高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题3.1函数的概念及其表示(6类必考点)(原卷版+解析)

专题3.1函数的概念及其表示TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：函数的概念及其构成要素】 1【考点2：判断两个函数是否为同一函数】 2【考点3：函数的定义域及其求法】 3【考点4：函数的值域】 4【考点5：函数的表示方法】 5【考点6：分段函数的解析式及图象】 7【考点1：函数的概念及其构成要素】【知识点：函数的概念及其构成要素】函数两集合A，B设A，B是两个非空的数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A（多选）1．（2021秋•青岛期末）下面选项中，变量y是变量x的函数的是（）A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP（国内生产总值） C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税2．（2021秋•宿州期中）函数y＝f（x）与y轴的交点个数为（）A．至少1个 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f（x）有关，不能确定3．（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②（多选）4．（2021秋•南海区校级月考）下列对应关系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函数的是（）A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2 D．y＝|x|（多选）5．（2021秋•平湖市校级月考）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．y=1x B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝6．（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【考点2：判断两个函数是否为同一函数】【知识点：判断两个函数是否为同一函数】如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据．1．（2021秋•达州期末）下列函数中，与函数y＝|x|相等的是（）A．y=x2 B．y=(3x)2．（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与y=x2x+1 B．y＝x3与y＝（C．y＝|x|与y=(x)2 D．y＝x（多选）3．（2021秋•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是（）A．f(x)=x−1，g(x)=(x−1B．f(x)=x−1，g(x)=(x−1)C．f(x)=xD．f(x)=|x|，g(x)=4．（2021秋•兰州期末）下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B．f(x)=xC．f(x)=|x−3|，g(x)=(x−3)D．f(x)=【考点3：函数的定义域及其求法】【知识点：函数的定义域及其求法】①常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．②对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．1．（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x−2x中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠02．（2022春•铜鼓县校级期末）函数f(x)=−A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．[﹣3，1）∪（1，2] C．[﹣2，1）∪（1，3] D．（﹣2，1）∪（1，3）3．（2022春•玉林期末）已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）4．（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)5．（2022春•渭滨区期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）6．（2022春•兴庆区校级期末）若函数y=ax+1ax2−4ax+2A．(0，12] B．(0，12)【考点4：函数的值域】【知识点：函数的值域】求函数值域的常用方法方法步骤观察法第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.分离常数法第一步观察函数类型，型如；第二步对函数变形成形式；第三步求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.配方法第一步将二次函数配方成；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.换元法第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.基本不等式法第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.1．（2021秋•阳春市校级月考）函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为（）A．[﹣6，2] B．[﹣6，1] C．[0，2] D．[0，1]2．（2022春•兴庆区校级期末）函数f(x)=x+x−2A．[2，+∞） B．[74，+∞) 3．（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−x−1A．(−∞，−158] B．(−∞，−158)4．（2022•3月份模拟）函数f(x)=2x−3A．(−∞，13)∪(1C．(−∞，−13)∪(−5．（2021秋•凉州区期末）函数y=xA．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）6．（2022春•湖北期中）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=x2−2x+1 B．y=x+2x+1C．y=2x2+2x+1（x∈N）（多选）7．（2021秋•黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（）A．f(x)=x2+1 C．