高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (21)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（21）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.己知三棱锥P-4BC中，。为AB的中点，「。_1平面42仁/.APB=90°,PA=PB=2,则有

下列四个结论：①若。为△ABC的外心，则PC=2；②△ABC若为等边三角形，贝IJAP1BC；

③当NACB=90。时，PC与平面PAB所成角的范围为（0,勺；④当PC=4时，M为平面P8C内

一动点，若OM〃平面PAC,则例在APBC内的轨迹的长度为2,其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.在棱长为1的正方体4BC0-4当&。1中，点E,F分别是棱Ci%,8传1的中点，P是上底面

4道传1。1内一点，若ZP〃平面BOE凡则线段4P长度的取值范围是（）

A.惇闾B.冷由C.倍当D.偿冏

3.正方体45口-4用4乌的棱长为/，点河在棱上，且期=g，点产是平面上58上

的动点，且点尸到直线42的距离与点尸到点M的距离的平方差为人则点尸的轨迹是（）

A.抛物线

B.双曲线

C.直线

D.以上都不对

4.如图所不，已知平面an平面0=1,aLp.A,B是直线/上的两点，C,。是平面夕内的两点,

且4D1Z,CB1I,DA=4,AB=6,CB=8.P是平面a上的一动点，且有乙4PD=NBPC,

则四棱锥P—ABCD体积的最大值是（）

A.48B.16C.24V3D.144

5.如图，正方体ABCD-4道传1。1的棱长为1,点M在棱AB上，且4"=/点尸是平面A8C。

上的动点，且动点P到直线45的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是

（）

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.直线

6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）

A.yB.yC.詈D.攀

7.在侧棱441垂直底面ABC。的四棱柱ABCD-4道传1。1中，尸是棱0c上的动点.记直线41P与

平面ABC。所成的角为a,与直线DiG所成的角为0,二面角Di—AC—B为y,则a,。，y的大

小关系是（）

A.a<p<yB.p<a<yC.a<y<fiD.y<（i<a

8.在正三棱锥4-BCD中，侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱力B,CD的中点，则下列命题

正确的是（）

A.EF与AD所成角的正切值为|

B.EF与所成角的正切值为:

C.AB与面ACD所成角的余弦值为这

12

D.AB与面AC力所成角的余弦值为g

9.如图，正方体488-41816。1的棱长为2“，点。为底面488的中心，点/>在侧面881（；16；的

边界及其内部运动.若DiO_LOP,且ADiRP面积的最大值为44，则a的值为（）

A.1B.3C.\D.2

二、多项选择题（本大题共8小题，共32.0分）

10.如图直角梯形ABC。，AB//CD,ABIBC,BC=CD=^AB=2,E为AB中点，以。E为折痕

把AAOE折起，使点A到达点P的位置，且d。=2旧,则（）

A.平面PEO平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-B的大小为3

D.PC与平面PED所成角的正切值为企

11.正方体48。。-4/1（71。1的棱长为1,E,尸,G分别为8C,CCi，BBi的中点，则（）

A.直线久。与直线AF垂直

B.直线4G与平面AEF平行

C.平面AE尸截正方体所得的截面面积为:

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

12.M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点，将菱形沿对角线AC折起,使点。不在平面ABC内,

则在翻折过程中，以下命题正确的是（）

A.MN〃平面AB。；

B.异面直线AC与MN所成的角为定值；

C.在二面角。-4C-B逐渐渐变小的过程中，三棱锥0-4BC的外接球半径先变小后变大；

D.若存在某个位程，使得直线与直线BC垂直，则4ABe的取值范围是（0卷）.

13.如图，矩形A8C£>,M为BC的中点，将AABM沿直线AM翻折成连接BDN为名。的中

点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN14勺；

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BN,则AM1BXD-.

D.若AB=BM=1,当三棱锥&一AM。的体积最大时，三棱锥&一AMD的外接球的表面积是

47r.

