高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第二章直线和圆的方程复习提升(原卷版+解析)

第二章直线和圆的方程复习提升知识归纳知识归纳（一）直线直线的斜率与倾斜角(1)斜率：两点的斜率公式：，则(2)直线的倾斜角范围：（3）斜率与倾斜角的关系：注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。2、直线方程(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）（6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：②斜率为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）①平行：且（注意验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（2）①平行：且（验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（3）与直线平行的直线可设为：与直线垂直的直线可设为：4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：，则（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为（3）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：（4）点到直线的距离公式：（5）两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）（6）点关于点的对称点的求法：点为中点（7）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线，圆，记圆心到直线的距离①直线与圆相交,则或方程组的②直线与圆相切，则或方程组的③直线与圆相离，则或方程组的（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：（3）直线与圆相切时，①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；（Ⅲ）已知过圆外的点求圆的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为，验证圆心到切线距离是否等于半径。②由圆外点向圆引切线，记两点的距离为，则切线长（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为，则圆上点到直线的最近距离为，最远距离为3、两圆的位置关系圆，圆，两圆圆心距离(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆题型讲解题型讲解题型1：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【方法技巧】直接由斜率的定义判断即可.学会对语言的分析学会处理实际问题的能力。【针对训练】1．（2021·广东揭阳·模拟预测）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________3．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．题型2：直线的方程例2：1．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏·模考）过两点和的直线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【方法技巧】把握好求直线方程的各种方法，技巧。(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）【针对训练】1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（

）A． B．C． D．2．已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．3．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条题型3：直线的交点坐标与距离公式例3：1．两条平行直线与之间的距离是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．设三直线；；交于一点，则k的值为______．【方法技巧】1.应用平行线距离公式求两线的距离即可.2.交点的求法【针对训练】1．已知直线l的方程是．对于任意，直线l均经过定点，则此定点的坐标为___________.2．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2.(1)求直线l的方程；(2)求点到直线l的距离.题型4：直线综合例4．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式，联立得到表达式代入求解即可.【针对训练】1．已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.2．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．题型5：直线坐标系中的基本公式例5．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________，直线MN的截距式方程为________.【方法技巧】根据坐标之间的关系，求出所需要的坐标。【针对训练】1．已知点，则线段AB的中点坐标为________.2．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．题型6：圆的方程例6．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【方法技巧】（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。【针对训练】1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．题型7：直线与圆的位置关系例7：1．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．2．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．3．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【方法技巧】(1)直线，圆，记圆心到直线的距离①直线与圆相交,则或方程组的②直线与圆相切，则或方程组的③直线与圆相离，则或方程组的（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：（3）直线与圆相切时，【针对训练】1．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，3．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．题型8：圆与圆之间的位置关系例8．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆【针对训练】1．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．42．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.3．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.题型9：圆的公共弦例9．已知圆与相交于两点，则公共弦的长是___________.【方法技巧】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【针对训练】1．圆与圆的公共弦长为______．2．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线恒过定点M的坐标为__________．3．若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.题型10：圆的公切线例10．圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（

）A．B．C．D．【方法技巧】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可.【针对训练】1．已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（

