高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题1.2集合的基本关系(7类必考点)(原卷版+解析)

专题1.2集合的基本关系TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：集合的子集】 1【考点2：集合的真子集】 1【考点3：集合包含关系的判断】 2【考点4：集合子集的个数】 2【考点5：集合真子集的个数】 3【考点6：空集】 3【考点7：集合关系中的参数取值问题】 4【考点1：集合的子集】【知识点：子集】集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．1．（2022•松山区三模）已知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021秋•梁子湖区校级月考）写出{1，2，3}的所有子集．3．（2021秋•海林市校级月考）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．4．（2022春•雅安期末）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．5．（2021秋•淇县校级期中）设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，B⊆A，写出集合A的所有子集.【考点2：集合的真子集】【知识点：真子集】集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B．1．（2021秋•浦东新区校级月考）写出满足关系式A{1，2}的所有的集合A＝．2．（2021秋•黄陵县校级月考）已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．（多选）3．（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}4．（2021秋•贵溪市校级月考）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．（1）求a；（2）写出集合A的所有真子集．【考点3：集合包含关系的判断】1．（2021秋•厦门期末）若集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则下列选项正确的是（）A．2∈A B．﹣4∈A C．{3}⊆A D．{0，3}⊆A2．（2022•渭滨区校级二模）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（）A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B（多选）3．（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（）A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}【考点4：集合子集的个数】【知识点：子集的个数】集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.1．（2022春•重庆月考）已知集合A＝{0，1，2}，则集合A的非空子集个数为（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021秋•安徽期中）已知集合A＝{x|x∈N*，126−x∈N*}，则集合AA．8 B．16 C．32 D．643．（2021秋•皇姑区校级期中）已知集合M⊆{3，4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．10个 B．11个 C．12个 D．13个4．（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A5．（2021秋•金水区校级月考）集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值范围为．【考点5：集合真子集的个数】【知识点：真子集的个数】集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.1．（2021秋•长沙县期末）已知集合P＝{2，4，6，8}，则集合P的真子集的个数是（）A．4 B．14 C．15 D．162．（2021秋•深圳校级期末）集合A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集的个数是（）A．16 B．8 C．7 D．43．（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（）A．16 B．15 C．8 D．74．（2021秋•砚山县期末）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有个．5．（2021秋•安吉县校级月考）已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}．（1）写出集合M的子集；（2）写出集合N的真子集．【考点6：空集】【知识点：空集】不含任何元素的集合叫空集.1．（2021秋•雁塔区月考）下列集合为∅的是（）A．{0} B．{x|x2+1＝0} C．{x|x2﹣1＝0} D．{x|x＜0}2．（2021秋•裕安区校级期末）下列集合中，结果是空集的为（）A．{x∈R|x2﹣4＝0} B．{x|x＞9或x＜3} C．{（x，y）|x2+y2＝0} D．{x|x＞9且x＜3}3．（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是．4．（2021秋•临高县校级月考）已知集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是．5．（2021秋•项城市校级月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【考点7：\o"集合关系中的参数取值问题"集合关系中的参数取值问题】1．（2021秋•雅安期末）设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣12．（2021秋•临夏县校级期中）如果集合A＝{x|x≤﹣1，或x＞6}，B＝{x|﹣2≤x≤a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围为．3．（2020秋•麒麟区校级期中）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．4．（2021秋•香坊区校级期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）当x∈N*时，求A的非空真子集的个数；（2）当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．5．（2020秋•渝中区校级月考）已知a∈R，A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．求：（1）A＝{2，3，4}的x值；（2）使2∈B，B⫋A，求a，x的值；（3）使B＝C的a，x的值．专题1.2集合的基本关系TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：集合的子集】 1【考点2：集合的真子集】 2【考点3：集合包含关系的判断】 3【考点4：集合子集的个数】 4【考点5：集合真子集的个数】 6【考点6：空集】 7【考点7：集合关系中的参数取值问题】 9【考点1：集合的子集】【知识点：子集】集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．