14.在棱长为1的正方体4BCD-4B1GD1中，M是线段4G上一个动点，则下列结论正确的是（）

A.四面体/ACM的体积恒为定值

B.直线AM与平面4D1C所成角正弦值的最大值为士

2

C.异面直线与AC所成角的范围是［60。,90。］

D.当4必”=4G时，平面截正方体所得的截面面积为3

15.已知正方体ABCD的棱长为1,E是。5的中点，则下列选项中正确的是（）

A.AC1BrE

B.BiC〃平面4BD

C.三棱锥G-BiCE的体积为g

D.异面直线8停与8。所成的角为45。

16.已知三棱锥P-ABC的所有棱长均为2,E为PA的中点，则下列说法正确的是

A.直线PA与平面ABC所成角的正弦值为渔

3

B.过点E且与平面PBC平行的平面被三棱锥所截得的截面面积为立

2

C.过点E且与平面PBC垂直的平面与PB,PC分别交于点M,N,当MN//BC时，贝IJ/EMN的面积

为.

D.三棱锥E-PBC外接球的表面积为子

17.如图，四边形A8CC是边长为1的正方形,ED平面ABC£）,FB_L平面ABCQ,且ED=FB=1,G

为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是（）

A.EC1AFB.该几何体外接球的表面积为3兀

C.若G为EC中点，则GB〃平面AMD.AG?+BG2的最小值为3

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

18.已知正方体ABCD-4当6。1的棱长为“，点E,F,G分别为棱AB,口劣的中点.下列

结论中，正确结论的序号是.

①过E,F,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②〃平面EFG；

③BD]平面ACBi；

④异面直线E尸与BQ所成角的正切值为当；

⑤四面体AC/D1的体积等于

19.已知正方体4BC。-4B1GD1的棱长为1,E,F,M分别为棱AB,4么，/G的中点，过点M

与平面CEF平行的平面与AB交于点N,则四面体NCEF的体积为.

20.如图，△ABC中，/LBAC=90°,AABC=30°zABD中，AADB=90°,Z.ABD=45°,且AC=1.将

△4BD沿边AB折叠后，

(1)若二面角C—ZB—D为直二面角，则直线8与平面A8C所成角的正切值为；

(2)若二面角C—48—D的大小为150。，则线段CD的长为.

21.已知三棱锥S-ABC内接于半径为4的球中，S41平面ABC,/LBAC=45°,BC=2y[2,则三

棱锥S-ABC体积的最大值为.

22.如图所示，正方体力BCD-AiBiCWi的棱长为4,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任

意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，丽.丽的

取值范围是.

四、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

23.如图，在四棱柱4BCD-41B1GD1中，底面ABC。是边长为2的菱形，ABX=CB1.

(1)证明：平面BDDiBi1平面ABC。；

(2)若4MB=60。，ADBiB是等边三角形，求点名到平面C/O的距离.

24.如图，矩形ABC。所在的平面与平面A8E垂直，且AE，BE.已知4B=24。=2BE=2.

(1)求证：BE1DE；

(2)求四棱锥E-4BCC的表面积.

25.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJL平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2相,E

为PB中点，

从①CD_LBC；②3a〃平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答;

(1)求证：四边形ABC。是直角梯形，

(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.

26.如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱S4=SB=SC=SD,底面ABC。是菱形，AC与8。交于0

点.

(1)求证：ACSBD；

(2)若E为BC中点，点P在侧面ASCD内及其边界上运动，并保持PEJ.AC,试指出动点尸的

轨迹，并证明你的结论.

27.已知正三棱柱4BC-4&G中，AB=2,AAr=V3，。为AC的中点.

B

(1)当荏=［西时，求证：DEIBCi；

(2)在线段上是否存在点E,使二面角4-BE—。等于30。？若存在求出AE的长;若不存在,

请说明理由.

28.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°,AD=DC=：AB=1,四边形4CFE为正方形,

平面ACFE1平面ABCD.

(1)求证：平面BCFJ_平面ACBE；

(2)点M在线段E尸上运动，是否存在点M使平面MAB与平面ACFE所成二面角的平面角的余

弦值为|，若存在，求线段FM的长，若不存在，说明理由.

29.如图，在四棱锥P-ABDC中，底面A8DC是直角梯形，AB\\CD,AB=2CD,Q、”分别是是

PB、AB的中点

(1)求证：平面QMD||平面P4C；

(2)若PA_L平面CD=2,BD=3,PA=AB,求四棱锥P-4BDC的体积.

