高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (十七)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(17)

1.如图，已知AFJ_平面ABC。，四边形A8EF为矩形，四边形A8CD为直角梯形，^DAB=90°,

AB//CD,AD=CD=2,AB=4.

(1)求证：4F〃平面BCE;

(2)求证：平面ACFJ■平面BCE.

2.如图，三棱柱ABC—ZiBiCi中，侧面4CG41_L底面ABC,N/1CB=90°,AC=BC=CQ=2.

(1)证明：41cl4当；

(2)若与平面4B1G所成角的正弦值为立，求四面体4CB14的体积.

4

3.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCQ是直角梯形，且4D〃BC,^ABC=90°,P。J_平面

ABCD,AD=1,BC=4,CD=2A/3.

p

(1)求证：平面PBD_L平面PCD；

(2)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为粤，求线段PD的长.

4.如图所示的多面体中，面A8CD是边长为2的正方形，平面PDCQ，平面ABCD,PD1DC,E,F,G

分别为棱8c的中点.

(I)求证：EGII平面PDCQ；

(II)己知二面角P-BF-C的余弦值为渔，求四棱锥P的体积.

6

5.如图，四棱锥S—4BC。的底面是矩形，S41JK®ABCD,AD=2,SA=1,P为棱BC的中点,

且P。1SP.

s

(1)求证：PDLAP；

(2)求SC与平面SAP所成角的正弦值；

(3)求二面角4-SP-B的的大小.

6.四棱锥P-ABCD中，P41底面A8CD,底面A5CD为矩形，且48=3,BC=4,PA=3,

/A六―-\———D

(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

(2)求直线PC与底面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角P-BC-4的大小.

7.如图所示多面体ABCOEF中，平面ADE平面ABC。，CF1平面ABC。，EMDE是正三角形,

四边形ABC。是菱形，AB=2,CF=6,^BAD=1.

(1)求证：EF〃平面ABC。；

(2)求二面角E-AF-C的正弦值.

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。是直角梯形，且AD〃BC,乙4BC=90。，PD1平面

ABCD,AD=1,BC-4,CD=2V3,PD=V2.

(1)求证：平面PBD_L平面PCQ；

(2)求点C到平面PAB的距离.

9.如图，在三棱锥4一BCD中，回ABD与回BCD都为等边三角形，平面4BD1平面BCD,M,。分

别为AB,8。的中点，AOCiDM=G,N在棱C£＞上且满足2CN=ND,连接MC,GN.

A

(1)证明：GN〃平面ABC；

(2)求直线AC和平面GN。所成角的正弦值.

10.已知AB是圆。的直径，且长为4,C是圆O上异于A,8的一点，点尸到A,B,C的距离均

为26.设二面角P-AC-B与二面角P-BC-4的大小分别为a,0.

11

(1)求黄+丽的值；

(2)若tcm。=3tana,求二面角A—PC—B的余弦值.

11.如图，在四棱锥P-ABCC中，底面A8CD为直角梯形，AADC=90°,AD=DC=

2BC=2,平面PAD_L平面A3CZ),△PAO为正三角形，Q为AD的中点.

p

(1)求证：ADJ■平面P3Q；

(2)若点”在棱PC上，且PA〃平面BMQ,求三棱锥4一BMQ的体积.

12.如图，四棱锥P4BCC的底面A8C0是平行四边形，PC1¥®ABCD,PB=PD,。是棱PC上

异于P,C的一点.

(1)求证：BD1AC；

(2)过点Q和A。的平面截四棱锥得到截面4DQF(点尸在棱PB上)，求证：QF"BC.

13.如图，在四棱锥P—ABC。中，平面P4B1平面ABC。，四边形ABCD为正方形，△P4B为等边

三角形，E是PB中点,平面与棱PC交于点E

(1)求证：AD//EF;

(2)求证：PB_L平面AEFD;

(3)记四棱锥PfEFZ)的体积为匕，四棱锥P-ABC。的体积为瞑，直接写出/的值.

