah+b2的式子叫做完全平方式.

特别说明：

（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积

的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母a和人的广泛意义，。、。可以是字母，也可以是单项式或多

项式.

4,十字相乘法

4.1十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

,{pq-c.

对于二次三项式+6x+c,若存在{,,则f+/?x+c=（x+p）（x+q）

p+q=b

特别说明：

（1）在对/+法+c分解因式时，要先从常数项。的正、负入手，若c>o,则同号

（若c<0,则，，4异号），然后依据一次项系数b的正负再确定P,4的符号

（2）若V+^x+c中的匕，c为整数时，要先将。分解成两个整数的积（要考虑到分解的各

种可能），然后看这两个整数之和能否等于方，直到凑对为止.

4.2首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式以2+法+4。工0）中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

a=ata2,常数项c可以分解成两个因数之积，即。=。。2,把排列如下：

%

1

a2

«1匕2+72cl

按斜线交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三项式必2+反+0(。力0)

的一次项系数力，即4£2+%。=人，那么二次三项式就可以分解为两个因式qx+q与

之积即2

a2x+c2，ax+bx+c=(a,x+ct)(a2x+c2).

特别说明：

(1)分解思路为''看两端，凑中间”

(2)二次项系数。一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项

式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

5、分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步

处理的方法，即把这个多项式分成儿组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解

——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

6、求根公式法

对于一元二次方程以2+灰+。=0(。/0),当△=〃_4acN0时，一元二次方程

ox7+法+。=0(。70)有两个实数根，记为：=一)土'"二皿.此时对应的二次三项

以2a

式+匕尤可分解为：2

ax?+(?(“/0)ax+hx+c=a(x-x^x-x2).

二、高中相关知识

1、乘法公式中的立方和、立方差公式：

①(a+b)(“2—ab+b2)=a3+b3

(2)(tz-£>)(tz2+ab+b2)=a3-b3

2、因式分解中的立方和、立方差公式

①/+h}-(a+b)(a2-ab+b2)

②a，-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

二、重点题型剖析

题型一：提公因式法因式分解

典型例题

例题1.（2023秋•江苏南通•八年级统考期末）已知24-3=%，4（r-3ab+b2=\\,则

2/b-加的值为（）

A.3B.6C.8D.11

【答案】B

【详解】解：；2a-3=b,

la—b=3,

0"*4a2-3ab+b2=11,

4a2-4ab+b2+ab=\\,BP（2a-b^+ab=11,

32+"=11,

/.ab=2,

2a2h-ab2

=ab（2a-b）

=2x3

=6.

故选：B.

例题2.（2023秋•上海宝山•七年级校考期末）分解因式：4->-12孙=.

【答案】4xy（x-3）

【详解】解：4x2y-12xy

=4xy（x-3）,

故答案为：4xy（x-3）.

例题3.（2023•全国•九年级专题练习）分解因式：（x-2y）（2x+3y）-2（2y-x）（5x+3y）.

【答案】3（x-2y）（4x+3y）

【详解】解：（x-2y）（2x+3y）-2（2y-x）（5x+3y）

=（x-2y）（2x+3y）+2（x-2y）（5x+3y）

=（x-2y）［2x+3y+2（5x+3y）］

=（x—2y）（12x+9y）

=3（x-2y）（4x+3y）

题型归类练

1.（2023秋•河南开封•八年级统考期末）分解因式6_</+15孙%的结果是.

【答案】3孙Y2孙+5z）

【详解】解：原式=3孙Y2孙+5z）.

故答案为：3孙Y2孙+5z).

2.(2023秋•上海浦东新•七年级校考期中)分解因式：x2y+5xy=.

【答案】W(x+5)

【详解】解：x2y+5xy=Ay(x+5).

故答案为：孙(x+5).

3.(2023•全国•九年级专题练习)因式分解：(2x-a)3+3a(a-2x)2.

【答案】2(2x-a)2(x+a)

【详解】解：原式=(2x-a)2(2x-a+3a)

=(2x-a)-(2x+2a)

=2{2x—a)~(x+fl).