30.如图，斜三棱柱ABC-A/iCi中，2MBe为边长为2的正三角形，点4在底面ABC上的射影恰

为BC的中点O,G在线段40上，AG=2G0,"为。G与&C的交点，若8名与平面4BC所成

角为

(1)求证：GH//平面ACC1公

(2)求二面角Bi-。6-&的余弦值；

(3)求直线GH与平面ABC所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查学生空间想象能力，学生要熟练掌握立体几何平行、垂直、线面角等核心知识点考查，属

难题.

由题意画出图形，结合勾股定理判断①；由线面垂直的判定结合反证法判定②；利用运动思想与极

限观点判断③；求出满足。“〃平面PAC的M的轨迹并求得长度判定④.

解:如图，

①若。为AABC的外心，则△ABC为直角三角形，EL^ACB=90°,

•••PO，平面ABC,PO1OA,PO1OB,PO1OC,

由。4=OB=OC及勾股定理可得PA=PB=PC,可知①正确；

②△ABC若为等边三角形，可知C。工平面PAB,C。_L4P,若AP1BC,可得4P_L平面A8C,与PO_1_平

面A8C矛盾，则②错误；

③当/4CB=90。时，可以结合点C在A8为直径的圆周上，当点C靠近于4(B)时，PC与平面P48

所成角趋近于0,

当点C在AB的中垂线与圆周交点处，PC与平面尸4B所成角为不则PC与平面PAB所成角的范围

为(。，白，可知③正确；

④若OM〃平面PAC,则M在APBC内的轨迹的长度=2,知④正确.

・•・正确命题的个数是3个.

故选：C.

2.答案：B

解析:

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过

构造平行平面寻找P点位置，属于较难题.

分别取棱公&、的中点M、N,连接MN,可证平面〃平面8DER得P点在线段MN上，

由此可判断当P在MN的中点时，AP最小；当尸与M或，重合时，4P最大，然后求解直角三角形

得答案.

分别取棱必当、必劣的中点M、N,连接连接当为,

••・M、N、E、尸为所在棱的中点，

:.MN“B\D[,E尸〃Bi。1，

MN//EF,又MNC平面8QEF,EFu平面BDEF,

MN〃平面8DEF;

连接NF,由NF〃41/，NF=A$i，A^J/AB,ArBr=AB,

可得NF〃AB,NF=AB,则四边形ANFB为平行四边形，

则4N〃FB,而ANC平面BDEF,FBu平面BDEF,则4N〃平面BQEF.

又ANnNM=N,AN,NMC平面AAfN,

••・平面AMN〃平面BDEF.

又「是上底面4BiGDi内一点，且AP〃平面BDEF,

・•.P点在线段MN上.

在RtAA4iM中，AM=y/AA^+A^2=]1+；=争

同理，在中，求得4N=g，则aAMN为等腰三角形.

当P在MN的中点时，AP最小为卜+净=哼,

当P与M或N重合时，AP最大为+（界=H.

故选：B.

3.答案：A

解析：

本题主要考查正方体的结构特征，抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，属于中档题.

作PQ1AD,作QE1041，PE即为点P到直线久久的距离，由勾股定理得PE?-PQ2=EQ2=1,

又已知PE?-PM?=1,故PQ=PM,即P到点M的距离等于P到的距离，由此可得点P的轨

迹是抛物线.

解:如图所示：正方体4BCD—4B1GD1中，

作PQL40,。为垂足，则PQJ■平面4DD1人,

又占。1u平面40。遇1，所以PQ

过点。作QEJ.D1&,因为QECPQ=Q,PQ,QEu平面PQE,

所以DMi平面PQE,

■：PEu平面PQE,

：.。送［1PE,PE即为点尸到直线公。1的距离，

由题意可得PE?-PQ2=EQ2=1.

又已知PE?-PM2=1(

•••PM=PQ,

即P到点M的距离等于P到AD的距离，

根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线,

故选A.

4.答案：A

解析：

本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题，属于难题.

作PM14B于例，则PMJ.S，求出及底面面积，则可得V=：X36x,12-4t-t2,从而利用

配方法可得答案.

解：由题知：团PAD,团PBC是直角三角形，

又乙APD=LBPC,所以因PAD〜团PBC.

因为。4=4,CB=8,所以PB=2P4.

作PMJ.4B于M,贝UPM10.

令4M=3则P炉-t2=4。炉一(6-Q2,可得pa2=12-43

所以PM=，12—4t—t2即为四棱锥的高,

又底面为直角梯形，s=1(4+8)x6=36.