f(x)=x+1−2x−1 D．f（x）＝x38．（2022•虹口区二模）函数f(x)=x+9x(x＞0)9．（2018秋•溧阳市期末）函数f（x）＝x2﹣4x（﹣1≤x≤a）的值域为[﹣4，5]，则实数a的取值范围为10．（2021秋•黄梅县校级期末）若函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1，b]（b＞1），则a【考点5：函数的表示方法】【知识点：求函数解析式的四种方法】1．已知f（1+1x）=1x−1，则f2．（2021秋•太湖县月考）已知f（x+1）＝2x2+1，则f（x﹣1）＝．3．（2010•郓城县校级一模）如果f[f（x）]＝2x﹣1，则一次函数f（x）＝．4．（2022春•盐城校级期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【考点6：分段函数的解析式及图象】【知识点：分段函数的解析式及图象】①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.1．（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)A．52 B．32 C．122．（2021秋•广州期中）函数f（x）＝x+|x|A． B． C． D．3．（2020春•祥云县期末）已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或54．（2021秋•翠屏区校级月考）设f（x）=(x+1)2(x＜1)4−x−1(x≥1)则使得A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，115．（2021春•河东区期末）已知f（x）=12x+1，x≤0−(x−1)2，x＞0A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]6．（2021秋•东莞市校级月考）已知函数f(x)=2（1）求f（0），f（f（2））；（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．专题3.1函数的概念及其表示TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：函数的概念及其构成要素】 1【考点2：判断两个函数是否为同一函数】 3【考点3：函数的定义域及其求法】 5【考点4：函数的值域】 7【考点5：函数的表示方法】 12【考点6：分段函数的解析式及图象】 14【考点1：函数的概念及其构成要素】【知识点：函数的概念及其构成要素】函数两集合A，B设A，B是两个非空的数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A（多选）1．（2021秋•青岛期末）下面选项中，变量y是变量x的函数的是（）A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP（国内生产总值） C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：ABD都是两个非空数集之间的关系，且每一个变量都有唯一的y和其相对应，故是函数关系，C．对于每一个x的值，对应的y值不唯一，不是函数关系，故选：ABD．2．（2021秋•宿州期中）函数y＝f（x）与y轴的交点个数为（）A．至少1个 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f（x）有关，不能确定【分析】由函数的定义，对任意一个x，有且只有一个y与之对应，从而可知若x可以等于0，则有且只有一个y与之对应．【解答】解：由函数的定义，对任意一个x，有且只有一个y与之对应，若x可以等于0，则有且只有一个y与之对应，故函数y＝f（x）的图象与y轴的交点个数至多有一个．故选：B．3．（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【分析】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个图形，对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．（多选）4．（2021秋•南海区校级月考）下列对应关系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函数的是（）A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2 D．y＝|x|【分析】直接利用函数的概念和函数的关系式的运算确定结果．【解答】解：根据函数的概念：下列对应关系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函数，对于A：当x＝﹣2时，y＝﹣4∉N，故A错误；对于B：当x＝﹣2时，y＝0，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝6∉N，不符合函数的概念，故B错误；对于C：当x＝﹣2时，y＝4，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝16，符合函数的概念，故C正确；对于D：当x＝﹣2时，y＝2，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝4，符合函数的概念，故D正确．故选：CD．（多选）5．（2021秋•平湖市校级月考）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．y=1x B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝【分析】由函数的定义对4个选项依次判断即可．【解答】解：对于选项A，4∈M，y=14∉N，故不能构成从M到对于选项B，∀x∈M，y＝x∈N，故能构成从M到N的函数；对于选项C，﹣1∈M，y＝﹣1+1＝0∉N，故不能构成从M到N的函数；对于选项D，∀x∈M，y＝x2∈N，故能构成从M到N的函数；故选：BD．6．（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【分析】根据函数的定义判断即可．【解答】解：对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确，对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误，故选：B．【考点2：判断两个函数是否为同一函数】【知识点：判断两个函数是否为同一函数】如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数，这是判断两函数是否为同一函数的依据．1．（2021秋•达州期末）下列函数中，与函数y＝|x|相等的是（）A．