题型二：运用公式法分解因式

典型例题

例题1.(2023春•七年级课时练习)对多项式+4孙进行因式分解，结果正确的是

()

A.x2-2xy+y2B.x2+2xy+y2C.(x+y)2D.(x-y)2

【答案】C

【详解】解：(x—yy+4冲

=x2-2xy+y2+4xy

=x2+2xy^y2

=(x+»

故选：C

例题2.(2023秋•湖北武汉•八年级统考期末)(1)计算：(a+l)(a-3)；

(2)因式分解：(x+»-(2x)-

【答案】(1)a2-2a-3;(2)(3x+y)(y-x)

【详解】(1)(«+1)(«—3)=a2+a-3a—3=a2-2a—3

(2)(x+y)2_(2x)2=(x+y+2x)(x+y_2x)=(3x+y)(y-x)

例题3.(2023秋•山东滨州•八年级统考期末)阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式“小+法+或。4。)变形为a(x+〃?)2+〃的形式，我们把这

样的变形方法叫做多项式“Y+bx+c,的配方法.

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.

例如:X2-9X+14=X2-9X++14

95

x------

22

=(x-7)(x-2)

根据以上材料，解答下列问题：

⑴用多项式的配方法将+2x-1化成(X+⑼2+〃的形式；

(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式X?-5X-24进行分解因式的解答过程,

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并

用“”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：

解：x?-5x-24

=X2-5X+52-52-24

=(x-5)2-25-24

=(x-5+7)(x-5-7)

=(x+2)(x-12)

(3)求证：x,取任何实数时，多项式x2-2y+V-4x+14的值总为正数.

【答案】(1)(X+1)2-2

⑵见解析

⑶证明见解析

【详解】(1)X2+2X-1

=X2+2X+12-12-1

=(x+l)—2；

(2)如图所示：

解：X2-5X-24

=X2-5X+52-5、24

=(x-5)2-25-24

=(x-5+7)(x-5-7)

=(x+2)(x-12)

正确的解答过程：x2_5x_24=f_5x+(|)--24

=(x+3)(x-8)；

(3)证明：x2-2y+y2-4x+7

=(x?-4x+4)+(y2-2y+i)+2

=(X-2)2+(^-1)2+2>2,

故x,.y取任何实数时，多项式V-2丫+)，2-4》+7的值总为正数.

例题4.(2023秋•湖北武汉•八年级统考期末)因式分解：

(1)+-4(7%+〃)+4；

⑵2f—18.

【答案】⑴(〃，+〃—2)2

(2)2(X+3)(X-3)

【详解】(1)解：-4(/+〃)+4

=[(加+〃)-2丁

(2)解;2*2-18

=2(X2-9)

=2(x+3)(x-3).

例题5.(2023春江苏七年级专题练习)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(/-4x+6)+4

进行因式分解的过程.

解：设

原式=(y+2)(y+6)+4

=V+8y+16

=(y+4)2

=1-4x+4)-

回答下列问题:

(1)该同学因式分解的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”)，若不

彻底，请写出因式分解的最后结果;

⑵以上方法叫做“换元法”.请你模仿以上方法对卜2-2》乂/-2》+2)+1进行因式分解.

【答案】⑴不彻底，(%-2)4

⑵(1)4

【详解】(1)•••(X2-4X+4)2=(X-2)4,

.­,该同学因式分解的结果不彻底，

故答案为：不彻底，(%-2)4；

(2)设x?-2x=y,

(x2-2x)(x?-2x+2)+l

=y(y+2)+l

=/+2y+l

=(y+i>

=(x?-2x+l『

=(X-l)4,

故答案为：(X-1)4.

题型归类练

1.(2023•全国•九年级专题练习)分解因式：X4-2X2/+/=.

【答案】(x+y>(x-y)2

【详解】解：x4-2x2y2+/=(x2-y2)2=(x+y)\x-y)2,

故答案为:(x+y)“x-y)2.

2.(2023秋•四川南充•八年级统考期末)分解因式：

⑴M-16；

(2)a2(x-y)+2ab(y-x)-b2(y-x).

【答案】⑴(>+4)5+2)(〃L2)

⑵(x-y)(a-b)2

【详解】(1)解：〃"-16

="+4)(济-4)

=(/+4)(m+2)(〃1-2).