所以1/=|x36xV12-4t-t2=127-(t+2)2+16<12x4=48,

故选4

5.答案：B

解析：

【试题解析】

本题主要考查正方体的结构特征，抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，属于中档题.

作PQ1AD,作QRID/i，PR即为点P到直线4劣的距离，由勾股定理得PR?一PQ2=RQ2=1,

又已知PR2-PM2=1,故PQ=PM,即P到点仞的距离等于P到A。的距离，由此可得点P的轨

迹是抛物线.

解：如图所示：正方体4BC0-4勺的/中，

作PQL4D,。为垂足，贝iJPQ1平面

又A1Qu平面力。必41，所以PQJ.41D1，

过点Q作QR1DM1，因为QRnPQ=Q,PQ,QRu平面PQK,

所以。1平面PQR,

•••PRu平面PQR,

Di&1PR,PR即为点P到直线4Di的距离，

由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1.

又已知P/?2-p“2=1(

•••PM=PQ,

即产到点M的距离等于P到AD的距离，

根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线,

故选&

6.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的三视图以及圆柱和球的体积公式，根据三视图还原出几何体，即可求出结果,

属基础题.

解：由三视图可知该几何体为半圆柱和八分之一球组成，

其中圆柱底面半径为1高为3,球的半径为1,

故该几何体的体积V=|x7rxl2x3+^x^X7ixl3=^.

2833

故选民

7.答案：A

解析：

本题考查线线角、线面角，面面角的概念，属于简单题.

根据线面角的概念，可以知道a</?,而题中二面角么-4C-B的平面角是一个钝角，因此结论可

知.

解：根据线面角的概念，直线与平面所成的角是直线与其在平面内射影的夹角，是直线与平面内所

有直线所成角中最小的角，而直线56不是直线41P在平面ABC。内的射影，因此，a<0,且都

是锐角，而题中二面角。1-4C一B的平面角是一个钝角，故而有a<p<Y-

故选A.

8.答案：C

解析：

本题主要考查了异面直线所成的角、直线与平面所成的角、同角三角函数的基本关系、空间中的距

离以及余弦定理的应用等知识点，属于较难题.

由题意取AC的中点，，则4HFE即为E尸与4。所成的角，利用余弦定理可求得胡=叵，由HE=1,

2

HF=l，再次利用余弦定理可得到C0S4HFE,然后根据同角三角函数的基本关系即可得到tan/HFE,

根据%-88=%-4CD这一关系可得到点B到平面ACQ的距离，由此可求得AB与面ACQ所成角的

余弦值.

解：取4C的中点，，连接HE、HF、AF,BF,过点B作BMJ_平面4c。于M,过点4作04J■平面

BCD于点O,

A

♦.•点尸为C£＞的中点，・••H尸〃4D,•••NHFE即为E尸与A£）所成的角,

•••4一BCD是正三棱锥，易知点M在AF上，点。在BF上,

:侧棱长为3,底面边长为2,4B=4。=3,BC=2,CF=1,BF=V3,AF=2五,

3

HE=l，HF=,

由余弦定理可得=变需普=蟹=争，

ACLBE2+BF2-EF2=竺［=拶，解得EF=/,

・•・CQSZ-ABF=-------------------=

2BEXBF2x^xV392

9,13,—

222

••・cos乙H„F„„E=-H-F---+-E--F----H--E-:4+-r-13小

2HFXEF"2四退一13,

乙HFE€［().5］，sinzHFf=V1—cos2zHFE=

・"4盛=瞿鬻=|,即所与AD所成角的正切值为|,

故4,8错误;

由图中知，为48与面A8所成的角，

•••△BCD为正三角形，且04，平面BCD,

OB=抑=争OA=>/AB2-OB2=、

•••*CD=2X2X遮X=苧,

VB-ACD=：X3X2x2夜x8M=竺BM,

:隹BM:叵,解得BM=叵,

334

.CAR,BM乎V46­•/774Vr()-1

・•・smZ.BAM=—=—=—，9，

AB312L/」

・••cosZ-BAM=V1—sin2Z.BAM=—,

12

•••AB与面ACD所成角的余弦值为型，

12

故C正确，O错误;

故选c.

9.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查直线与平面的垂直的判定以及空间中线线、线面间的位置关系，属于较难题.