14.如图，直三棱柱ABC—中，M、N分别为棱AC和必/的中点，月SB=BC.

(1)求证：平面BMN1平面4CC1公；

(2)求证：MN〃平面BCGB].

15.如图，在四棱锥P-ABCC中，平面PABJ•平面A8QX四边形ABC£＞为正方形，△PAB为等边

三角形，E是P8中点，平面AEO与棱PC交于点F.

(I)求证：AD//EF；

(口)求证：PBAEFD；

(HI)记四棱锥P-4EFD的体积为匕，四棱锥P—ABCD的体积为彩，直接写出领值.

16.如图，在正三棱柱4BC-4B1G中，点。在边8C上，ADJ.GD.

(1)求证：4。_L平面BCC/i；

(2)如果点E是G%的中点,求证：QE〃平面4DC1.

17.如图1,矩形ABC。中，6AB=BC，将矩形ABCD折起，使点A与点C重合，折痕为EB连

接AF、CE,以AF和E尸为折痕，将四边形ABFE折起，使点B落在线段FC上，将△CDE向上

折起，使平面DEC_L平面FEC,如图2.

(1)证明：平面4BEJ■平面EFC；

(2)连接BE、BD,求锐二面角4—BE-。的正弦值.

18.如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，44cB=90。，BE=2.

(1)求证：OE1平面AC。；

(2)若平面AOE与平面ABC所成锐二面角的余弦是茎，且直线AE与平面8CDE所成角的正弦

是9,求异面直线OE与48所成角的余弦。

19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2,AC=BC=2^2,AC1BC,。为棱AB上一点，

BD=3AD,棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上

B

(1)证明：4B_L平面PDE;

(2)求三棱锥P-4EF的体积

20.如图，在四棱锥P—4BC。中，底面A2C£>为菱形，P41平面A8C£>,E是PZ)上的点.

(1)当E是PO的中点时，求证：PB〃平面AEC；

(2)设PA=AB=1,PC=®若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为号求PE的长.

【答案与解析】

1.答案：证明：(1)因为四边形ABEF为矩形，所以”〃BE,

又BEu平面BCE,4FC平面BCE,所以4F〃平面BCE.

(2)过C作垂足为M,因为4。，DC,所以四边形AOCM为矩形.

因为AC=CD=2,AB=4,所以AM=MB=2,AC=2A/2.CM=2,BC=2&,

^\^AC2+BC2=AB2,所以4C1BC.

因为4FJ■平面ABCD,AF//BE,

所以BE_L平面ABC。，ACABCD,所以BE_L4c.

又BEu平面BCE,BCu平面BCE,BECBC=B,

所以AC1平面BCE,

又ACu平面ACF,所以平面4CF，平面BCE.

解析：本题考查了空间线面平行、线面垂直的判定和性质，面面平行的判定，属于基础题.

(1)由4F〃BE,BEu平面BCE,4FU平面8CE,得/平面

BCE.

(2)过C作CM14B,垂足为M,由4c2+BC2=AB?,得ACJ.BC；再证BE14C,即可得到4C_1_平

面BCE.然后可以得到平面4CFJL平面BCE.

2.答案：解：(1)侧面4CQ&1底面4BC,侧面4CC1&_Ln底面4BC=AC,44cB=90。，

得BCJL侧面ACCMi，

又4iCu侧面4CC141，得BC1ArC,

由BC〃/G，得B1C1J.&C；

由AC==2,得侧面4CC14是菱形，AC11&C,

又BigCACi=Ci，BiCi、AC】u平面4BiG，

则&C_L平面ABiG，

又AB】u平面ABiQ,则41c1ABy.

(2)设4CinAiC=D,连接&D

由(1)可知&C1平面ABiG，为A/1在平面ABiG上的射影，

则4公/。即为&Bi与平面4B1Q的所成角，

又&Bi=2近，由疝i乙/3|。=？，得为。=1，

则41c=41cl=CC]=2,SAA\CC\=V3.

