高考数学一轮复习第十一篇统计与概率（考点梳理+考点自测+揭秘高考+集训）理新人教A版

第十一篇统计与概率③

第1讲抽样方法与总体分布的估计

【2014年高考会这样考】

1.考查三种抽样方法及其应用.

2.考查频率分布直方图中的相关计算（求解频率、频数等）.

3.考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征（平均数、方差、标准差等）.

»抓住31考点必考必记夯基场

对应学生

162

考点梳理

1.三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随总体中的个体

从总体中逐个抽取

机抽样数较少

在起始部

将总体均分成几部

系统抽样过程中每个个分抽样时总体中的个体

分，按事先确定的规

抽样体被抽取的概率相采用简单数较多

则在各部分中抽取

等，均属于不放回抽随机抽样

样

各层抽样

时采用简总体由差异明

分层将总体分成几层，分

单随机抽显的几部分组

抽样层进行抽样

样或系统成

抽样

2.频率分布直方图与茎叶图

（D当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反

映样本频率分布的表格称为频率分布表.绘制频率分布表的步骤为：①求极差;②决定组

距和组数;③将数据分组;⑷列频率分布表.

(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图.画频率分布直

方图的•般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对

应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它

的高,等于该组的频薪率.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率.，显然所有矩形的面积

之和为1.

3.样本的数字特征

(1)众数

在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

⑵中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间

两个数据的平均数作为中位数.

(3)平均数

一1

样本数据的算术平均数，即>=-(小+生+~+为).

n

(4)方差与标准差

I———

方差：s,=-[(为一★)'+(及-----1-(x„—x)1.

n

【助学•微博】

一条规律

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现

了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为"，总体的个体数为爪则用这三种

方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是§

/V

两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样

本容量，各小组频率的和等于1;

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该

组的频率，所有小矩形的面枳之和为L

考点自测

1.（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编

号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32

人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷4编号落入区间［451,750］的人做问卷且其余

的人做问卷C则抽到的人中，做问卷8的人数为（）.

A.7B.9C.10D.15

解析从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号

码为9,则第二组抽到的号码为39,第〃组抽到的号码为品=9+30（〃-1）=30〃-21,

236257

由451W30/?—21W750,得所以〃=16,17,…，25,共有25—16+1=10

1510

人，选C.

答案C

2.（2013•临沂模拟）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为

统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在

这三校分别抽取的学生人数是（）.

A.30,30,30B.30,45,15

C.20,30,10D.30,50,10

解析抽取比例是了■访冗故三校分别抽取的学生人数为3600x-^-

6bUU十34UU-r1oUUIZUIZU

=30,5400X^=45,1800XT1T=15.

J.乙UX乙U

答案B

3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,

则这一天10名工人生产的零件的中位数是（）.

A.14B.16C.15D.17

15+15

解析将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为一^―

=15.

答案C

4.（2013•西北工大附中测试）如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据

落在［6,10）内的频数为（）.

频率/组距

。26101418样本数据

A.12B.48C.60D.80

解析落在［6,10）内的频率为0.08X4=0.32,故频数为0.32X150=48.

答案B

5.（2013•长沙模拟）

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛

中得分的方差为.

（注：方差J=L［（xi-/>+（用-x）2H------F{x—x）1,其中x为x\，xi,—,X”的平

n

均数）

一11

解析x=T（8+9+10+13+15）=11,s=rX（9+4+1+4+16）=6.8.

55

答案6.8

02^突破土住考包研析案里有包娶破

对应学生

-163

考向一抽样方法

【例1］»从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能.请合理选择抽样方法进行

抽样，并写出抽样过程.

［审题视点］因为802不能整除80,为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体.

解由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如

下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车（剔除方法可用随机数法）；

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2,…，800,并均匀分成80段，每段含力=嘤=

oU

10个个体；

第三步：从第1段即1,2,…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号（如

5）作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25,…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本.

方法锦囊》解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本.

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定

了.

【训练1】(2012•天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽

样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所

学校，中学中抽取所学校.

150

解析根据分层抽样的特点求解.从小学中抽取30X77ETT^=18所学校；从中学中

75

抽取3°X而为萌=9所学校.

答案189

考向二频率分布直方图的绘制及应用

［例2］»某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取〃人进行了'

次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，称为“低碳族”，否则

称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数分组低碳族的人数占本组的频率

第一组[25,30)1200.6

第二组[30,35)195P

第三组[35,40)1000.5

第四组[40,45)a0.4

第五组[45,50)300.3

第六组[50,55]150.3

续表

8_--二

O..O7_--

O8..O6_--

.O5_--二

O6..O4_---

.03_--'

O8...0O2_--

1_--

O._

.0O5-

55年龄/岁

⑴补全频率分布直方图;

⑵求a,夕的值.