由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得产的轨迹，求出P到棱G5的最大值，代入三角形

面积公式求解.

、、

解：如图，取BBi的中点凡连接。尸、A尸、CFgF,连接力。、BOOC、Di/、DXC,

则&F=BF=a,DO=BO=0C=y[2a，D1B1=DrC=2或a，

BBrABCD,BBi1平面4出。也，。也JL平面BBC。，

222

•••ODi=y/OD+DD^=*>a，OF=>/OB+BF=V3a-D/=[D®+&0=3a,

2

ODl+OF=D/2,0D2+0C2=£)iC2t

•••0Dr1OC,0D\1OF,

vOCC\OF=0,

.­•ODr1平面OCF,

：.。。11CF,

•・•点P的轨迹为线段CF.

又•••C/=jBiC/+B/2=V5a>£C=2a，

2

△DiGP面积的最大值S=|cxF-D[C]=|X2axV5a=V5a=4V5,

解得a=2.

故选。.

10.答案：AC

解析：

本题考查了空间中垂直关系的相互转化，线面角，面面角求解，属于较难题目.

利用面面垂直判定定理证明A选项；假设PC可推出线面垂直，然后可得NEDP=NED4,

显然不成立；

确定二面角的平面角为NPDK,然后可判断C；NCPO为直线PC与平面PAD所成角，在RMCD

中，tanACPI)=£2=也即可判断D.

PD2

2222

解：A中，pD=AD=J4]+DE?=V2+2=2亚，在三角形PDC中，PD+CD=PC"

所以PO1CO，又CDtDE，可得81平面PA'。，COu平面E8CO，所以平面。平面

EBCD，A选项正确；

8中，若PC1ED，又ED工CD，可得KO_L平面PAC,则E01PO，而4EDP=NEDA，

显然矛盾，故B选项错误；

C中，二面角P—的平面角为/尸。",根据折前着后不变知NPOE=N4OE=45°，故C

选项正确；

。中，由上面分析可知，NCPD为直线PC与平面所成角，在中，

tanZCPD=—=—＞故。选项错误•

PD2

故选：AC

11.答案：BC

解析:

本题考查空间中直线与直线的位置关系，棱锥的体积，平面的基本性质及应用，面面平行的判定和

面面平行的性质，属于中档题.

结合正方体的结构特征，利用空间中直线与直线的位置关系对A进行判断，再利用面面平行的判定

和面面平行的性质对B进行判断，再利用平面的基本性质及应用，对C进行判断，再利用锥体的体

积对。进行判断，从而得结论.

解：因为直线。1。〃4遇，而4通与直线AF不垂直，

所以直线%。与直线AF不垂直，即A不正确；

取BiG的中点为H,连41H和GH,

因为ZBCD-4B1GD1是正方体，G是BBi的中点，

所以〃/IE,GH//EF,

而4E,EFu平面AEF,AXH,GH仁平面AEF,

因此〃平面AEF,〃平面AEF.

又因为4HCGH=H,

所以平面4/G〃平面AEF,

而&Gu平面力jHG,

因此直线&G与平面AEB平行，所以B正确；

连接ZDi，FD「

因为4BCD-&B1GD1是边长为1的正方体，E、F分别为BC,CG的中点，

所以4DJ/EF,且45=2EF=应，

所以等腰梯形EFQA为平面AEF截正方体所得的截面.

又因为产劣=4E=渔，易得等腰梯形高为这，

124

所以截面面积为“方+巧x*=2,所以C正确；

易得SAGEF=2S&EFC，所以%-GFE=^A-EFC即匕;-4EF=^C-AEF

因此点G到平面A£F的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，所以。不正确.

故选8c.

12.答案：ABD

解析:

本题考查空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，线面平行的判定，三棱锥

的外接球，综合性较强，属于较难题.

根据线面平行判定定理判断4根据异面直线成角判断B；借助极限状态结合球的知识判断C;过A在

平面ABC中作「交BC于，，讨论若乙4BC为锐角，若乙4BC为直角，若NABC为钝角的情况

判断。.