V四而体ACB、A、=V三棱锥BLACA、=2XSA^CCIxBiQ=ixV3x2=

解析：本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角，是中档题.

(1)由面面垂直的性质得BC1侧面4CCp4[,得BCL&C,由8c〃/G，得B©_L&C；易知侧面

力CG&是菱形，4cli•&f?,则41cL平面AB】G，由线面垂直的性质可得线线垂直；

(2)易得乙LB1。即为4/1与平面4B1G的所成角，由sinN.%小。遮，得=1,由

1

-1

V四面体ACB\A[=V三棱锥BI-ACA'/XSA&CCIXB©计算即可.

3.答案：(1)证明：如图，在直角梯形ABCO中，过。作CF〃AB,交BC于F,

因为AD=1,BC=4,.-.CF=3.

又CD=2V3，ADF=y[3=AB，--BD=2,

BD2+CD2=BC2,：.BD1CD.

又因为PCJ■平面ABCD,PD1BD,且PDflCD=D,

BD，平面PCD.

又：BDu平面P8Z),；.平面PBD_L平面PCD.

(2)解:如图，

分别以D4,DF,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设PD=a,

则：4(1,0,0),B(l,V3,0),P(0,0,a),C(-3,V3,0),

AB=(0,V3,0),PA=(1,0,-a).

设记=(x,y,z)为平面PAB的法向量，

由］AB-n^O,取元=(见0,1),且瓦:=(一3,V3,-a).

1P4•荏=0,)

设PC与平面PAB所成角为。，

则sin，=鼎=JaJL+aZ=噤解得a=夜或a=遍’

即线段PD的长为/或几.

解析：本题主要考查面面垂直的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中等题.

(1)在直角梯形A8C。中，过。作。尸〃4B,得到BDJ.CD,进而得到BD1平面PCD即可；

(2)以D4,。凡。P所在直线为x,»z轴建立空间直角坐标系，设PD=a,得到平面PAB的法向

量记=(a,0,1)即可.

4.答案：解：(I)证明：取尸。中点”，连接GH,HC,

因为ABC。是正方形，所以ADIIBC,AD=BC,

因为G,H分别是P4,PO中点，所以GHII4D,GH=^AD.

又因为EC||ADHEC=^AD,

所以GH||EC,GH=EC,

所以四边形GHCE是平行四边形，

所以EG||HC.

又因为EG仁平面PDCQ,HCu平面PDCQ,

所以EG||平面PCCQ；

⑺因为平面池仅，平面ABC。,平面PDCQn平面48C0=CD,PD1DC,PDu平面PDCQ,

所以PDJ_平面力BCD.

如图，以。为原点，射线D4,DC,OP分别为x,必z轴正方向，建立空间直角坐标系.

设PC=a,则P(0,0,a),F(l,0,0),B(2,2,0).

因为PD1底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).

设平面PFB的一个法向量为n=(x,y,z),PF=(1,0,-«)丽=(1,2,0)，

0

01

令x=l,得z=：，y=_5所以n=

由己知,二面角P-BF-C的余弦值为

所以得|cos<m,n>|=|品|=自=今

解得a=2,

所以P。=2.

因为PD是四棱锥P-ABC。的高，

所以其体积为/"BCD=|x2x4=1.

解析：本题考查了棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，属

于较难题.

(1)取「。中点”，连接GH,HC,通过证明EG〃HC.然后证明EG〃平面P£>C。.

(II)以。为原点，射线。4,DC,DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.设PD=a,

求出相关点的坐标，求出平面ABCD的一个法向量，平面PFB的一个法向量，求出ia)s<III.H>,

推出尸然后求解几何体的体积.