1．（2022•松山区三模）已知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意知集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集可以分为二类，从而求和知3（a+b+c）＝12，即可解得．【解答】解：集合A＝{a，b，c}的所有非空真子集可以分为二类，集合A＝{a，b，c}的子集中有且只有一个元素，分别为{a}，{b}，{c}，集合A＝{a，b，c}的子集中有且只有两个元素，分别为{a，b}，{a，c}，{b，c}，则3（a+b+c）＝12，，故a+b+c＝4，故选：D．2．（2021秋•梁子湖区校级月考）写出{1，2，3}的所有子集．【分析】根据子集的定义，可得{1，2，3}的所有子集．【解答】解：根据子集的定义，可得{1，2，3}的所有子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}，∅．3．（2021秋•海林市校级月考）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．【分析】先用列举法表示集合A，再由子集的定义求解即可．【解答】解：∵A＝{（x，y）|x+y＝2，x，y∈N}＝{（0，2），（1，1），（2，0）}，故A的子集有：∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}．4．（2022春•雅安期末）若集合A＝{x|x2﹣6x+5＝0}，写出集合A的所有子集．【分析】可求出集合A，然后写出A的所有子集即可．【解答】解：∵A＝{1，5}，∴A的所有子集为：∅，{1}，{5}，{1，5}．5．（2021秋•淇县校级期中）设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+2＝0}，B⊆A，写出集合A的所有子集.【分析】求出A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，由此能求出集合A的所有子集．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，∴集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}．【考点2：集合的真子集】【知识点：真子集】集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记作A⫋B．1．（2021秋•浦东新区校级月考）写出满足关系式A{1，2}的所有的集合A＝∅，{1}，{2}．【分析】根据子集的概念，由已知明确集合A中元素可以是0个，1个，由此找到满足条件的集合A．【解答】解：由题意，满足条件的集合A有：∅，{1}，{2}，共有3个；故答案为：∅，{1}，{2}．2．（2021秋•黄陵县校级月考）已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．【分析】根据A是B的真子集，以及集合B＝{0，1，2}便可写出B的所有真子集，即写出满足条件A的所有集合．【解答】解：AB，且B＝{0，1，2}；∴满足条件A的所有集合为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．（多选）3．（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}【分析】由题意写出集合B的孙子集，再进行判断即可．【解答】解：由题意可知集合B＝{1，2，3}的孙子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，故BC正确，故选：BC．4．（2021秋•贵溪市校级月考）已知集合A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．（1）求a；（2）写出集合A的所有真子集．【分析】（1）由题意知a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a=−3【解答】解：（1）∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，∴a﹣2＝﹣3或2a2+5a＝﹣3，①若a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，②若2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1或a=−3由①知a＝﹣1不成立，若a=−32，a﹣2=−72，2a故a=−3（2）∵A＝{−7∴A的真子集有∅，{−7【考点3：集合包含关系的判断】1．（2021秋•厦门期末）若集合A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则下列选项正确的是（）A．2∈A B．﹣4∈A C．{3}⊆A D．{0，3}⊆A【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系判断即可．【解答】解：∵A＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，∴2∉A，﹣4∉A，{3}⊆A，{0，3}⊈A，故选：C．2．（2022•渭滨区校级二模）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（）A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B【分析】根据已知求出集合A，然后根据集合的包含关系即可判断求解．【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，所以A⊆B，故选：D．（多选）3．（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（）A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}【分析】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从1、3中选，根据要求写出集合即可．【解答】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．故选：AC．【考点4：集合子集的个数】【知识点：子集的个数】集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集.1．（2022春•重庆月考）已知集合A＝{0，1，2}，则集合A的非空子集个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个非空子集．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，∴A的非空子集个数为：23﹣1＝7．故选：A．2．（2021秋•安徽期中）已知集合A＝{x|x∈N*，126−x∈N*}，则集合AA．8 B．16 C．32 D．64【分析】先求出集合A，得到集合A中元素的个数，由集合子集个数的计算公式求解即可．【解答】解：因为集合A＝{x|x∈N*，126−x∈N*所以集合A的子集个数为24＝16个．故选：B．3．（2021秋•皇姑区校级期中）已知集合M⊆{3，4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．10个 B．11个 C．12个 D．