12

(2)解：a(<x-y)+2ab(y-x)-b(y-x)

=a2(x-y)-2«/?(x-y)+&2(x-^)

=(x-y)(/-2a/?+〃)

=(x-y)(a-Z>)2.

3.(2023秋•四川眉山•八年级校考阶段练习)下面是某同学对多项式

(x2-以+2心2-以+6)+4进行因式分解的过程.

解：设f-4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=/+8:y+I6(第二步)

=(y+4>(第三步)

=(X2-4X+4)2(第四步)

回答下列问题：

⑴该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？

⑵该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.

⑶请你模仿以上方法尝试对多项式(丁-2*(1-2x+2)+l进行因式分解.

【答案】⑴用完全平方公式分解因式

(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为(x-2?

(3)(%-1)4

【详解】(1)解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公

式分解因式；

(2)解：设V-4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4

=y2+8y+16

=(y+4)，

=(x2-4x+4)-

=(x-2『，

•••该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为(x-2)4

(3)解：设M-2x=y,

(x2-2x)(x2-2x+2)+1

=y(y+2)+i

=y2+2y+l

=(y+l)2

=(x?-2x+l,

=(x-l)\

4.(2023•全国•九年级专题练习)把下列多项式分解因式：

⑴3a2匕2一12〃；

(2)-2or2+^axy-lay1.

【答案】⑴3从(。+2)(々一2)

(2)-2«(x-y)2

【详解】(1)3a2b2-l2b2

=3从(6-4)

=3必(a+2)(“-2)；

(2)-2ax2+4axy-lay

=-2a_2xy+y2)

=-2a^x-y)~

5.(2023・江苏南通•八年级南通田家炳中学校考阶段练习)因式分解:

⑴3ab3+15/京

⑵(/%—1)(%一3)+1.

(3)3x3-6x2y+3xy2；

(4)9a2(x-y)+4/(y-x)

【答案】⑴3啖2+5叫

(2)(/»-2)2

(3)3x(x-y)2

(4)(3a-2b)(3a+2b)(x-y)

【详解】(1)原式=3"伍2+5叫；

(2)原式==〃「-46+4

=(加-2)2；

(3)原式=3x(%2-2孙+)，)

=3x(x-y)2；

（4）=（9a2-4"）（x-y）

=（3a-2h^（3a+2b^x-y^.

题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算

典型例题

例题1.（2023春•全国•七年级专题练习）计算:

X...X(1-盛)x(l-^y)的结果是()

,101c101C101n1

A.---B.---C.---D.---

200125100100

【答案】B

【详解】解：原式=

4657689810099101

二一X-X-X-X-X-XX---X------X------X-----

5566779999100100

4101

=—x---

5100

101

"125'

故选：B.

例题2.(2023春•江苏•七年级专题练习)利用因式分解计算：11x1022-11x982的结果

是.

【答案】8800

【详解】原式=11x(1022-98?)

=11x(102+98)x(102-98)

=11x200x4

=8800.

故答案为:8800.

例题3.（2023春•七年级课时练习）用简便方法进行计算.

(1)21.4X2.3+2.14X27+214X0.5.

10000

752-252'

⑶(1-最)X(l-5)x(l-")x”.X.

(4)1952+195X10+52.

【答案】(1)214；(2)2；(3)—；(4)40000

20

（2）把分母因式分解后，再约分;

（3）先把每个括号利用平方差公式写成积的形式，再约分;

（4）把195x10写成2x195x5,再利用完全平方公式求解.

【详解】解：(1)原式=21.4x2.3+21.4x2.7+21.4x5,

=21.4x(23+2.7+5),

=21.4x10,

=214；

10000

(2)原式=(75+25)(75-25)，

10000

-100x50'

=2；

(3)原式=(1+y)X(1-g)X(1+-)x(1--)x(1+-)x(1--)x...x(1+—)X

334410

(1——),

10

314253119

=­X—X—X—X—X—Xx—x—,

2233441010

111

—X—,

210

11

20

(4)原式=1952+2x195x5+52,

=(195+5)2,

=20012,

=40000.