5.答案：解：(1)证明：因为S4_L平面ABCQ,

所以SA1PD,又因为PDJ.SP,SA、SPu平面SAP,

S4nSP=S,所以PO_L平面SAP,所以P0J.4P；

(2)由(1)得，PDLAP,且点P是矩形ABCD的边8c上的中点,

所以4P=PD=五,AB=CD=1,

以点4为坐标原点，分别以AB、AD.”所在直线为x、y、z轴,

建立空间直角坐标系，则S(0,0,1),0(120),0(0,2,0),P(LLO),

所以元=(1,2,-1),

由(1)可得平面S4P的一个法向量为而=(1,-1,0)1

所以I能源”嬴谕

所以SC与平面SAP所成角的正弦值为更；

6

(3)由(1)可得平面SAP的一个法向量为而=(1,-1,0)，

fiF(l,0,0),•••SB=(1,0,-1),豆=(1,1,-1),

设平面SP8的一个法向量为H=(x,y,z),

则性线=x-z=0解得元=(1,0,1),

[n-SP=x+y—z=0

所以上—

所以二面角4-SP-B的大小为'.广

解析：本题主要考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及利用空间向量求线面夹角和二面角，属

于中档题.

(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理即可.

(2)先建立空间直角坐标系，然后写出相关的点的坐标，然后求出直线的方向向量和平面的法向量,

然后求夹角的余弦值即可.

(3)先求出平面SPB的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后得到夹角.

6.答案：解：(1)因为所以N4DP或其补角为异面直线PZ)与8C所成角.

因为24J■底面ABCD,ADu底面ABCD,所以241AD.

在R7回中，PA=3,AD=4,所以PD=<32+42=5.

所以C0S44DP=p故异面直线PD与BC所成角的余弦值为，

(2)连接AC,如图所示：

因为PA底面ABCQ,所以NPC4为直线PC与底面ABC。所成角.

因为AC=V32+42=5>

所以在R7团P4C中，tan/PCA=兼=|,

故直线PC与底面ABCD所成角的正切值为|.

(3)因为241•底面ABC。，BCu底面ABC。，所以PA1BC.

又因为ABJ.BC,ABdPA=A,所以BC1底面PA8.

因为PBu底面PAB,所以BCJ.PB.

又因为4B1BC,所以4PB4为二面角P-BC-4的平面角,

在R7EIP4B中，PA=AB=3,所以NPBA=45°,

故二面角P-BC—4为45°.

解析：本题主要考查了异面直线成角，直线与平面所成的角，二面角的求法，属于中档题.

(1)因为AD//3C,所以乙4DP或其补角为异面直线与8C所成角，求解即可.

(2)连接AC,如图所示，因为P4_L底面A8CD,所以"C4为直线PC与底面ABC。所成角，求解即

可.

(3)因为24，底面ABCD,所以PA1BC.去证BC，底面R4B.所以BC1PB.

又因为4B1BC,所以乙PBA为二面角P-BC-A的平面角，求解即可.

7.答案：证明：(1)过点E作E。J.AO交AQ于点0,连接03,0C,BD,

•.・平面4DE_L平面ABCD,

平面40En平面ABC。=AD,

EOu平面ADE,

EO_L平面ABCD,

又EMDE是正三角形，AD=2,

所以E0=V3，

vCFJL平面ABCD,CF=V5，

•••CF//0E,CF=0E,

•••四边形0CFE为平行四边形，

0C//EF,

又：OCu平面ABCD,EF仁平面ABCD,

EF〃平面ABCD；

(2)因为四边形A8C£＞是菱形，AB=2,

/.BAD=；.所以，OB14。，

故，以。为坐标原点，分别以画，0B，赤的方向为x轴，y轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系.

(1,0,0),B(0,V3,0),C(-2,V3,0),。(一1,0,0),E(0,0,g),F(-2,V3,V3)

：.AE=(-1,0,73),EF=(-2,V3,0),DB=(l,V3,0)

设平面AEF的一个法向量为元=(x,y,z)

由母亚=0得匕+£|=。

(五•EF=0(-2%+V3y=0

令"叵得｛'：

n=(V3,2,1),

vCF_L平面ABCD,CF1.BD,

在菱形48C£＞中，BDLAC

又CFCUC=C.­.BD_L平面ACF,

,­,南是平面ACF的一个法向量，

设二面角E-AF-C的大小为。

瓯同_|通+2问_3V6

则Icos。|=|cos(n,DF)|=|D5|x|n|-2V2X2-8

sin。=71-COS26(=当

8

解析：本题考查直线与平面平行的判定，以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力与思维能

力，是中档题.

