高中数学《二项分布》教案、导学案与同步练习

《7.4.1二项分布》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布

列》，本节课主本节课主要学习二项分布

前面学生已经掌握了有关概率的基础知识等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相

互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种应用广泛的概率模

型，是对前面所学知识的综合应用。节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，

进而认知数学理论，应用于实际的过程。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概1.数学抽象：n重伯努利试验的概念

念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算；2.逻辑推理：二项分布的随机变量的均值和方差

B.能够解决随机变量服从二项分布的实际应3.数学运算：二项分布的有关计算

用问题，会求服从二项分布的随机变量的均4.数学建模：模型化思想

值和方差.

【重点与难点】

重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题导学

问题1：伯努利试验

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包

含两个可能结果.

例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学通过具体的问题

检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试情境，引发学生

验(Bernoullitrials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组思考积极参与互

动，说出自己见

成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同解。从而引入的

特征：n重伯努利试验

(1)同一个伯努利试验重复做n次；(概率相同)的概念，发展学

(2)各次试验的结果相互独立.生逻辑推理、数

做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？学运算、数学抽

如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件象和数学建模的

为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？核心素养。

1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.

3.一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.

随机是否为n重伯伯努利试验P(A重复试验

试验努利试验)的次数

1是抛掷一枚质地均匀0.510

的硬币

2是某飞碟运动员进行0.83

射击

3是从一批产品中随机0.920

抽取一件5

二、探究新知

探究1：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同？

伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发

生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所

以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个

离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.

问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次

数X的概率分布列是怎样的？

用A表示“第i次射击中靶"(i=l,2,3),用如下图的树状图表示试验的

i

可能结果:

试验结果X的值

AAA33

A.2A32

A]A2A32

A]瓦2几---------1

AiA2A32

AiA2A31

-AiA2A31

-A.A^A,0

问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有2二8种可能结果，它们

两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘

法公式得

P(X=0)=P(方42&)=0.23,

2

P(X=1)=P{AXA2A^+=3x0,8x0.2,

P(X=2)=PGM2N3)+P(4324)+PGM24)=3x0.82x0.2,

3

P(X=3)=PU1X2713)=0.8.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰

好2次中靶的所有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的

概率都相等，均为0.8X0.2,并且与哪两次中靶无关.

因此,3次射击恰好2次中靶的概率为最x0.82x0.2.同理可求中靶0次，1

次,3次的概率.

于是，中靶次数X的分布列为：

P(X=k)=x0.8"x0.23T,k=0,1,2,3

探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的

结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.

(1)表示中靶次数X等于2的结果有：4A2A3A4,4A2A3A41,

A1A2^384,41A21^3^4，A[2]人243Z4，H6。

(2)中靶次数X的分布列为：P(X=k)=Cfx0.8kx0.24f,k=

0,1,2,3,4

二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为

p(0<p<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为通过问题分析，

P(X=/c)=C„xpkx(1—p)n-k,k=0,1,....n.让学生掌握二项

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布分布的概念及其

(binomialdistribution),记作X~B(n,p).特点。发展学生

逻辑推理，直观

X01・・・k・・・n

想象、数学抽象

・・・C：P鳖*・・・

pC：P%C：p"q"和数学运算的核

心素养。

事件N发生的概率

事件4发生的概率

试验总次数事件4发生的次数

思考1:二项分布与两点分布有何关系？

两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=l的二项分布；二项分布可以看

做两点分布的一般形式.

思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？

如果把P看成b,1-p看成a,则xpkx(1-p)n-k就是二项式

[Q-p)+p『的展开式的通项，由此才称为二项分布。

即EkPQ=k)=2%或xp"x(1-p)…=[p+(1-p)]'=1

三、典例解析

例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

(1)恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.

分析:抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结

果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二

项分布。

解：设人="正面朝上”，则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数，

X~B(10,0.5).

(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是

P(X=5)=CfxO.510;

%J1U01024256

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内等价于4WXW6,于是

通过典例解析，

67221

101010

P(4<X<6)=C^bxO.5+Cf0xO.5+Cf0xO.5=--=—.

1UZ4,uZ在具体的问题情

例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但

境中，深化对二

相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡

项分布的理解。

有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后

发展学生逻辑推

都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编

理，直观想象、

号为0,1,2,10,用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布

数学抽象和数学

列。

运算的核心素

分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试

养。

验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两

种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次,且

每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努

利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分

布。

解：设人="向右下落”，则扉“向左下落”，且P(A)=P(用=0.5.因为小

球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中

共碰撞小木钉10次，所以X〜B(10,0.5).于是，X的分布列为

P(X=k)=£%xO.510,k=0,1,...,10.