题型归类练

1.（2023秋・上海青浦•七年级校考期末）计算：7.52乂1.6-2.5人1.6

【答案】80

【详解】解：7.52xl.6-2.52xl.6

=1.6X（7.52-2.52）

=1.6x（7.5+2.5）（7.5-2.5）

=1.6x10x5

=80.

2.(2023春•七年级课时练习)(1)计算：(2根+〃)(2,〃-〃)一。〃-〃)：！

(2)简便计算：1232-122x124.

【答案】(1)3nr+2mn-2n\(2)1

【详解】解：(1)(2m+n)(2m-n)-(m-n)2

-4川-42_(1_2mn+叫

222

=4，“2-n—m+2mn—n

=3，/+2mn-2n2;

(2)1232-122x124

=1232-(123-1)(123+1)

=1232-1232+1

=1.

3.(2023春•江苏•七年级专题练习)利用因式分解计算

(1)9002-894x906

(2)2.68x15.7-31.4+15.7x1.32

【答案】⑴36

(2)31.4

【详解】(1)解：9002-894x906

=9002-(900-6)x(900+6)

=9002-(9002-62)

=9002-9002+62

=36

(2)解：2.68x15.7-31.4+15.7x1.32

=15.7x(2.68-2+1.32)

=15.7x2

=31.4

4.(2023春・全国•七年级专题练习)计算：20182-4038x2018+20192.

【答案】1

【详解】解：20182—4038x2018+20192

=20182-2X2018X2019+20192

=(2018-2019)2

=1.

题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解

典型例题

例题1.(2023秋•山东威海•八年级统考期末)如果多项式犬-5\+〃?可分解为(x+〃)(x-3),

则加，〃的值分别为()

A.24,—8B.—5,—3C.~6,2D.6，—2

【答案】D

【详解】解：由题意得：f-5x+m=(x+〃)(x-3),

x2-Sx+m=x2+nx-3x-3n,

x2-5x+m=x2+(H-3)X-3H,

3=—5,m——3n,

〃=-2,m=6,

故选：D.

例题2.(2023秋•山东淄博•八年级统考期末)因式分解：x2-10A-24=.

【答案】(X-12)(X+2)

【详解】解：X2-10X-24=(X-12)(X+2),

故答案为：(x-12)(x+2).

例题3.(2023春•江苏•七年级专题练习)阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们

很容易计算：

(x+2)(x+3)=x~+5.v+6；(x—1)(%+3)=x-+2x—3.

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6=(x+2)(x+3)；x2+2x-3=(x-l)(x+3).

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.如将式子f+2x-3

分解因式.这个式子的二次项系数是1=1x1,常数项-3=(-l)x3,一次项系数2=(-1)+3,

可以用下图十字相乘的形式表示为：

工/“坎——，一住

■，■I

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十

字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写.这

样，我们就可以得到：X2+2X-3=(X-1)(X+3).

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

(1)X2+7X+10=;

(2)X2-2x-3=;

(3)y2-7y+U^；

(4)X2+7X-18=.

【答案】(x+2)(x+5)(x-3)(x+l)(y-3)(y-4)(x+9)(x-2)

【详解】(1)将式子f+7x+10分解因式，

这个式了的二次项系数是1=1x1,常数项10=2x5,一次项系数7=2+5,

.1.x2+7x+10=(x+2)(x+5).

(2)将式子f-2x-3分解因式，

这个式子的二次项系数是1=1x1,常数项-3=以(-3),一次项系数-2=1+(-3),

x2-2x-3=(x-3)(x+l).

(3)将式子V-7y+I2分解因式，

这个式子的二次项系数是1=1x1,常数项12=(-3)X(-4),一次项系数-7=-3+(T),

V-7y+12=(y-3)(>-4).

(4)将式子V+7X-18分解因式，

这个式子的二次项系数是1=1x1,常数项T8=(-2)x9,一次项系数7=-2+9,

x2+7x-18=(x+9)(x-2),

故答案为：(1)(x+2)(x+5),(2)(x-3)(x+l),(3)(y—3)(y-4),(4)(x+9)(x—2).