(1)过点E作E0_L4D交AO于点0,连接。8,OC,BD,结合线面垂直以及面面垂直的性质可得四

边形0CFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解.

(2)以。为坐标原点，分别以函，0B，床的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标

系，分别求出两平面的法向量，即可求解.

8.答案：(1)证明：如图，在直角梯形ABC。中，

过。作。F〃4B,交BC于F,

所以四边形AB尸。是矩形，

因为4。=1,BC=4,

CF=3,

又rCD=2V3.ADF=^3=AB,

：•BD=2,

BD2+CD2=BC2,■■BD1CD,

又因为PC_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

PDIBD,且pz)nco=。，PD、CDcipffiPCD,

：.BD_L平面PCD,

又BDu平面PBD,

平面PBD，平面PCD.

(2)解：设点C到平面PAB的距离为h,

在Rt团PAD中，PA=\/PD2+AD2=V3,

在Rt国PBD中，PB=>JPD2+BD2=V6.

^VPA2+AB2=PB2,

所以P41AB,

由%-P4B=5-ABC，

得：7x^xv^3x\/3x/i=ix^x4x\/3xV^，

.•・/1=越

3

即点C到平面皿的距离为攀

解析：本题主要考查了面面垂直的判定，求点到面的距离，属于中档题.

⑴过。作CF〃/1B,交BC于尸，由题意得CF、CD、BD,根据勾股定理可推出BD1CD,又因为PD1

平面ABC。，则B。J•平面PCD,又BDu平面尸8£),即可得证.

(2)设点C到平面PAB的距离为h,结合棱锥的体积运算即可得解.

9.答案：解：(1)在△.440中，因为M,。分别为48,8。的中点，AOQDM=G,

所以G为重心，所以需=2,又源=2,所以GN〃MC,

又•:GN仁平面ABC,MCu平面ABC,

GN〃平面ABC.

(2)因为平面A30_L平面BCD,AOJJ5O，

平面力BCn平面BCD=BD,4。u平面ABO,所以AOJ■平面88,

连结OC,则OCUOD，以瓯，而，万4｝为正交基底，

建立如图所示空间直角坐标系。-xyz,

不妨设4B=2,则C(b,0,0)，。(0,1,0)，4(0,0,遮)，G(0,0,日),

从而而=(一百,1,0),DG=(0,-1，Y).M=(-V3,0,V3)

设平面GND的法向量为五=(x,y,z),

(-V3x+y=0

则|J3>取x=l,则y=6，z=3,

{-y+—z=0

所以平面GND的一个法向量记=(1,73,3).

ET\CAnV26

••.cos(C4n)=^=—

•••AC和平面GND所成角的正弦值为名.

13

解析：本题考查线面平行的性质及判定、利用空间向量法求直线与平面所成角，属中档题.

(1)由已知可得G为重心，则需=2,根据翳=2,可知GN〃MC,根据线面平行的判定定理证明GN〃

平面48c.

(2)根据面面垂直的性质可得」(7_L平面3cD,可以瓯，而，瓦可为正交基底，以｛冠，而，就｝为正

交基底，建系,写出各点坐标,利用空间向量法解得平面GNO的一个法向量元=(1,V3,3),再由cos〈g?，

元＞=露=等，可得结果，

10.答案：解：(1)连结PO,OC.因为P4=PB,。为A8的中点，

所以P。_L4B.