解：4由“，N分别为菱形ABC3的边BC,CQ的中点，故MN〃B。，MNC平面A8Q,故MN〃平

面ABD；故A正确；

B.取AC中点P,连接。P,BP,由于菱形48C。，所以OPL.AUAC,可证得4cl平面OP8,

故BDLAO,又MN〃BD,故MNJ.AC,异面直线AC与MN所成的角为定值.故B正确；

C借助极限状态，当平面QCA与平面8cA重合时，三棱锥D-4BC的外接球即为以三角形4BC的

外接圆为圆心，半径为半径的球，当二面角变大时球心离开平面ABC,但球心在平面ABC的投影仍

然为三角形A8C的外接圆的圆心，故二面角不为0时，外接球半径一定大于三角形ABC的外接圆半

径，故三棱锥D-ABC的外接球半径不可能先变小后变大.故C错误；

。.过4在平面4BC中作0交BC于H,若乙4BC为锐角，，在线段BC上；

若NABC为直角，，与B点重合，即OZLLBCI由于CD=CB,不可能成立.

若N4BC为钝角，则原平面图中，NDL3为锐角，由于立体图中DB<DP+PB,故立体图中

NOJ3一定比原图中更小，因此NOCB为锐角，DH1BC,故H在线段C8上，与〃在线段BC

的延长线射线CB上矛盾，因此Z4BC的取值范围是（9怖）.故D正确.

故选ABD.

13.答案：BD

解析：

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定

理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

对于A取AO的中点为E,连接CE交MQ于点F,贝ijNE〃/由CN_L则EN1CN,从

而判断4,对于8,由判断A的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判断；

对于。根据题意知，只有当平面JAM1平面AM。时，三棱锥当一4Mo的体积最大，取的中点

为E,连接0E,B]E,ME,再由线面垂直的性质定理即可判断.

解：对于A,取4。的中点为E,连接CE交MD于点凡如图1,

Mc

图1

贝UNE///!%,NF"MB\

如果CNIABi，则EN_L.CN,

由于力/1MB1，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于8,如图1,由NNEC=/MABi，

UNE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

，用。

BMC

圉2

取AM中点为。，•••4B=BM,即AB1=&M,则力M1B10

若4M±B[D,由于B]。nB1D=

且当。，&。u平面0。当，

AM1平面。DBi，。£>(2平面0。81，

OD1AM,则AD=MD,

由于ADRMD,故4MlBi。不成立，故不正确；

对于D,根据题意知，只有当平面Bp4M_L平面AMD时，

三棱锥当-AMD的体积最大，取AD的中点为E,

连接OE,B]E,ME,如图2

•••AB=BM=1,贝ijABi=FjM=1,

且1B1M,平面814MC平面AMO=AM

•••Bt01AM,Bi。u平面EiAM

BT01平面AMD,OEu平面AMD

B]。1OE,

则4"=或，BrO=^AM=~,

OE=-DM=-AM=—,

222

从而EBL恪j+(野=1，

易知E4=ED=EM=1,

•••AD的中点E就是三棱锥&-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4TT,故O正确；

故选BD.

14.答案:AC

解析：

【试题解析】

本题考查正方体的结构特征、锥体的体积、直线和平面所成的角、异面直线所成的角、几何体中的

截面问题和空间想象能力，涉及利用空间向量求线线角与线面角、线面垂直的性质、面面平行的性

质、函数的最值，属于较难题.

对于A,由4G〃AC可得△4CM面积为定值，又由见到平面ACM的距离即为点名到平面4CG41的

距离等，代入体积公式计算即可判定；

对于8,以。为原点，以D4DGDD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设的=4值(04441)可

得计算平面4D1C的法向量，利用空间向量求解线面角，转化为二次函数求最值即可

判定;

对于C,利用空间向量求解线线角，可得cos<前，》>二万葭。，令t=l—2九分t=0和

V2Xv2Xz-2Z+2

tH0求解范围即可判定；

对于。，由平面平面八3ao可得梯形E/由力即为截面，计算梯形面积即可判定.

解：对于A,因为点M是线段41cl上的动点，且41c1/AC,所以△4CM面积为定值，

又因为点名到平面ACM的距离即为点名到平面力CC12的距离华，故也为定值，

所以/「ACM=»AACM,"1为定值,故A正确；

对于B,以。为原点，以ZM,0C,0Di分别为x,y,z建立空间直角坐标系，

则。i(0,0,0,0)((0,0,1),。式0,1,1),

设的=2^^(04/141)，则-41).