题型归类练

1.(2023秋•福建泉州•八年级统考期末)因式分解/一5工+6,结果正确的是()

A.(x-6)(x+l)B.(x-2)(x+3)

C.(x+6)(x—1)D.(x—2)(x—3)

【答案】D

【详解】解：

F-5X+6

x'-3-3x

—2x+(—3x)=-5x,

二x?-5x+6因式分解的结果是(x—2)(X—3),

故选：D.

2.(2023春•江苏•七年级专题练习)把下列各式因式分解：？-2x-8.

【答案】(x-4)(x+2)

【详解】解：X2-2X-8=(X-4)(X+2)

题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解

典型例题

例题1.（2023•全国•九年级专题练习）在实数范围内分解因式：2x?-5x+2=

【答案】（2x-l）（x-2）

【详解】解:2x2-5x+2=（2x-l）（x-2）,

故答案为：（2x-l）（x-2）.

例题2.（2023•全国•九年级专题练习）分解因式：6x?+7冲-5/=

【答案】（3x+5y）（2x-y）

【详解】解：6x2+7xy-5y2

=（3x+5y）（2x-y）.

故答案为：（3x+5j）（2x-y）

例题3.（2023春•江苏•七年级专题练习）分解因式：

⑴V+9孙+14），（2）x2-xy-]2y2（3）2x2+9xy-5y2

（4）3x2-lxy-6y2（5）8/+10封+3y?（6）\Ox2+27xy+5y2

【答案】⑴（x+2y）（x+7y）⑵（x-4y）（x+3y）⑶（x+5y）（2x-y）⑷（x-3y）（3x+2y）

（5）（2x+y）（4x+3y）⑹（2x+5y）（5x+y）

【详解】（1）解：x2+9xy+14y2

d+知+14y2=(x+2y)(x+7y)；

(2)解:x2-xy-l2y2

x2-xy-l2y2=(x-4y)(x+3y)；

(3)解：+9盯一5y2

2x2+9xy-5y2=(x+5y)(2x-y)；

(4)解：3x2-7xy-6y2

3X2-lxy-6y2=(x-3y)(3x+2y)；

(5)解：8/+10盯+3/

8x2+10xy+3y2=(2x+y)(4x+3y)；

(6)解：10X2+27XJ+5/

10x2+27xy+5y2=(2x+5y)(5x+y).

例题4.(2023春•七年级课时练习)分解因式：

(1)37+1-4X；(2)-3-4x+4x2?(3)6x2+31x-105;

【答案】(1)(3x-l)(x-l)；(2)(2-3)；(3)(2x+15)(3x-7)

【详解】解：(1)3X2+1-4X=3X2-4X+1=(3X-1)(X-1)；

(2)-3-4x+4x2=4x2-4x-3=(2x+1)(2x-3)；

(3)6X2+31X-105=(2X+15)(3X-7).

题型归类练

1.(2023春•江苏•七年级专题练习)分解因式:

(l)x2+9xy+l4y2

⑵一一肛-12/

(3)2x2+9xy-5y2

⑷3%2-7孙-6丫2

(5)3x2-2xy-Sy2

⑹-5F+3xy+14)，2

【答案】(l)(x+2y)(x+7y)

⑵(x—4)，)(x+3y)

⑶(x+5y)(2x-y)

(4)(x-3y)(3x+2y)

⑸(x-2H(3x+4y)

(6)-(x-2y)(5x+7y)

【详解】(1)解：x2+9xy+14y2

x?+9孙+14V=(x+2y)(x+7y)：

(2)解：x2—xy—12y2

x2-AJ-12y2=(x-4y)(x+3y)；

(3)解:2x2+9xy-5y2

2x

/.2x?+9冲一5y2=(x+5y)(2x—y)；

(4)解:3/一7孙一6y2

/.3X2-Ixy-by1=(x-3^)(3x+2y)；

(5)解：3/-2个-8y2

/.-2xy-^y2=(x-2y)(3x+4y)；

(6)解：-5x?+3孙+14y2=一(5/-3取一14y2)

/.-S%2H-3xy4-14y2=-(x-2y)(5x+7y).