因为C是圆O上异于A,8的一点，AB是圆。的直径，

所以4CJ.BC,从而4。=CO,

又因P4=PC,P0=P0,所以APa。三△PCO,所以NPOC=4POA,

即P。_L4c.因为A。，COu平面ABC,AOC\CO=O,

所以P。，平面ABC,

分别取AC,BC的中点例，N,

连接PM,OM,PN,ON,则在圆。中，OMJLAC,

由PO_L平面ABC,ACABC,

^POLAC,

又P0n0M=。，PO,OMu平面PMO,

所以4C_L平面PMO,PMu平面PM。,

所以力C_LPM,

所以NPMO=a,

同理，"NO=0,

(2)因为tan.=V3tana>所以BC=>/3AC=2痘,

在圆。中，CA1CB,以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，

CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面4BC的直线为z轴建立空间直角坐标系C-xyz,

则C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2A/3,0).

又因为PO_L平面ABC,所以OP〃z轴，从而P(1,W,2e)，

则CX=(2,0，0),CB=(0,273,0).CP=(1,VI,272).

nlCl=0

设平面PAC的法向量为访=(x,y,z),则

Tit.cP=o'

2v=0

即“+岛+7缶=。不妨取y=2鱼，则”。，

z=-V3.此时记=(0,2V2,-V3),

同理，平面P3C的一个法向量运=（2VX。，1）,

所以cos<m,n>=二:=。,

'|m||n|V11X333

又二面角4-PC-B为钝二面角，所以二面角4-PC-8的余弦值为一递.

33

解析：本题考查线面的位置关系，二面角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题,

（1）分别求出二面角的平面角，再进行求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

11.答案：解：（I）为正三角形，。为的中点，.•.PQ14C.

vADHBC,AD=DC=2BC,Q为A。的中点.

二四边形BCDQ为平行四边形，•••BQHCD.

又乙4DC=90°,•••乙4QB=90°,即BQ1AD.

又PQCBQ=Q,PQ,BQu平面PBQ

•••AD1平面PBQ.

（口）连接AC,交BQ于点、N,连接MN.

•••P4〃平面PAu平面APMN,平面BMQn平面4PMN=MN,P4〃MN.

•••ADHBC,AD=2BC,。为A。的中点..•.四边形BC04为平行四边形，

・•.N为AC的中点，为PC的中点.

•••平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面4BCD=AD,PQu平面PAD,PQLAD,

：.PQ，平面ABCD.

•:AD=DC=2BC=2,则PQ=技

__1_11

"V三楂锥A-BMQ=V三棱斛t-ABQ=］匕三雄擀-ABQ=''§XShABQXPQ

=ixix(lxlx2)xV3=^.

解析：本题重点考查线面垂直的判定和棱锥的体积公式，属于一般题.

(1)利用线面垂直的判定定理即可求证；

(2)证得PQ，平面ABCZ),利用等体积法即可求解.

12.答案：解析：(1)连结AC,交BD于点、0,则。为8。的中点

vPB=PD,

BD10P.

■■■PCiTffiABCD,BDu平面ABCD,

•••BD1PC.

•:PCCOP=P,PC,OPu平面PAC,

•••BD1平面PAC.

又ACu平面PAC,

：.BDLAC.

(2)•••四边形ABC。是平行四边形，

ADfIBC.

又ADu平面ADQF,BC平面ADQF,

BC〃平面ADQF.

•••平面2DQFn平面PBC=QF,BCu平面PBC,

QF//BC.

解析：(1)连结AC,交于点0,则。为的中点，证明BC1平面ACP得出结论;

(2)证明BC〃平面ADQF,根据线面平行的性质得出结论；

本题考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题.

13.答案：解：⑴证明：因为ABC。为正方形，所以4D〃BC.