）条A．4 B．3 C．2 D．13.（多选）．点P在圆上，点Q在圆上，则（

）A．两个圆心所在的直线斜率为B．两个圆相交弦所在直线的方程为C．两圆公切线有两条D．|PQ|的最小值为0第二章直线和圆的方程复习提升知识归纳知识归纳（一）直线直线的斜率与倾斜角(1)斜率：两点的斜率公式：，则(2)直线的倾斜角范围：（3）斜率与倾斜角的关系：注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。2、直线方程(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）（6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：②斜率为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）①平行：且（注意验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（2）①平行：且（验证）②重合：且③相交：特别地，垂直：（3）与直线平行的直线可设为：与直线垂直的直线可设为：4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：，则（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为（3）三角形重心坐标公式：，则三角形的重心坐标公式为：（4）点到直线的距离公式：（5）两平行线间的距离：（用此公式前要将两直线中的系数统一）（6）点关于点的对称点的求法：点为中点（7）点关于直线的对称点的求法：利用直线与直线垂直以及的中点在直线上，列出方程组，求出点的坐标。（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线，圆，记圆心到直线的距离①直线与圆相交,则或方程组的②直线与圆相切，则或方程组的③直线与圆相离，则或方程组的（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：（3）直线与圆相切时，①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；（Ⅲ）已知过圆外的点求圆的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为，验证圆心到切线距离是否等于半径。②由圆外点向圆引切线，记两点的距离为，则切线长（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为，则圆上点到直线的最近距离为，最远距离为3、两圆的位置关系圆，圆，两圆圆心距离(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆题型讲解题型讲解题型1：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D【方法技巧】直接由斜率的定义判断即可.学会对语言的分析学会处理实际问题的能力。【针对训练】1．（2021·广东揭阳·模拟预测）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.【详解】由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，得直线的斜率为，即，得为钝角，所以.故选：A2．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________【答案】4【解析】【分析】依题意可得直线与直线重合，即可得到方程组，解得即可；【详解】解：因为方程组有无穷解，所以直线与直线重合，所以且，解得；故答案为：3．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A.题型2：直线的方程例2：1．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D2．（2022·江苏·模考）过两点和的直线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.【详解】由题可知直线方程为：，即，令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.故选：C.【方法技巧】把握好求直线方程的各种方法，技巧。(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）【针对训练】1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率则的欧拉线的方程为，即故选：D．2．已知直线过点，，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C．3．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】【分析】分直线的两坐标轴上的截距为0，不为0时两种情况求解即可【详解】①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，由题意有，则，∴直线方程为满足条件；②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设的方程为．把点代入直线方程得．解得，从而直线方程为.故满足条件的直线方程为和．故选：B．题型3：直线的交点坐标与距离公式例3：1．两条平行直线与之间的距离是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由平行线距离公式可得.故选：A2．设三直线；；交于一点，则k的值为______．【答案】1【分析】解方程组求出与的交点，代入即可得解.【详解】联立，解得，即与交于点，依题意可知，，解得.故答案为：.【方法技巧】1.应用平行线距离公式求两线的距离即可.2.交点的求法【针对训练】1．已知直线l的方程是．对于任意，直线l均经过定点，则此定点的坐标为___________.【答案】【分析】本题对直线方程整理可得，若直线过定点，则可得解出定点．【详解】∵．可得，解得．故答案为：．2．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.【答案】8【分析】设，则可得设，，然后由，可求出的范围，从而可求出点的范围，进而可求得线段AB的最大长度.【详解】设，则，对于，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，得，解得，将代入，得，将代入，得，所以，所以线段AB的最大长度为8，故答案为：8.3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2.(1)求直线l的方程；(2)求点到直线l的距离.解：(1)经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的直线方程为，即由，可得则直线l的方程为，即；(2)点到直线l的距离为题型4：直线综合例4．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设，，则，的中点为，，分别在直线和，，，，即.，即，又，，即，所以，即，所以，解得.故选：A.【方法技巧】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式，联立得到表达式代入求解即可.【针对训练】1．已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是___________.【答案】

或；

.【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依题意可得，即，解得或；直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，所以，由直线可得：，若不经过第三象限，则，故答案为：或；.2．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．【答案】

##(0,1.5)

【分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.【详解】由，可知边上的高所在的直线为，又，因此边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线为：，即，所以，所以的垂心坐标为，由重心坐标公式可得的重心坐标为，所以的欧拉线方程为：，化简得.故答案为：；题型5：直线坐标系中的基本公式例5．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为________，直线MN的截距式方程为________.【答案】

【分析】根据中点坐标公式即可求点C的坐标；求出点M,N的坐标，再写出截距式方程即可.【详解】解：设，则AC边的中点为，BC边的中点为，因为点M在y轴上，所以，解得.因为点N在x轴上，所以，解得，即.则，，所以直线MN的截距式方程为.故答案为:;.【方法技巧】根据坐标之间的关系，求出所需要的坐标。【针对训练】1．已知点，则线段AB的中点坐标为________.【答案】【分析】直接由中点坐标公式求解即可.【详解】由题意知：中点坐标为，即.故答案为：.2．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．【答案】【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.【详解】因的顶点，，，则的重心，显然的外心在线段AC中垂线上，设，由得：，解得：，即点，直线，化简整理得：，所以欧拉线的方程为.故答案为：题型6：圆的方程例6．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或；解：依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；【方法技巧】（1）圆的标准方程：，其中为圆心，为半径（2）圆的一般方程：，其中圆心为，半径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。【针对训练】1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.2．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：题型7：直线与圆的位置关系例7：1．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：2．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．【答案】5【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．3．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.【方法技巧】(1)直线，圆，记圆心到直线的距离①直线与圆相交,则或方程组的②直线与圆相切，则或方程组的③直线与圆相离，则或方程组的（2）直线与圆相交时，半径，圆心到弦的距离，弦长，满足：（3）直线与圆相切时，【针对训练】1．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.2．（多选）（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.3．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.题型8：圆与圆之间的位置关系例8．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】问题可转化为圆和圆相交，解不等式即得解.【详解】解：问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，解得，即.故选：D【方法技巧】(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆【针对训练】1．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值.【详解】解：，点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，解得：．的最小值为4．故选：D．2．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.【答案】34或14【分析】由条件可知两圆相内切或外切，结合圆心距和半径的关系，列式求值.【详解】设圆，圆的半径分别为，.圆的方程可化为，圆的方程可化为.由两圆相切，得或.因为，，所以或，可得或或（舍去），因此或，解得或.故答案为：34或143．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.【答案】3【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴故答