13个【分析】以集合M中是否存在偶数分类讨论即可．【解答】解：由题意，①若集合M中没有偶数，则M可以为∅，{3}，{7}，{3，7}；②若集合M中有偶数4，则M可以为{4}，{3，4}，{7，4}，{3，7，4}；③若集合M中有偶数8，则M可以为{8}，{3，8}，{7，8}，{3，7，8}；故这样的集合共有12个，故选：C．4．（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A【分析】先求出集合A，再根据集合子集个数为2n个，求解即可．【解答】解：∵A={x∈N|y=12∴集合A的子集个数为24＝16，故答案为：16．5．（2021秋•金水区校级月考）集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值范围为{0，1，﹣1}．【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．故答案为：{0，1，﹣1}．【考点5：集合真子集的个数】【知识点：真子集的个数】集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集.1．（2021秋•长沙县期末）已知集合P＝{2，4，6，8}，则集合P的真子集的个数是（）A．4 B．14 C．15 D．16【分析】数出集合P中元素的个数，利用真子集个数公式求解即可．【解答】解：∵P＝{2，4，6，8}，集合P中共有4个元素，则P真子集个数为24﹣1＝15．故选：C．2．（2021秋•深圳校级期末）集合A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集的个数是（）A．16 B．8 C．7 D．4【分析】先求出集合A的元素，然后根据真子集的定义即可得到结论．【解答】解：∵A＝{x∈N|1≤x＜4}＝{1，2，3}含有3个元素，∴A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选：C．3．（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（）A．16 B．15 C．8 D．7【分析】化简集合M，利用公式求真子集个数即可．【解答】解：M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}＝{1，2，3}，故集合M的真子集个数为23﹣1＝7，故选：D．4．（2021秋•砚山县期末）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜5}，则A的非空真子集有6个．【分析】化简集合A，结合求子集个数的计算公式即可求得答案．【解答】解：由题意可得集合A＝{2，3，4}，故集合A中有3个元素，所以集合A的非空真子集的个数为：23﹣2＝6．故答案为：6．5．（2021秋•安吉县校级月考）已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}．（1）写出集合M的子集；（2）写出集合N的真子集．【分析】（1）由集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，能求出集合M的子集．（2）由N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}．能求出集合N的真子集．【解答】解：（1）∵集合M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，∴集合M的子集有：∅，{0}，{1}，{0，1}．（2）∵N＝{x|﹣2＜x＜2且x∈Z}＝{﹣1，0，1}．∴集合N的真子集有：∅，{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}．【考点6：空集】【知识点：空集】不含任何元素的集合叫空集.1．（2021秋•雁塔区月考）下列集合为∅的是（）A．{0} B．{x|x2+1＝0} C．{x|x2﹣1＝0} D．{x|x＜0}【分析】根据空集是不含任何元素的集合，判断A、B、C、D是否正确．【解答】解：A中含有元素0，∴A×；∵x2+1＝0，解集为∅，∴B√；∵x2﹣1＝0⇒x＝±1，∴C×；D是小于0的数集，D×；故选：B．2．（2021秋•裕安区校级期末）下列集合中，结果是空集的为（）A．{x∈R|x2﹣4＝0} B．{x|x＞9或x＜3} C．{（x，y）|x2+y2＝0} D．{x|x＞9且x＜3}【分析】将各项的集合化简，再与空集的定义加以对照，即可得到A、B、C都不是空集，只有D项符合题意．【解答】解：对于A，{x∈R|x2﹣4＝0}＝{2，﹣2}，不是空集；对于B，{x|x＞9或x＜3}不是空集；对于C，{（x，y）|x2+y2＝0}＝{（0，0）}，不是空集；对于D，{x|x＞9且x＜3}＝Φ，符合题意．故选：D．3．（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是．【分析】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．【解答】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，当a＝0时，方程无解，符合题意；当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．综上所述，a的取值范围为．故答案为：．4．（2021秋•临高县校级月考）已知集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是．【分析】根据集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，可得2m≥m+1，解得即可．【解答】解：集合M＝{x|2m＜x＜m+1}，且M＝∅，则2m≥m+1，解得m≥1，故答案为：.5．（2021秋•项城市校级月考）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【分析】（1）根据空集的含义，利用一元二次方程的判别式求解．（2）利用分类讨论思想，对集合中元素的个数是0和1进行讨论求解．【解答】解：（1）若A＝∅，则方程ax2﹣3x+1＝0无实数根，则a≠0Δ=9−4a＜0，解得a＞∴若A是空集，a的取值范围为a＞9（2）若A中至多只有一个元素，则A＝∅或A中只有一个元素．1、当A＝∅时，由（1）得a＞92、当A中只有一个元素时，a＝0或a≠0Δ=9−4a=0解得a＝0或a=9综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|a＝0或a≥9【考点7：\o"集合关系中的参数取值问题"集合关系中的参数取值问题】1．（2021秋•雅安期末）设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【分析】根据A∩B≠∅，可知A，B有公共元素，利用集合A，B即可确定a的取值范围【解答】解：∵A∩B≠∅，∴A，B有公共元素∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，∴a＞﹣1故选：D．2．（2021秋•临夏县校级期中）如果集合A＝{x|x≤﹣1，或x＞6}，B＝{x|﹣2≤x≤a}，且A∪B＝R，那么实数a的取值范围为{a|a≥6}．【分析】直接根据并集的定义即可求解．【解答】解：因为A＝{x|x≤﹣1，或x＞6}，B＝{x|﹣2≤x≤a}，且A∪B＝R，所以a≥6，故答案为：{a|a≥6}．3．（2020秋•麒麟区校级期中）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解