y=x2 B．y=(3x)【分析】根据函数的三要素逐一判断即可．【解答】解：因为函数y＝|x|的定义域为R．A．y=x2=|x|（x∈R），与yB．y=(3x)3=x（x∈RC．y=(4x)4=x（xD．y=x2x=x（x≠0），与故选：A．2．（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与y=x2x+1 B．y＝x3与y＝（C．y＝|x|与y=(x)2 D．y＝x【分析】根据同一函数的两个条件即定义域与解析式完全相同对应各个选项判断求解即可．【解答】解：选项A：因为函数y＝x+1的定义域为R，而函数y=x2x+1＝x+1，定义域为{x|选项B：两个函数的解析式不同，故B错误，选项C：因为函数y＝|x|的定义域为R，而函数y＝（x）2的定义域为[0，+∞），故C错误，选项D：因为y＝x0＝1，函数定义域为{x|x≠0}，函数y=1x0=1，函数定义域为{x|故选：D．（多选）3．（2021秋•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是（）A．f(x)=x−1，g(x)=(x−1B．f(x)=x−1，g(x)=(x−1)C．f(x)=xD．f(x)=|x|，g(x)=【分析】结合函数的三要素别检验各选项即可判断．【解答】解：A：g（x）|与f（x）的定义域不同，不符合题意；B：g（x）与f（x）的对应关系不同，不符合题意；C：（x）与g（x）的定义域不同，不符合题意；D：f（x）与g（x）的定义域都为R，对应关系也相同，故是同一函数．故选：ABC．4．（2021秋•兰州期末）下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B．f(x)=xC．f(x)=|x−3|，g(x)=(x−3)D．f(x)=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）=x2−4x−2=x+2（x≠2），与g（x）＝x对于C，f（x）＝|x﹣3|（x∈R），与g（x）=(x−3)2=|x﹣3|（x对于D，f（x）=(x−1)(x−3)=（x≤1或x≥3），与g（x）=x−1•x−3故选：C．【考点3：函数的定义域及其求法】【知识点：函数的定义域及其求法】①常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．②对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．1．（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x−2x中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：要使原式有意义，则x−2≥0x≠0，即x∴自变量x的取值范围是x≥2．故选：B．2．（2022春•铜鼓县校级期末）函数f(x)=−A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．[﹣3，1）∪（1，2] C．[﹣2，1）∪（1，3] D．（﹣2，1）∪（1，3）【分析】由题意，利用偶次根式、分式的性质，求得x的范围．【解答】解：∵函数f(x)=−∴﹣x2+x+6≥0且x﹣1≠0，求得：﹣2≤x≤3且x≠1．故选：C．3．（2022春•玉林期末）已知函数f（x）的定义域为（3，5），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）【分析】根据复合函数的定义域之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（3，5），∴3＜x＜5，由3＜2x+1＜5，得1＜x＜2，则函数f（2x+1）的定义域为（1，2），故选：A．4．（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)【分析】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函数g（x）的定义域为故选：C．5．（2022春•渭滨区期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【分析】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．【解答】解：∵函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，∴ax当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．综上可得，a∈[0，4]，故选：A．6．（2022春•兴庆区校级期末）若函数y=ax+1ax2−4ax+2A．(0，12] B．(0，12)【分析】根据题意可得出：不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集为R，然后讨论a是否为0：a＝0显然符合题意；a≠0时，可得出a＞0△＜0，然后解出a的范围，从而得出a【解答】解：根据题意知，不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集为R，（1）a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；（2）a≠0时，a＞0Δ=16a2∴综上得，实数a的取值范围是：[0，1故选：C．【考点4：函数的值域】【知识点：函数的值域】求函数值域的常用方法方法步骤观察法第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.分离常数法第一步观察函数类型，型如；第二步对函数变形成形式；第三步求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.配方法第一步将二次函数配方成；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.换元法第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.基本不等式法第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.1．（2021秋•阳春市校级月考）函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为（）A．[﹣6，2] B．[﹣6，1] C．[0，2] D．[0，1]【分析】利用二次函数的性质判断函数的单调性，求出最值即可得出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝﹣2x2+4x的开口向下，对称轴为x＝1，所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣6，所以函数f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域为[﹣6，2]．