2.(2023・全国•九年级专题练习)分解因式：2x3-6/+4x

【答案】2x(x-l)(x-2)

【详解】解：原式=2X(X2-3X+2)

=2x(x-l)(x-2),

3.(2023春•七年级课时练习)将下列各式分解因式：

(1)6y2+19y+15；(2)14x2+3x-27

【答案】(1)(2y+3)(3y+5)；(2)(2x+3)(7x—9)

2y3

【详解】解：(1)因为。x即9y+10y=19y,

3y5

所以：原式=(2y+3)(3y+5)；

2x3

(2)因为rxc即21x-18x=3x,

lx-9

所以:原式=(2x+3)(7x-9).

题型六：含参数的十字相乘法

典型例题

例题1.(2022秋•全国•八年级专题练习)把下列各式分解因式：3ax2-6axy+3ay2

【答案】3a(x-y)2

【详解】解：3cix2-Baxy+Say2

=3a(x2-Ixy+y2)

=3a(x-y)2；

例题2.(2022秋•全国•八年级专题练习)F+11盯+18)3=

【答案】(x+2y)(x+9y)

试题解析：x2+llxy+18y2=(x+2y)(x+9y).

题型归类练

1.(2022春•上海杨浦•八年级校考期中)二元二次方程/-2孙-3卡=0分解为两个一次方

程的结果为.

【答案】x-3y=O；x+y=0

【详解】解:「x2-2xy-3y2=O,

(x-3y)(x+y)=0.

/.x-3y=0或x+y=0.

故答案为:x-3y=0；x+y=O.

2.(2022秋•湖北武汉•八年级统考期末)因式分解：

—2%2+8个—8y之；

【答案】-2(x-2y)2；

解：-2产+8盯-8y2

=-2(r・4xy+4y2)

=-2(x-2y)2；

题型七：十字相乘法的综合应用

典型例题

例题2.(2023秋•湖北荆州•八年级统考期末)甲、乙两个同学分解因式/+〃“+〃时，

甲看错了分解结果为(x+9)(x-2)；乙看错了〃，分解结果为。-5)。+2),则正确的分

解结果为.

【答案】(x—6)(x+3)

【详解】解：•甲看错了分解结果为(X+9)(X-2),

，由(x+9)(x-2)=X?+7X-18,可知〃=—18,

又・•・乙看错了〃，分解结果为(*-5)(x+2),

.,.由(x-5)(x+2)=x2-3x-10,可知m=-3,

x2+»ir+«=X2-3x-18,

x2-3x-18=(x-6)(x+3),

•1.正确的分解结果为5-6)(x+3).

故答案为:(x-6)(x+3).

例题2.(2023春•江苏•七年级专题练习)阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复

杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式

(〃-24+3)+4进行因式分解的过程.

解：设/-2a=A原式=(A-l)(A+3)+4(第一步)"+2A+1(第二步)=(A+1『(第

三步)=(/_24+1丫(第四步)

回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(填代号).

A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数

差的完全平方公式

(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项

式分解因式的最后结果为.

(3)请你模仿以上方法对多项式(X?-4x-3)(/-4x+11)+49进行因式分解.

(4)知识延伸：

解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若"AB=0,则A=0或8=0”.

解方程(X?+xj-8(x2+x)+12=0.

【答案】⑴C；(2)(a-1)4；(3)(x-2)4；(4)x=—2或x=l或x=—3或x=2.

【详解】解：(1)由A2+2A+1=(A+1)2,

运用的是两数和的完全平方公式，

故答案为：C.

(2)(a?-2a+l)-=[(a-l)[=(a-l)4,

故答案为：—1)4.

(3)ijx2-4x=tn,

.・.(X2-4x-3)(x2-4x+11)+49

=(%一3)(6+11)+49

=nr+8m+16

=("?+4)~

=12―4工+4)“

(4)(x2+x)-8(d+,+12=0,

「.(x?+x-2)(x2+x-6)=0,

「.(x+2)(x-l)(x+3)(x-2)=0,

/.x+2=0或x-l=0或x+3=0或x—2=0,

「.工=-2或工=1或％=-3或％=2.

题型归类练

1.(2023春•七年级课时练习)分解结果等于(x+y-4)(x+y-5)的多项式是().

A.(x+y)2-9(x+y)+20B.(x+y?+9(x+y)+20

C.(x+y)2+9(x+y)-20D.(x+y)2-9(x+y)-20

【答案】A

【详解】分解因式的结果为(x+y-4)(x+y-5)的多项式是(x+y)2-9(x+y)+20,

故选A.

