高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.2 空间向量基本定理(附答案)

1.2空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点三求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（

）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（

）A． B． C． D．3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（

）A． B．C． D．5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（

）A． B．C． D．6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（

）A． B．C． D．题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·高二）对空间任一点O和不共线三点A､B､C，能得到P､A､B､C四点共面的是（

）A． B．C． D．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（

）A． B．C． D．题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（

）．A． B．1C． D．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（

）A． B．C． D．题型五：空间向量基本定理的应用

13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（

）A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为B．若所在的直线是异面直线，则不共面C．若三个向量两两共面，则共面D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（

）A． B．C． D．题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．(1)化简；(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体.点是上底面的中心，取为一个基底，在下列条件下，分别求的值.(1);(2).【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．=C．= D．=20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（

）A． B． C． D．24．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（

）A．1 B．2 C．3 D．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（

）A．B．C．D．26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（

）．A．1 B． C． D．27．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（

）．A．2 B． C．1 D．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（

）①若与共线，与共线，则与共线；②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.A．0 B．1 C．2 D．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（

）A．1 B． C． D．30．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（

）①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；③为空间一组基底，若，则；④对于任意非零空间向量，，若，则．A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（

）A． B．C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．，，两两共面，但，，不共面C．一定存在实数x，y，使得D．，，一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（

）A．空间向量，，若，则B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量，，满足34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（

）A．， B．， C．， D．，35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（

）A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（

）A．存在不全为零的实数，，，使得B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有D．不存在另一个基底，使得37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（

）A．空间任意向量都是共面向量B．已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则C．在四面体中，若，，则D．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知是平面上的两个向量，有以下命题：①平面上任意一个向量；②若存在，使，则；③若不共线，则空间任意一个向量；④若不共线，且与共面，则都有.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）是，共线的充分不必要条件；（2）若，则存在唯一的实数，使；（3），，则；（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；（5）．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体中，，．(1)求证：、、三点共线；(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．(1)用，，表示向量；(2)若，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．(1)求；(2)求．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项B：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项C：若三个向量共面，则存在，使得，则向量共面，矛盾，故三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C4．A【详解】连接.故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.【详解】.故选：D.7．D【解析】【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，不满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设且，则，，则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.对于A选项，，，、、、四点不共面；对于B选项，，，、、、四点共面；对于C选项，，，、、、四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由，得，即得解.【详解】由，得，即，所以，为共面向量，故四点共面.故选：.10．D【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得.【详解】，所以不共线，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故选：D11．B【解析】【分析】根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为，，所以，，由空间共面向量定理可知，存在实数满足，即，所以，解得，所以的值为，故选：B.12．B【解析】【分析】由四点共面的充要可得，求解即可.【详解】O是平面外任意一点，且，若A，B，C，M四点共面的充要条件是，即.故选：B.13．A【解析】【分析】根据向量的共面定理，得到，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，存在非零实数使得，可得，即四点共面，因为，根据向量的共面定量，可得，即，又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.14．D【解析】【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D

正确，故选：D15．B【解析】【分析】证明出当，且，则点、、、共面.然后逐项验证可得合适的选项.【详解】若，且，则，则，即，所以，点、、、共面.对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；对于B选项，，B选项中的点、、、共面；对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.故选：B.16．(1)；(2)，，.【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.(1)∵是平行六面体，∴(2)∵，又，∴，，.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；(1)解：，，又因为，所以;(2)，，，，又因为，所以.18．D【解析】【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，【详解】若，，，四点共面，则，则故选：D．19．B【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：B20．D【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：D21．D【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面故选：D22．A【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.【详解】因为M是PC中点，，又，，∴.故选：A.23．B【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解【详解】因为为中点，所以所以即故选：B24．C【解析】【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体，，，，则，，，，由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．25．D【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D．26．B【解析】【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解.【详解】根据向量的加法法则可得，又，且不共面，所以，解得，所以.故选：B.27．D【解析】【分析】根据与共线，由，即可求解.【详解】因为与共线，空间的一组基底，所以，所以解得，所以x＋y＝0.故选：D.28．B【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断.【详解】若与，与共线，，则不能判定，故①错误；若非零向量共面，则向量可以在一个与组成的平面平行的平面上，故②错误；不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；，∴与共面，故不能组成一个基底，故④错误；故选：C.29．C【解析】【分析】连接，由，即可求出答案.【详解】连接如下图：由于是的中点，.根据题意知..故选：C.30．C【解析】【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.【详解】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，所以也是空间一组基底，故②正确；③：由为空间一组基底，若，则，所以，故③正确；④：对于任意非零空间向量，，若，则存在一个实数使得，有，又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.故选：C31．BD【解析】【分析】根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.【详解】，A选项错误.，B选项正确.则是的中点，，，则不存在实数使，所以C选项错误.，由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.故选：BD32．ABD【解析】【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得.【详解】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，∴若，则，A正确，B正确；若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；设，则，此方程组无解，∴，，不共面，D正确.故选：ABD.33．ABC【解析】【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量基底的定义可判断C；是一个数值，也是一个数值，说明和存在倍数关系，或者说共线，可判断D.【详解】空间向量，，若，则，故A正确；对空间中任意一点O，有，且，则P、A、B、C四点共面，故B正确；因为是空间的一组基底，所以不共面，，则也不共面，即也是空间的一组基底，故C正确；任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.故选：ABC.34．CD【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，故选：CD35．ABD【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．【详解】解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B正确，对于选项C：、且、，，，共面，不能构成基底，所以选项C错误，对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，故选：ABD．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数，，，使得，，，不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为，，构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，，，使得，所以B对；对于C，因为，，所以，，不能与，构成空间另一个基底；又因为设，，若，所以与，构成空间另一个基底；所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线，绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，，，都满足，所以D错误．故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若则，解得，所以B错误对于C，在四面体中，若，，则，所以C正确对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，使得，即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．故选：ACD．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.【详解】A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，.故答案为：.40．【解析】【分析】由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出