X的概率分布图如下图所示：

A

--------------------------------->

二项分布中需要注意的问题和关注点

(1)当X服从二项分布时，应弄清X〜B(n,P)中的试验次数n与成功概

率P.

(2)解决二项分布问题的两个关注点

①对于公式P(X=k)=C：pk(l-p)"f(k=0,1,2,n),必须在满足

“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式.

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一

次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复

地进行了n次.

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙

获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可

以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再

利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局，把n局

比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1,

前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每

局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为pi=0.62+6x0£2x

0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0,3：1或3：2因

为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为P2=0.63+或X

0.63x0.4+废x0.63x0.42=0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的

局数，则X〜B(3,0.6).甲最终获胜的概率为pi=P(X=2)+P(X=3)=废x

0.62x0.4+废x0.63=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，

则X〜B(5,0.6).

甲最终获胜的概率为P2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=X0.63X0.42+《x0.64x0.4+熊X0.65=0.68256

因为P2>P「所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力

较强者越有利.

探究3：假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差是什

么？

(1)当n=l时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1-p,P(X=

1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X)=p(l-p).

(2)当九=2时，X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)

=2p(l-p),

P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)

=0x(1—p)2+lx2p(1—p)+2xp2=2p.D(X)

=02x(1—p)2+l2x2p(1—p)+22xp2—(2p)2

=2p(1—p).

一般地，如果X~B(n.p)，那么E(X)=np;D(X)=np(l-p).

kkn-k

证明：•••P(X=k)=Cpq

n

kk-1

(VkC=nC)

nn-l

kkn-kk-1k-In-k

/.kP(X=k)=kCpq=npCpq

nn-l

00n11n-l22n-2kkn-k

/.E(X)=OXCpq+1XCpq+2XCpq+…+kXCpq+•••+

nnnn

nn0

nXCpq

n

00n-l11n-2k-1k-1(n-l)-(k-l)n-ln-

=np(Cpq+Cpq+…+Cpq+・•・+Cp

n-ln-ln-ln-l

10n-l

q)=np(p+q)=np

例4.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有

且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不

得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6,求此学生在这一

次测验中的成绩的数学期望和方差.

解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为g,所得的分

数为n,

由题意知，n=4&,且&〜B(25,0.6),

则E(C)=25X0.6=15,D(&)=25X0.6X(1-0.6)=6.

故E(n)=E(44)=4E(g)=60,D(n)=D(4&)=42XD(C)=96.

所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是

60和96.

三、达标检测

1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,这名选手在10次射击中，通过练习巩固本

恰有8次击中目标的概率为()节所学知识，通

A.C.0X0.8sX0.22B.0.88X0.22过学生解决问

题，发展学生的

C.CioX0.28X0.82D.0.28X0.82

数学运算、逻辑

解析：设X为击中目标的次数，则X〜B(10,0.8),

推理、直观想

这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X=8)象、数学建模的

2核心素养。

X0.8"X(1-0.8)=CIOX0.6X0.22.故选A.

答案：A

2.已知X是一个随机变量，若X〜B(6,，,则P(X=2)等于()

341380

A——R---p---n---

16243243243

解析：由题意知n=6,p=；,

故P(X=2)=C；X@2x(l—962KX。之X@4=墨.故

选D.

答案：D

3.已知X〜B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n=,p=

解析：因为随机变量X~B(n,p),所以E(X)=np=8,D(X)=np(l—p)=

1.6,解得p=0.8,n=10.

4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对

9

者为本队赢得一分，答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均怎，

O

991

乙队中每人答对的概率分别为三，三，5，且各人答对正确与否相互之间

没有影响.用g表示甲队的总得分.

(1)求随机变量g的分布列.

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示

“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，

所以&〜B(3,|1.

P(g=1)=《x|,

•J\»7

P(—)=C；X。2(1-1)=|,

38

P(g=3)=C；X

27

/、2(A2(2、<211,121111^10

P(C)=C3p口x[l--Jx^-x-x-+-x-x-+-x-x^=-.

2

P(D)=药8乂(自2W认气।1X([l-2n)4

-243

10434

所以P(AB)=P(C)+P(D)=+

81243—243

5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗

遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是:.

O

(1)求这位司机遇到红灯数&的期望与方差.

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间n的期望与方

差.

解析：(1)易知司机遇上红灯次数€服从二项分布，

且&〜B(6,,所以E(g)=6X4—2,

D(€)=6XiXG4)=3-

(2)由已知H=30€,所以E(n)=30E(&)=60,D(H)=900D(€)=1

200.

四、小结

1.二项分布的定义：通过总结，让学

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为生进一步巩固本

p(0<p<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为节所学内容，提

P(X=k)=xpkx(1—p)n~k,k=0,1,n.高概括能力。

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布

(binomialdistribution),

记作X-B(n,p).

2.确定一个二项分布模型的步骤：

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

()2确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X〜B(n,p).