故选：A．2．（2022春•兴庆区校级期末）函数f(x)=x+x−2A．[2，+∞） B．[74，+∞) 【分析】先求函数定义域，再判断函数单调性，再求值域．【解答】解：f(x)=x+x−2的定义域为x函数y＝x在[2，+∞）上为单调递增函数，函数y=x−2∴f(x)=x+x−2∴当x＝2是f（x）取得最小值2，∴f（x）的值域为[2，+∞）．故选：A．3．（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−x−1A．(−∞，−158] B．(−∞，−158)【分析】先进行换元，然后结合二次函数的性质可求．【解答】解：令t=x−1，则x＝t2+1，ty=2x−x−1=2t2+2﹣t＝2（t−14根据二次函数的性质可知，当t=14时，函数取得最小值158，即故选：D．4．（2022•3月份模拟）函数f(x)=2x−3A．(−∞，13)∪(1C．(−∞，−13)∪(−【分析】化简分式函数为一个常数和分式的代数和形式，再根据分式不等于零，求得函数的值域．【解答】解：函数f(x)=2x−3由于113(3x+1)≠0，故函数f（x）的值域为{f（x）|f（x）故选：D．5．（2021秋•凉州区期末）函数y=xA．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）【分析】由已知进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解函数的最值，进而可求函数的值域．【解答】解：x＞0时，y=x2+1x=x+1所以函数y=x故选：C．6．（2022春•湖北期中）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=x2−2x+1 B．y=x+2x+1C．y=2x2+2x+1（x∈N）【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：y=x2−2x+1y=x+2x+1=则1＜y＜2，即函数的值域为（1，2），∵函数的定义域为N，∴函数的y=2x2+2x+1（∵y=1故选：D．（多选）7．（2021秋•黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（）A．f(x)=x2+1 C．f(x)=x+1−2x−1 D．f（x）＝x3【分析】结合二次函数，幂函数，反比例函数的性质先求出各选项中函数的值域，然后检验各选项即可判断．【解答】解：A：f（x）=xB：f（x）=2x+1x+1=C：令t=2x−1，则x=1+t所以y＝1+1+t22−t=根据幂函数性质可得f（x）＝1+x3的值域为R，不符合题意．故选：AC．8．（2022•虹口区二模）函数f(x)=x+9x(x＞0)【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为x＞0，所以f（x）＝x+9x≥2x⋅所以函数的值域为[6，+∞）．故答案为：[6，+∞）．9．（2018秋•溧阳市期末）函数f（x）＝x2﹣4x（﹣1≤x≤a）的值域为[﹣4，5]，则实数a的取值范围为[2，5]【分析】根据二次函数的解析式，求出函数的对称轴，结合函数值域确定定义域的范围即可．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2﹣4，对称轴为x＝2，由（x﹣2）2﹣4＝5，得（x﹣2）2＝9，即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，即x＝5或x＝﹣1，∵f（﹣1）＝5，f（2）＝﹣4，∴2≤a≤5，即实数a的取值范围是[2，5]，故答案为：[2，5]10．（2021秋•黄梅县校级期末）若函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1，b]（b＞1），则a+b【分析】先确定二次函数图象的开口方向及对称轴，然后判断函数在区间[1，b]上的单调性，结合单调性可求．【解答】解：因为f(x)=12x故函数f（x）在定义域[1，b]上单调递增，所以当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝a−12=1，当x＝b时，函数取得最大值f（b）故a=32，b＝3或所以a+b=9故答案为：92【考点5：函数的表示方法】【知识点：求函数解析式的四种方法】1．已知f（1+1x）=1x−1，则f（x）＝【分析】先令括号里1+1x=t，求出t的范围，将x用t表示，求出f（t）的解析式，最后在将t【解答】解：设1+1x=t（t≠1），则∴f（t）=11t−1−1＝∴f（x）＝x﹣2（x≠1）．故答案为x﹣2（x≠1）．2．（2021秋•太湖县月考）已知f（x+1）＝2x2+1，则f（x﹣1）＝2x2﹣8x+9．【分析】先设x+1＝t，则x＝t﹣1，求出f（t），然后再把f（t）中所有的t都换成x﹣1，得到f（x﹣1）．【解答】解：设x+1＝t，则x＝t﹣1，f（t）＝2（t﹣1）2+1＝2t2﹣4t+3，f（x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3＝2x2﹣4x+2﹣4x+4+3＝2x2﹣8x+9．故答案为：2x2﹣8x+9．3．（2010•郓城县校级一模）如果f[f（x）]＝2x﹣1，则一次函数f（x）＝2x+1−2或−2x+1+【分析】设f（x）＝kx+b，则f[f（x）]＝k2x+kb+b＝2x﹣1，所以k2＝2且kb+b＝﹣1，k＝±2．由此可求出一次函数f（x）．【解答】解：设f（x）＝kx+b，则f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b．由于该函数与y＝2x﹣1是同一个函数，即k2＝2且kb+b＝﹣1．由k2＝2可得k＝±2．当k=2时，b＝1−当k=−2时，b＝1+故答案为：f（x）=2x+1−2或f（x）=−24．（2022春•盐城校级期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【分析】（1）由于已知函数类型为二次函数，故可以使用待定系数法求函数f（x）的解析式；（2）根据（1）的结论，分析二次函数的开口方向及对称轴与区间[﹣1，1]的关系，易得y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x即：2a=2即a＝1，b＝﹣1又由f（0）＝1．得：c＝1∴f（x）＝x2﹣x+1（2）由（1）知，函数f（x）＝x2﹣x+1的图象为开口方向朝上，以x=1故在区间[﹣1，1]上，当x＝﹣1时，函数取最大值f（﹣1）＝3【考点6：分段函数的解析式及图象】【知识点：分段函数的解析式及图象】①分段函数求值的解题思路：求分段函数的