［审题视点］（1）要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；（2）灵活运用关系

式：器频率X组距=频率，避频数金=频率求解.

解（1）第二组的频率为1-<0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）X5=0.3,所以小长方形

03

的高为答=0.06.频率分布直方图如图所示.

0

120

⑵第一组的人数为森=2。。，频率为0.04X5=0.2,

~200

所以t〃=丁万=1°00-

195

由（1）知，第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1000X0.3=300,所以夕=荻

0.65.第四组的频率为0.03X5=0.15,所以第四组的人数为1000X0.15=150,所以a

=150X0.4=60.

方法锦囊》（1）绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用各组的频

频率

率之和是否为1来检验该表是否正确；②频率分布直方图的纵坐标是林，而不是频率.

频率

⑵由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：猫;X组距=频率.

【训练2】（2013•烟台四校联考）据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此,

济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅

球测试，成绩在8.0m（精确到0.1m）以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组,

并画出频率分布直方图的一部分如图所示.已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为

0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,且第6小组的频数是7.

（1）求这次铅球测试成绩合格的人数;

(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由.

解⑴由题易知,第6小组的频率为1一(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)X1=0.14,

7

,此次测试的总人数为万一%=50.

,这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28X1+0.30X1+0.14X1)X50=36.

(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28,前

四组的频率和为0.56,

.♦•中位数位于第4组内.

考向三用样本的数字特征估计总体的数字特征

【例3】》甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.

得分

16

15甲：—

14

13乙:―

12

II

10

第

第

第

第

第次数

三

一

二

四

五

次

次

次

次

次

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

[审题视点](1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；

(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.

解(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

—10+13+12+14+16=-

x甲=z13,

□

—13+14+12+12+14

/乙=~~13,

□

22222

s?f.=1[(10-13)+(13-13)+(12-13)+(14-13)+(16-13)]=4,

5

sl=1[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.

o

(2)由晶〉s之可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高,

而乙的成绩则无明显提高.

方法锦囊》（1）用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的

近似.实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差（方

差）分析稳定情况.

（2）若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差（标准差）；

另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数

据的波动性大小反映方差（标准差）的大小.

【训练3】

88400028

752202337

800312448

4238

（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统

计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为二甲，工乙，中位数分

别为加甲，/〃乙，贝1J（）.

A.x甲＜x乙,小甲〉扭乙B.x甲乙,加甲〈加乙

C.x甲〉x乙,加甲〉卬乙D.x甲〉x乙,加甲＜/乙

—1

解析x甲=77(41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5+6+8)=

345

--1

xz.=—(42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12+18)=

457

IF,

/.X甲＜X乙.

又,加甲=20,加乙=29,，/甲〈加乙.

答案B

03»揭秘3年高考权威解读真题展示

对应学生

方法优化15——快速掌握抽样方法的技巧

【命题研究】通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，其次是系统

抽样.题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综合考查，常以解答题的

形式出现，难度较低.

【真题探究】a（2012•江苏）某学校高「高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,

现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年

级抽取名学生.

［教你审题］4等比例性质；

二审抽取的样本容量.

［优美解法］高二年级学生人数占总数的3二=卷.样本容量为50,则高二年级抽取：

oIJ।41V

3

50Xjj=15（名）学生.

［答案］15

［反思］用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比例都等于

样本容量在总体中的比例，即今

【试一试】（2013•徐州模拟）从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100

厘米，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.现用分层抽样的方

法从身高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三组学生中，选取18人参加一项活动,则

从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为.

解析由（0.005+0.010+0.020+0.035+a）X10=1,得a=0.030,因此［120,130）,

［130,140）,［140,150］三组学生人数分别为：0.3X100=30,0.20X100=20,0.10X100

=10,所以，从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为4nxi8=3.

JUI乙UI1.v

答案3

041限时规范业练阶梯训练能力提升

对应学生

329

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2013•西安质检）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样

125

本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是20233

().3124489

455577889

A.46,45,56B.46,45,53

50011479

C.47,45,56D.45,47,536178

解析样本共30个，中位数为45三4-4一7=46；显然样本数据出现次数最多的为

45,故众数为45；极差为68—12=56,故选A.

答案A

2.（2013•南昌模拟）小波一星期的总开支分布如图（a）所示，•星期的食品开支如图（b）所示,

则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为().