3.一般地,如果X~B(n,p)，那么E(X)=np;D(X)=np(l-p).

【教学反思】

课后通过对教学过程的反思与研究，才能不断完善教学设计中的不足，才能提升教材分析

的能力和课堂教学实效.

1.多元展示，多方评价.在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在

整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补

充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.

2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中，让学生考察了分别考察了两类题型之后

再引导学生进行归纳，这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.

《7.4.1二项分布》导学案

【学习目标】

1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算；

2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值

和方差；

【重点与难点】

重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

【知识梳理】

1.伯努利试验

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.

例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性

或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials).我们将

一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重

伯努利试验具有如下共同特征：

(1)同一个伯努利试验重复做n次；(概率相同)

(2)各次试验的结果相互独立.

2.二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p〈l),

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

P(X=k)=年xpkx(1-p)n-k,k=0,1,....n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布(binomial

distribution),记作X-B(n,p).

X01・・・k•••n

/-fl小c〃-1/-in

PCPWCnPq・・・C：pkq"T・・・c“pq

事件N发生的概率

事件/发生的概率

P(X=k)=G♦p|*-(1-同尸(其中左=0,1,2,•••,〃)

试验总次数

事件力发生的次数

3.——般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np;D(X)=np(l-p).

【学习过程】

一、问题探究

做一做：问题L下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？

如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的

概率是多大?重复试验的次数是多少？

L抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.

3.一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.

探究1：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同？

问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布

列是怎样的？

探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写

出中靶次数X的分布列.

思考1：二项分布与两点分布有何关系？

思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？

二、典例解析

例1:将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

(1)恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内的概率.

例2：如图是一块睦眼板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱

形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放

入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的

格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,…，10,用X表示小球最后落入格子的号码，

求X的分布列。

二项分布中需要注意的问题和关注点

(1)当X服从二项分布时，应弄清X〜B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.

(2)解决二项分布问题的两个关注点

①对于公式P(X=k)=C：pk(l-p)--k(k=0,1,2,…，n),必须在满足“独立重复试

验”时才能应用，否则不能应用该公式.

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件

发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为

0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

探究3：假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差是什么？

例4.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项

是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对

任一题的概率均为0.6,求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差.

【达标检测】

1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,这名选手在10次射击中，恰有8次击中目

标的概率为()

A.C：。X0.88X0.22B.0.88X0.22C.C：。X0.28X0.82I).0.28X0.82

2.已知X是一个随机变量，若X〜B(6,，则P(X=2)等于()

341380

A-W13.示C.—D.—

3.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n=_,p=.

4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一

2

分，答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均为§,乙队中每人答对的概率分别为

291

,万，且各人答对正确与否相互之间没有影响.用&表示甲队的总得分.

(1)求随机变量&的分布列.

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于

乙队总得分”这一事件，求P(AB).

5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事

件是相互独立的，并且概率是!.

(1)求这位司机遇到红灯数€的期望与方差.

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间n的期望与方差.

【课堂小结】

1.二项分布的定义：

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p〈l),用X表示事

件A发生的次数，则X的分布列为

P(X=k)=年xpkX(1—p)n-k,k=0,1，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布(binomial

distribution),

记作X~B(n,p).

2.确定一个二项分布模型的步骤：

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X〜B(n,p).

3.——般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np;D(X)=np(l-p).

【参考答案】

学习过程

一、问题探究

问题1:

随机试是否为n重伯努利试验P(A)重复试验的次

验伯努利试验

1是抛掷一枚质地均匀的硬币0.510

2是某飞碟运动员进行射击0.83

3是从一批产品中随机抽取一件0.9520

探究1：伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n

重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复

试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的

是它的概率分布列.

问题2：用A表示“第i次射击中靶"(i=l,2,3),用如下图的树状图表示试验的可能结

i

果：

试验结果X的值

/7\3

2

A\A】A3

A】A2A32

A]A2A31

AiA2A32

__AiA2A3__1

-A1A2A3-0

问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有2=8种可能结果，它们两两互斥，每个

结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得

3

P(X=0)=P(A1A2A3)=0.2,

2

P(X=1)=P(Ai&%)+P(A1A2A3)+P(4A2A3)=3x0.8x0.2,

2

P(X=2)=P(AIA2A3)+P(Ai五2A3)+P(&A2A3)=3x0.8X0.2,

3

P(X=3)=P(A1A2A3)=0.8.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所

2

有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的概率都相等，均为0.8X0.2,并

且与哪两次中靶无关.

因此,3次射击恰好2次中靶的概率为鬣x0.82x02同理可求中靶0次,1次,3次的概率.