则瓦M=(尢1一尢0)，

易得平面4。道的法向量为沆=(1,1,1),设直线与平面4£>iC所成角为0,

则sin”|cos<D^,m>\=岛J+ixJ

111V6

所以当4=泄sin。有最大值将公^=号=可故2错误；

对于C,由m=(一1,1,0),BM=(A-1,-A,1)'所以cos〈丽，前>=己X：；?2；I+2'

V

令t=1—2A,则—1<t<1,cos<BM,'AC>=

当t=0时，cos<丽，前>=0;

当twO时，即6)2》1，所8$<的，刀>=立<：.

所以cos<JM,AC>G[0,|],

所以异面直线B仞与AC所成角的范围是[60。,90。],故C正确；

对于。，由平面、|小3。1〃平面」1/?「。可得，平面BOM与平面4B1GD1的交线平行于BD,

过点M点作直线EF〃BO,则梯形EFBD即为截面，

因为441M=&6，所以EF=¥，此时EF,BD间的距离为，Jr+(涯y=西,

所以截面面积为更处空=延，故。错误.

24

故选AC.

15.答案：AB

解析：

本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，三棱锥的体积，异面直线所成角，属于中档题.

由线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，三棱锥的体积，异面直线成角，逐项进行判断即可得

解.

解：在正方体4BCC中，

BBi1平面ABCD,ACu平面ABCD,

BB]1AC,

又•：AC1BD,BDCBB「B,BD、BBru平面BOOiBi，

•••AC，平面BDDiBi，

B1Eu平面BDD$i，

AC1BrE,A正确；

•­•AB//AyB^//CD,AB==CD,

•••四边形为B1CC为平行四边形，

A、D"BiC,

­•ArDu平面&BD,BXCC平面

二BiC〃平面AiBO,故3正确；

三棱锥G-B[CE的体积为%L/CE=VE-B.C.C=ixixlxlxl=i,故C错误;

由题意，BD〃B\D[,则异面直线aC与8D所成的角即为

而4CBi5为等边三角形，

所以4cBi/=60°,

即异面直线8传与8。所成的角为60。，故力错误.

故选AB.

16.答案：AC

解析：

本题考查了空间中直线、平面的位置关系，直线与平面所成的角，截面的面积及三棱锥外接球问题,

属于难题.

结合选项依次判断即可.

解：对于A项，

如图所示：

分别取AB,BC的中点LF,连接CL,A尸，交于点O,

因为三棱锥P-ABC的所有棱长均为2,则三棱锥P-ABC为正三棱锥,

故PO_L平面，

则4P4。为直线PA与平面ABC所成角的平面角，

在直角三角形POA中，

后，故4项正确;

sinZ.PAO=—

对于8项，

过点E且与平面平行的平面被三棱锥所截的截面是边长为1的正三角形,

其面积为在，故B项错误；

4

对于C项，

如图所示；

依题意，BCA.PF.BC1AF,

因为PFC4F=F,PF,AFC平面PAF,

所以J.平面P.4F,

因为U平面PBC,

所以平面PAF±平面，

连接「凡作EH1PF,

因为平面P"C平面PBC=PF,EHU平面PAP，

所以EH_L平面PBC,

在三角形PBC中，过点H作ZN〃BC,与PB,PC分别交于点M,N,

连接EM,EN.因为EHu平面EMN,则平面EMN_L平面PBC,

在直角三角形PEF中，PF=心,PE=1,

由PE?=PHxPF得PH=立，所以£77=11--=—,

3yj33

因为警=保=/所以MN=|,

所以4EMN面积为工x渔x2=渔，故选项C正确;

2339

对于。项，

如图所示：

因为PE1EB,PE1EC,且EBCiEC=E,EB,ECu平面EBC,

所以PE1平面EBC,

设三角形EBC的外接圆的半径为r,

（可+（可-2?=1.

贝kos/BEC

2X\^3xV33

则sinZ_BEC=V1—cos2Z-BEC=Jl—(1)=等，

23

由正弦定理得，2”金，则「二蹲=近，

设三棱锥E-PBC外接球的半径为R,

则腔=产+(广洲片

则三棱锥E-PBC外接球的表面积为4兀/?2=誓.故选项。错误.

故选AC.

17.答案:ABC

解析：

本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，以及球的表面积，

考查运算能力，属于中档题.