其他

人“"5%

储蓄

食品开支

30%

30%

通讯开支

5%娱乐开支日常开支

10%20%

图(b)

A.30%B.10%C.3%D.不能确定

解析由题图（b）可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元.又由题图

（a）知，一周的食品开支占总开支的30%,则可知一周总开支为

30

1000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为丁丽X100%=3%.

答案C

3.（2013•成都模拟）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情

况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为从其

中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为

12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为().

A.101B.808C.1212D.2012

191

解析甲社区驾驶员的抽样比例为族=『四个社区驾驶员总人数的抽样比例为

968

12+21+25+43101

N=丁由一得八—808.

答案B

4.(2012•安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示,

则

频数

3

2

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

解析山题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的

平均数均为6,A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错；甲、乙的成绩的方差分别

2

为《X[(4—6)2+(5-6产+(6-6尸+(7-6/+(8_6)2j=2)lx[(5-6)+(5—6尸+(5

55

19

-6)2+(6-6)2+(9-6)2]C对；甲、乙的成绩的极差均为4,D错.

答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2013•武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生

随机地从1〜160编号，按编号顺序平均分成20组(1〜8号,9〜16号,…，153〜160号),

若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是.

解析设第1组抽取的号码为则第〃组抽取的号码为8(〃-1)+6,，8X(16—1)+6

=126,.-.A=6,故第1组抽取的号码为6.

答案6

6.(2013•苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽

取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如

图）.根据频率分布直方图可估计这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学

生人数是_______.

解析低于60分学生所占频率为（0.002+0.006+0.012）X10=0.2,故低于60分的学生

人数为1000X0.2=200,所以不低于60分的学生人数为1000-200=800.

答案800

三、解答题（共25分）

7.（12分）某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工

人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取个容量为20的样本，试确

定用何种方法抽取，请具体实施抽取.

解用分层抽样方法抽取.

具体实施抽取如下：

,、107020

（1）V20：100=1：5,.".——2,——14,­=4,

555

,从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.

（2）因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1〜10编号与1〜20编号，然后采

用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02,…，69编号，然后用随

机数表法抽取14人.

（3）将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.

8.（13分）（2012•揭阳调研）某校高一某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和

频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

叶

T68

62335689

71223456789

8缺失一

958

(1)求分数在［50,60］的频率及全班人数；

(2)求分数在［80,90］之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90］间的矩形的高.

解(1)分数在［50,60］的频率为0.008X10=0.08.

2

由茎叶图知，分数在［50,60］之间的频数为2,所以全班人数为"=25.

U.Uo

(2)分数在［80,90］之间的频数为25—2—7—10—2=4,频率分布直方图中［80,90］间的矩

4

形的高为芯+10=0-016.

B级能力突破

(时间：30分钟满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2013•哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数

列｛a.｝,若a=8,且a”a,&成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是

().

A.13,12B.13,13

C.12,13D.13,14

解析设等差数列｛a｝的公差为d(挣0),&=8,ai-=(aj)2=64,(8—2协(8+44=64,

(4-中(2+血=8,2d——=0,又,故d=2,故样本数据为

4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,样本的平均数为一"%一义”=13,中位数为"/=13,

故选B.

答案B

2.(2012•江西)样本(E,如…，幻的平均数为x,样本(y,为…，%)的平均数为y(x

Wy).若样本(xi,如…，Xmyi,j2,•­­,%)的平均数z=。x+(1—a)y,其中

0<<1,则〃，勿的大小关系为().

A.n</nB.n>m

C.n=mD.不能确定

解析依题意得XI+EH-----\-xn=nx,----卜外=初y,

生+热+・,・+为+----F/=(勿+〃)z=(加+〃)ox+(加+〃)(1—o)y,

:.nx+/ny=(m+n)ax+(/zz+z?)(1—<?)y,

n=m+na,

・<

[zff=m+n1—a,

于是有n—m=（m+n）[c—（1—）]=（m+n）（2。-1）,

a<T，.,.2a—KO,:.n—nKO,即勿>〃.

答案A

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.（2013•沈阳质检）沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人,

现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为〃的样本，

其中高三学生有11人，则n的值等于.

n11

解析由600+500+550=嬴'得"=33（人）.

答案33

4.（2013•北京西城一模）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18

秒之间.将测试结果分成5组:[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17）,[17,18],得到

如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3,

那么成绩在[16,18]的学生人数是

解析成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为所以成绩在[16,18]

1IoIIIOIo乙U

9

的学生人数为120Xh=54.