于是，中靶次数X的分布列为：

P(X=k)=x0.8kx0.23-k,k=0,1,2,3

探究2：⑴表示中靶次数X等于2的结果有：A1A2A3A4IAJA2A3A4),

A3A4,

A】A?A3A4,A】A2A3A4,A】A?A3A4,6'个。

(2)中靶次数X的分布列为：P(X=k)=C^xO.8kxO.24-k,k=0,l,2,3,4

思考1：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=l的二项分布；二项分布可以看做两点

分布的一般形式.

思考2:如果把p看成b,1-p看成a,则CSxpkx(l-p)n-k就是二项式[(l-p)+p]n的

展开式的通项，由此才称为二项分布。

即笈=0P(x=k)=》=0以XpkX(1-p)n-k=[p+(1-p)]n=1

二、典例解析

例1：分析:抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能

性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。

解：设A="正面朝上”，则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数，X、B(10,0.5).

(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是

P(X=5)=CfxO.510;

k7101024256

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内等价于4WXW6,于是

67221

P(4<X<6)=C?xO.510+CfxO.510+田。xO.510=--=—.

o0JLU4*"t"。乙

例2：分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果，设试验为观察

小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落"和''向右下落"两种可能结果，且概率都是

0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向

的影响，因此这是一个10重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因

此X服从二项分布。

解：设人="向右下落”,则五=“向左下落”，且P(设=Pa)=0.5.因为小球最后落入格子

的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X-

8(10,0.5),于是，X的分布列为P(X=k)=C，oXO.5i0,k=0,1，…，10.

X的概率分布图如下图所示：

八

----------------------------------------------------->

例3：分析:判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲

最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立

性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求

“甲最终获胜”的概率。

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1,前者是前两局甲

连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终

获胜的概率为Pi=0.62+禺x0.62x0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0,3：1或3：2因为每局比赛的结

果是独立的，所以甲最终获胜的概率为P2=0.63+C1x0.63x0.4+Cix0.63x0.42=

0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X〜

B(3,0.6).甲最终获胜的概率为pi=P(X=2)+P(X=3)=C|x0.62x0.4+Cfx0.63=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，

则X〜B(5,0.6).

甲最终获胜的概率为P2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

3245

=CgX0.6X0.4+禺X0.6X0.4+CfX0.6=0.68256

因为P2>Pi，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

探究3：当n=l时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=l—p,P(X=1)=p.

均值和方差分别为E(X)=p;D(X)=p(l-p).

(2)当n=2时，X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(l-p),

P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)=0x(l-p)2+lx2p(1-p)+2xp2

=2p.D(X)=02x(1-p)2+l2x2p(1-p)+22xp2-(2p)2

=2p(1-p).

kkn-k

证明：：P(X=k)=Cpq

n

kk-1

(VkC=nC)

nn-1

kkn-kk-1k-ln-k

kP(X=k)=kCpq=npCpq

nn-1

00nI1n-122n-2kkn-knn0

/.E(X)=OXCpq+1XCpq+2XCpq+…+kXCpq+…+nXCpq

nnnnn

00n-111n-2k-1k-l(n-l)-(k-l)n-1n-l0

=np(Cpq+Cpq+•••+Cpq+・・・+Cpq)

n-1n-1n-1n-1

n-1

=np(p+q)=np

例4.解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为所得的分数为Q,

由题意知，n=4&,且&〜B(25,0.6),

则E(g)=25X0,6=15,D(g)=25X0.6X(1-0.6)=6.

故E(n)=E(4&)=4E(1)=60,D(n)=D(44)=42XD(€)=96.

所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是

60和96.

达标检测

1.解析：设X为击中目标的次数，则X〜B(10,0.8),

这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X=8)=C。X0.8sX(l-0.8)2

=C：0XO.8*X0.2?.故选A.

答案：A

2.解析：由题意知n=6,p=；,

故P(X=2)=C；X。2X。一，62=dX@2X@4=墨.故选D.

答案：D

3.解析：因为随机变量X〜B(n,p),所以E(X)=np=8,D(X)=np(l—p)=1.6,解得p

=0.8,n=10.

4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，

所以&〜B(3,$.

P(g=0)=C；X(l—§/,

PG=1)=Cx|x(i—I)2=|,

P(g=2)=C；X。2=1，

P(g=3)=C；X(|)3,

所以€的分布列为

0123

1248

p

279927

(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示，“甲得3分乙得0分”

AB=CUD,C,D互斥.

,、z(A2(2、(211,121,11nio

P(C)=《X©X^X-X-+-X-X-+-X-x2)=iT-

P(D)/x(—I)(1—(|x(l—3=急

匕…/\./x101434

所以P(AB)=P(C)+P(D)+—=—.

olN4J44J

5.解析：（1）易知司机遇上红灯次数&服从二项分布,

且&~B(6,,所以E(g)=6X：=2,

D