2.(2023春・全国•七年级专题练习)因式分解：(x-y)2+5(x-y)-50

【答案】(X-y+io)(x-y-5)

【详解】(x-y)2+5(x-y)—50

=(x-y+10)(x-y-5).

3.(2023秋•上海青浦•七年级校考期末)因式分解：(/―幻2_]4(一一为+24.

【答案】(x・2)a+ua・4)a+3)

【详解】原式=(x\r-2)(%2—x-12)

=(x-2)(x+l)(x-4)(x+3)

题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）

典型例题

例题1.（2023秋•福建福州•八年级统考期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运

用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”

分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

ax+ay+hx+by

=(办+6^)+(版+力)

=a(x+y)+b(x+y)

=(x+y)(〃+b)

再如“3+1”分法：

x2—2xy+y2-16

=[x2-2xy+y2)-16

=(x-y)2-42

=(x-^+4)(x-y-4)

利用上述方法解决下列问题：

(1)分解因式：9x2-6xy+y2-\6.

(2)A5C的三边。，力，C满足/+儿_必=a，判断ABC的形状，并说明理由.

【答案】⑴(3x-y+4)(3x-y-4)；

(2)A8C是等腰三角形，理由见解析.

【详解】(1)解：9x2-6xy+y2-16

=(9X2-6J^+/)-16

=(3x-y)2-16

=(3x-y+4)(3x-^-4)；

(2)解：a1+be-ab=ac,

a2+be—ab—ac=O

a2-ab-^ac-bc)=G,

a(a-b)-c(a-b)=O,

(a-Z?)(a-c)=O,

。一人=0或。-c=0,

/.a=b或a=c,

：ABC是等腰三角形.

例题2.(2023秋•湖北襄阳•八年级期末)常用的因式分解的方法有：提公因式法和公

式法,但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2-4/-2x+4y,我们细心观察就会发现，

前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具

体分解过程如下：

x2-4y2-2x+4y

=，-4y2)-(2x+4y)

=(x+2y)(x-2y)—2(x+2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式:

(1)mfT—2mn+2??-4;

(2)x2-2xy+y2

(3)4x2-4x-y2+4y-3.

【答案】⑴(-2乂〃加+2)；

(2)(x-y+4)(x-y-4)；

(3)(2x+y-3)(2x-y+l).

【详解】(1)解：mn2—2mn+2/7—4

二W7(〃-2)+2(〃-2)

二(〃-2)(加〃+2)

(2)x2-2xy+y2-\6

=(x-j)2-42

=(x_y+4/x_y_4)

(3)4x2-4x-y2+4y-3

=4x2-4x4-1-y2+4y-3—1

=(4炉—4尤+1)一('2_分+4)

=(2x-l)2-(y-2)2

=[(2x-l)+(y-2)][(2x—1)—(y—2)]

=(2x+y-3)(2x-y+l)

例题3.(2023春•七年级课时练习)因式分解：

(1)a2-4b2+I2bc-9c2;

⑵x2—2x—15;

(3)x2-y2-4x+6y-5.

【答案】⑴(a+2A-3c)(a-2A+3c)

(2)(x-5)(x+3)

(3)(x+y-5)(x-y+l)

【详解】(1)解：原式="2一(4/-12历+9。2)

=a2-(2h-3c)2

=(a+2Z?—3c)(a—2b+3c)；

(2)解：原式=(x-5)(%+3)：

(3)解：原式=(d-4x+4)-(y2-6y+9)

=(x-2)2-(y-3)2

=(x+y-5)(x-y+l).

题型归类练

1.(2023春•江苏,七年级专题练习)先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式.

mx+nx+my+ny

=(tnx+nx)+{my+ny)

=x{m+n)+y(m+n)

=(7w+n)(x+y)；

也可以侬+僦+便y+肛，

=(tnx+my)+(MT+ny)

=m(x+y)+n(x+y)

=(m+n)(x+y).