答案54

三、解答题（共25分）

5.（12分）汽车行业是碳排放量比较大的行业之一、欧盟规定，从2012年开始，对C02排放

量超过130g/km的MI型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类MI

型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位：g/km）：

甲80110120140150

乙100120Xy160

经测算发现，乙类品牌车C02排放量的均值为x4=120g/km.

(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；

(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO?的排放量稳定性好，求x的取值范围.

80+110+120+140+150

解(1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲=

5

120(g/km),

甲类品牌汽车的CO2排放量的方差

,80-1202+110-1202+120-1202+140-1202+150-120

=600.

100+120+x+y+160

⑵由题意知乙类品牌汽车的C02排放量的平均值X乙=

5

120(g/km),得x+y=220,故y=220—x,所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差

100-1202+120-1202+x-1202+220-^-1202+160-1202

5

因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s汶晶,解得90<K130.

6.(13分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名

职工，将全体职工随机按1〜50编号，并按编号顺序81

平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行703689

系统抽样.

6257

(1)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工

59

(2)的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求

该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(273公斤)

的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.

解(1)由题意，第5组抽出的号码为22.

因为4+5X(5—1)=22,所以第1组抽出的号码应该为2,抽出的10名职工的号码

分别为2,7,12,17,22,27,32,37.42,47.

(2)因为10名职工的平均体重为

—1

x=—(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,

所以样本方差为：52=-^-(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.

(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：

(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),

(79,81).

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件4它包括的事件有(73,76),(76,78),

(76,79),(76,81)共4个.

42

故所求概率为

P(A)--10--b

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计•高考

总复习》光盘中内容.

第2讲变量间的相关关系与统计案例

【2014年高考会这样考】

1.考查利用散点图判断变量之间的关系.

2.考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题.

3.考查独立性检验的基本思想及应用.

»抓住3工考点必考必记夯基固本

对应学生

165

考点梳理

1.相关关系的判断

(1)散点图直观反映了两变量的成对观测值之间存在的某种关系，利用散点图可以初步判

断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附

近，我们说变量x和y具有线性相关关系.

n__

zX-xy,-y

2=1

(2)相关系数r=-I=,当r>0时，两变量正相关，当

/n_n_

A/XXLxX必_y

Yi—i/=i

r<0时•，两变量负相关，当口〈1且|r|越接近于1,相关程度越直，当|r|Wl且|r|越接

近于0,相关程度越低.

2.最小二乘法求回归直线方程

(1)设线性回归方程为y=bx+a,其中，b是回归方程的斜率，a是截距.

n__n__

XXLx匕­y£xiyi-nxy

-7=1/=1

b==

n_n

T2V(22

),X-X乙£一〃X

2=12=1

a=y—bx.

(2)回归直线一定经过样本的中心点(x,y),据此性质可以解决有关的计算问题.

3.独立性检验

(1)独立性检验的有关概念

①分类变量

可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.

②2X2列联表

假设有两个分类变量乃和K它们的值域分别为5”热}和5,%},其样本频数列联表(称

为2X2列联表)为:

71Y2总计

X\aba+b

X2Cdc+d

总计a+cb+da-\-b+c+d

(2)独立性检验

利用随机变量*=-T7〃旷―一——拉丁(其中片a+计c+d为样本容量)

a+bc+da-\-cb+d

来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验.

步骤如下：

①计算随机变量长的观测值k,查下表确定临界值A,：

0.50.40.20.1

**》A)0.10

0055

0.40.71.32.02.70

ko

550823726

0.00.00.00.00.00

**》A)

52510051

3.85.06.67.810.8

ko

4124357928

②如果杉"就推断"才与r有关系”，这种推断犯错误的概率不超过尸（片》A。）；否贝ij,

就认为在犯错误的概率不超过汽芯》的的前提下不能推断“才与n有关系”.

【助学•微博】

一个区别

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非

随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.

三个特征

⑴回归方程尸-+a中的减示x增加一个单位时，而变化量约为4

（2）〃越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；〃越小，残差平方和越大，即模

型的拟合效果越差.

（3）当423.841时，则有95%的把握说事件A与8有关；

当*26.635时，则有99%的把握说事件｛与B有关:

当*W2.706时，则认为事件［与6无关.

考点自测

1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（）.

A.正方体的棱长与体积

B.单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量

C.日照时间与水稻的亩产量

D.电压一定时，电流与电阻

解析A,B,D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是

相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.

答案C

2.对变量x,y有观测数据（必，