以。为原点，0A所在直线为x轴，QC所在直线为y轴，£>E所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

分别求得。，A,B,C,F,E的坐标，由於，正的坐标表示，可判断A；确定球心为矩形

的对角线交点，求得半径，可判断氏求得G的坐标，求得平面月E尸的法向量，计算可判断C；设

出G的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断。.

解：以。为原点，D4所在直线为x轴，CC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐

标系，可得。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),F(l,l,1),E(0,0,1),

即有比=(0,1，-1).AF=(0,1)1)，

由希•就=0+1—1=0，可得EC14F,故A正确；

由球心在过正方形ABCQ的中心的垂面上，即为矩形BQEF的对角线的交点，

可得半径为J停)2+立，即有该几何体外接球的表面积为4兀义：=3兀，故B正确；

24

若G为EC中点，

可得G©/，BG=|)>=(-1,0,1),AF=(0,1>1)>

设平面4EF的法向量为五=(x,y,z),

可得-x+z=0,且y+z=0,

可设x=l,可得一个法向量为(1,一1,1),

由布•记=-：+[=0,可得就1汇则GB〃平面AEF,故C正确；

设G(0j,l-t)(0<t<1),

AG2+BG2=1+t2+(1-t)2+1+(1-t)2+(1-t)2=4t2-6t+5=4(t-1)2+

当t=[时,取得最小值故。错误.

18.答案：①③④

解析：

本题考查正方体、棱锥及其结构特征，棱锥体积的求法，线面平行的判定，线面垂直的判定以及异

面直线所成角的求法，属于较难题.

根据相关知识逐项判断即可.

解:对于①,延长E尸分别与,BiB的延长线交于N,Q,连接GN交4/1于H,设HG与81G的延长

线交于P,连接PQ交OR于I,交BC于M,连接FH,HG,GI,IM,ME,EF,则截面六边形EFHG1M

为正六边形，故①正确；

对于②，当。1与HG相交，故/A与平面MG相交，所以②不正确；

对于③，在正方体48CD-4B1GD1中，易知BDi1AC,BDXJL&C,且4c与aC相交，所以_L平

面4CB],故③正确；

对于④，连接4B,由条件有&B〃EF,所以N&BDi为异面直线E尸与BDi的夹角，在直角三角形

1

中，tanZ.A\BD\[么=.故(J)正确；

对于⑤，四面体AC/。[的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为a3—4x[x]a3=

|a3,故⑤不正确.

故答案为①③④.

19.答案:1

解析：

本题考查面面平行的判定及棱锥的体积公式，属于较难题.

取4/1中点”，连接HG，可得HCJ/EC,连接4M,连接SC,延长当必与SF延长线交于点P,连

接EP,可得平面PSCE和平面EFC为同一平面，由面面平行得出过M为面CEF平行的平面与A8

交点N即为。点，再由棱锥的体积公式求出即可.

解：取&当中点，，连接"G，可得HCJ/EC,

连接&M,又M为GA中点，

取AM中点S,连接FS,

又•••F为&Di中点，

•••FS/IA^M,FS//EC,

连接SC,即SC直线为平面EFC与平面Ci交线，

延长与SF延长线交于点P,连接EP,

可得△P&F三△SD/,

可得平面PSCE和平面EFC为同一平面，

过M的平面平行平面PSCE,

取BE中点0,连接40,

•••P4//E。且PA】=EO,AA[0“PE,

又4。C平面EFC,PEu平面EFC,

&。〃平面EFC,

X---PAJ/SMllPAi=SM,

A^Mf/PS,同理，〃平面E尸C,

4。n41M=A1,A^O,A^Mu平面AM1。，

.•・平面”4。〃平面EFC,

•••过M为平面CEF平行的平面与AB交点N即为。点，

则T"1面传、=gs^ENch=：x[x[xl=].

故答案为

20.答案：与1；2

解析：

本题主要考查根据二面角求线面角、线段长度，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查余弦定理，

属于中档题

作出二面角C-AB-。的平面角.

(1)当二面角C-AB-C为直角时，判断出直线CO与平面A8C所成的角，解直角三角形求得线面角

的正切值.

(2)当二面角C-AB大小为150。时，结合余弦定理进行解三角形，由此求得C£＞的长.

解：取A8的中点E,8c的中点F,如下图,