以上分解因式的方法称为分组分解法，

(1)请用分组分解法分解下列因式：

①a2(x-y)-x+y

(2)x2-y2-4x+4

(2)拓展延伸

①若2x2-2xy+)a-8x+16=0求x,y的值；

②求当x、y分别为多少时？代数式5/-12盯+9)，+8x+6有最小的值，最小的值是多少?

【答案】⑴①(x-y)(a+l)(a-D;②(x+y—2)(x-y—2)

Q

(2)①x=4,y=4；②X=-4,y,最小值：-10

【详解】(1)解：①

=a2(x-y)-(x-y)

=(x->-)(«2-l)

=(x—y)(a+D(a—l)；

②12-,2一叙+4

2

=-2

=(x+y-2)(x-y-2)；

(2)解：①,2x2-2xy+y2-8x+]6=0,

x2—2.xy+y~+x"—8x+16=0,

/.(x—y)2+(x—4)2=0,

/.(x-y)2=0,(x-4)2=0,

.・.x=4,y=4；

(2)5x2-12^+9/+8x+6

=4x2-12Ay+9y2+x2+8x+16-10

=(2x-3»+(x+4)2-10,

(2%-3yJNO,(X+4)2>0,

.•.(2x-3y)2=0,(x+4)2=0时，5/-12町，+9/+8x+6有最小值，最小值是-10,

/.2x=3y,x=-4,

8

Q

即当x=T,y=-§时，代数式5》2-12xy+9y2+8x+6有最小值，最小值是-10.

2.(2023春•江苏•七年级专题练习)阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如

x2-2xy+y2-16.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形

后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，

过程如下：

x2-2xj+y2-16

=(x->')2-16

=(x-y+4)(x-y-4).

这种因式分解的方法叫分组分解法.

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

⑴因式分解：〃-6必+96-25;

(2)因式分解：x2-4y2-2x+4y.

【答案】⑴(。一3。一5)(。一二+5)

⑵(x-2y)(x+2y-2)

【详解】(1)ft?：a2-6ab+9b2-25,

=(/_6。〃+962)—25,

=(6Z-3fo)2-52,

=(a-3/?-5)(a-3b+5)；

(2)解：x2-4y2-2x+4y,

2

=(x-4/)-(2x-4^)r

=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y),

=(x-2y)(x+2y-2).

3.(2023•全国•九年级专题练习)阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如

x2-2xy+y2-l6.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形

后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.

过程如下：

X2—2xy+y2-16

=(x—y)--16

=(x-^+4)(x-y-4).

这种因式分解的方法叫分组分解法.

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

⑴因式分解：a2-6ab+9b2-25;

(2)因式分解：X2-4y2-2x+4y；

⑶AABC三边a、b、ccr+c2+2b2-2ab-2bc=0,判断△4BC的形状并说明理由.

【答案】(1)(。一38-5)(a-劝+5)

(2)(x-2y)(x+2y-2)

(3必A8C是等边三角形，理由见解析

【详解】(1)解：/-6,加+9从-25

=(a-3b)2-25

=(a-36-5)(a-36+5)；

(2)解：x2-4y2-2x+4y

=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)；

(3)解：△48C是等边三角形，

理由如下:

a2+c2+2b2-2ab-2bc-0^

(a2-2ab+tr)+(c2-2bc+b2)^0,

(a-4+(〃-c)-=0,

V(a-/>)2>0,(/?-c)2>0,

「.〃一。=0,且b—c=0,

a=b,且6=c,

a=b=c,

△ABC是等边三角形.

题型九：因式分解的应用

典型例题

例题1.(2023秋•广东江门•八年级统考期末)阅读下列材料：某校“数学社团”活动

中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用

上述方法无法分解，如：“病+，细心观察这个式子就会发现，前两项可以

提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然

后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为

nr-mn+2m-2n-{nr-/w?)+(2m-2n)=m(<m-ri)+2^m-n)=(加一〃)(/〃+2).

“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下

问题：

(1)分解因式：a3-3a2-6a+18;

(2)已知"?+”=5,m-n=1,求，+2机一2〃的值；

22

(3)MC的三边a,h,c^^a+ab+c-bc=2ac,判断ABC的形状并说明理由.

【答案】⑴(。-3乂/_6)

(2)7

⑶等腰三角形，理由见解析

【详