因为4。C平面PBC,BCu平面PBC,

所以力。〃平面PBC,

因为4Du平面AEFD,平面AEFDC平面PBC=EF,

所以4D〃EF；

(2)证明：A8CO为正方形，

ADVAB,

•••平面PAB1平面ABCD,平面P4Bn平面ABC。-AB,

ADu平面ABCD,

AD，平面PAB,

•­•PBu平面PAB,

•••AD1PB,

•・・△P4B为等边三角形，E是PB中点,

:,PB1AE,

vAEu平面AEFD,ADu平面AEFD,AEnAD=A,

PB上平面AEFD；

(3)v4BCD为正方形，

•••AD][BC,

D

VAD，平面PBC,BCU平面PBC,

•••4。〃平面PBC,

"ADu平面AEFD,平面4EFDn平面PBC=EF,

AD//EF':匕=^C-AEFD'

22

^E-ABC=^F-ADC=3^C-AEFD=三匕，

^BC-AEFD=3^1'

则Up-ABCD=匕+I匕=I匕,

.•.幺=a

V28'

解析：本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能

力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.

(1)先证明出平面PBC,即可得至XD〃EF；

(2)由4BCD为正方形，可得4D14B,结合面面垂直的性质可得4。，平面P2B.从而得到4D1PB.再

由已知证得PB14E.由线面垂直的判定可得PB，平面AEFD；

(3)由条件知，Vr=Vc_AEFD,利用等积法把匕用匕表示，则会的值可求.

14.答案：证明：(1)因为AB=BC,M为AC的中点，

所以8"14C,

因为面ACC141面ABC,面43出n面ABC=AC,BMu面ABC,

所以BM_1_面4。641，

又BMu面BMN,

所以平面BMN1平面4CG4.

(2)设48的中点为"连结MH,NH.

因为“为AB的中点，

所以MH〃BC,且=

又不在平面BCC/i，BCu平面BCGBi，

〃平面BCC/i，

在三棱柱48C-41B1G中，

因为AC〃&G，且4C=4iG，N为aBi的中点，

所以NH〃BB「

又NH不在平面BCGBi，BBiu平面BCC1B1，

•••NH〃平面BCQBi.

又NHCMH=H,NH,MHu平面MNH,

••・平面MNH〃平面BCG/.

又MNu平面MNH,

所以MN〃平面BCCiB].

解析：本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间

想象能力以及计算能力.

(1)证明BM14C,得到BM然后证明平面BMN_L平面ACGA.

(2)设AB的中点为，，得到NHf/BB1,从而证明得到平面MNH〃平面BCC/〉利用面面

平行的性质得到证明.

15.答案：(I)证明：••・四边形A8CO为正方形，

AD//BC.

vADC平面PBC,BCu平面PBC,

AD〃平面PBC.

vADu平面AEFD,平面4EFDC平面PBC=EF,

•••AD//EF-,

(U)证明：四边形A3CZ)为正方形，

•••ADA.AB.

•••平面PAB1平面ABCD,平面P4BC平面4BCD=AB,ADu平面ABCD,

•••AD_L平面PAB.

PBu平面PAB,

•••AD1PB.

PAB为等边三角形，E是PB中点，

•••PB1AE.

■■■AEc5F®AEFD,ADAEFD,AEC\AD=A,

：.PB，平面AEFD-,

(III)解：

E

/・、/\।/

//✓///、、\I/

力/'、、i\f/z

D^———

由(I)知道，AD//EF,则EF〃BC,故F是PC中点，

vEF//BC,BC在平面A8C。内，E尸不在平面ABCD内，故EF//平面A8CD,

22

所以匕=Vc-AEFD，^E-ABC~^F-ADC~^C-ADF~孑^C-AEFD=多看，

则”-4BCD=%+匕+三匕=*匕，

V28,

解析：本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体

的体积，是中档题.

(I)由四边形ABC。为正方形，可得AD〃BC.再由线面平行的判定可得4D〃平面PBC.再由线面平行

的性质可得力D〃EF；

(II)由四边形ABCO为正方形，可得4。14B.结合面面垂直的性质可得4。，平面P4B.从而得到AD1

PB.再由已知证得PB14E.由线面垂直的判定可得PB1平面AEFD；

(in)由(I)知，Kj=vc-AEFD,利用等积法把%用匕表示，则意的值可求.

16.答案：证明：(1)1♦在正三棱柱4BC-&B1C1中，点。在边8c上，AD1C^D,

CC、1平面ABC,又4。u平面ABC,AD1CCX,

又C1DnCCi=Ci，G。，CGU平面BCG%,ADJL平面BCGB〉

(2)v710.-.ADIBC,

・••在正三棱柱ABC-4当Ci中，AB=BC=4C,C是8c中点，

连接EO,•••点E是C】Bi的中点，

二A4=DE，，四边形a&DE是平行四边形，

.-.A^Z/AD,

又4E仁面4DCi，ADu平面4DG.

•••&E〃平面

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的

培养.

(1)由已知AD_LGD,又因为CG1平面A8C,进而力D1CC「由此能证明4。J■平面BCGB「

(2)由4D1BC,得。是BC中点，连接EC,得四边形4&DE是平行四边形，由此能证明&E〃平面

ADCr.

17.答案：解：(1)证明：在平面ABC。中，AF=FC,BF+FC=y/3AB,

设AB=V3a>则BC=3a,设BF=x,

在△BAF中，x2+3a2=(3a-x)2,解得x=a,则4F=FC=2a,

因为点8落在线段FC上，所以BC=DE=a,所以BE1FC,

又A81BF即AB_LCF,ABnBE=8,AB,BEu平面ABE,

所以「Fd.平面ABE,由CFu平面EFC可得平面4BE1平面EFC；

(2)以尸为原点，FC为x轴，过点/平行8E的方向作为作y轴，

过点尸垂直于平面EFC的方向作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则C(2a,0,0),F(0,0,0),E(a,V5a,0),B(a,0,0),~BE=(0,V3a,0)，

易得平面ABE的一个法向量为而=(2a,0,0)，作DG1EC于G,

因为平面DEC1平面FEC,所以DG1平面EFC,

川［1厂/53V5a八、p.z53y/3aV3ax777?Z13>/3a百a、

则G(［Q,二一,0),D(-af——yBD=

设平面OBE的一个法向量为五=(%,y,z),

(n•瓦？=y/3ay=0

"［记•前=-ax++—z=0'

l44^2

令2=声则元=(一6,0,8)，

因为cos(ji.FC)=辛=卡=卫，

'''\n\\FC\2a-V3913

所以锐二面角4-BE-。的正弦值为11_(一吗2=运.

7v13713

解析：本题考查了面面垂直的判定、二面角和利用空间向量求面面的夹角，是中档题.

(1)先得出BE1FC,又AB1BF即ABJLCF,所以OF,平面ABE,由面面垂直的判定即可得证;

(2)建立空间直角坐标系，得出平面ABE的一个法向量和平面QBE的一个法向量，由空间向量求解

即可.

18.答案：(1)证明：v/.ACB=90°,即AC1CB,平面BCOEJ"平面△ABC,

平面8CDECI平面ABC=CB,ACu平面△ABC,所以AC_L平面BCDE,

因为DEu平面BCCE,所以ACJ.DE,

又因为矩形8CDE中DE1DC,ACCtDC=C,4Cu平面AACD,OCu平面△4CD,

DE_L平面4CD.

(2)解：因为。E〃BC,BCu平面ABC,DEC平面ABC,

所以OE〃平面ABC,设平面ABCn平面4DE=/,则QE〃/,且4e/,

由(1)知CE_L平面AC。，所以1_L平面AC£),

所以ND4c是平面ADE与平面ABC所成锐二面角的平面角，

(1)中已证明AC1平面BCDE,所以ZC1CC,

在RtAADC中，DC=BE=2,cos^DAC=所以AC=1,、

因为4c_L平面BCDE,所以NAEC是直线AE与平面BCQE所成的角，

矩形BC0E中，BE=2,CE=272.所以BC=2,

因为。E〃BC,所以NABC是异面直线。E与AB所成的角，

在RM4BC中，AC=1,BC=2,cos^ABC=-.

5

直线DE与A8所成角的余弦是3.

5

解析：本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角的计算，二面