高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.1.1 空间向量及其线性运算(附答案)

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型归纳】题型一：空间向量的概念1．下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．不相等的两个空间向量的模必不相等2．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（

）．A． B． C． D．3．下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（

）A． B． C． D．5．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（

）A． B． C． D．6．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（

）A． B． C． D．题型三：空间两个向量共线的问题7．向量，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．38．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（

）A． B．C． D．9．已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件题型四：空间共面向量定理10．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是A． B．C． D．11．已知，，，若，，共面，则λ等于（

）．A． B．3 C． D．912．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题13．下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量14．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．15．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．16．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A． B． C． D．17．有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．318．如图，在长方体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．19．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－620．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（

）A． B．C． D．21．如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：(1)的相等向量，的负向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.22．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；(2)；(3).【高分突破】一：单选题23．在三棱柱中，已知点M，N分别为和AC的中点，则（

）.A． B．C． D．24．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．25．在四棱锥中，分别为的中点，则（

）A． B．C． D．26．在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．27．如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（

）A． B．C． D．28．在四面体中，，，，且，，则等于（

）A． B． C． D．29．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（

）A． B． C． D．二、多选题(共0分)30．给出下列四个命题，其中是真命题的有（

）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．31．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与32．给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，则或B．若向量是向量的相反向量，则C．在正方体中，D．若空间向量，，满足，，则33．有下列四个命题，其中正确的命题有（

）A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则B．若两个非零向量与满足＋＝，则.C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若(x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.34．下列命题中正确的是（

）A．若∥，则∥B．是共线的必要条件C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件35．下列说法正确的是（

）A．空间中任意两非零向量共面B．直线的方向向量是唯一确定的C．若，则A，B，C，D四点共面D．在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则三、填空题(共0分)36．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．37．已知向量，若共面，则________．38．设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．39．若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．①；②；③；④．40．如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）41．已知长方体，若为与的交点，则___________.42．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．四、解答题(共0分)43．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.(1)；(2).44．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3).45．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．(1)已知P是的中点，用、、表示、、；(2)已知P在线段上，且，用、、表示．46．如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．(1)；(2)；(3)．47．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：(1)；(2)；(3)．48．构造始点、终点都是平行六面体顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案详解】1．C【解析】【分析】根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.【详解】A：零向量与它的相反向量相等，故错误；B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；故选：C2．C【解析】【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；对于④，由向量相等关系可知，④正确．故选：C.3．D【解析】【分析】根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错；对B，终点构成一个球，故B错；对C，向量不能比较大小，故C错；对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；故选：D4．A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：，故选：A5．A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.【详解】,故选;A6．A【解析】【分析】根据空间向量的加减法进行求解.【详解】解：在三棱锥中，E为OA的中点，，所以故选：A7．A【解析】【分析】由可得，进而求解即可.【详解】因为，所以，即，所以，所以，故选：A8．D【解析】【分析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D9．A【解析】【分析】先讨论充分性，令，可得出，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当，此时满足，但“”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论.【详解】解：由题可知，非零向量，当“”成立，令，，则，而，，则，故充分性成立；若，此时满足，由于分母不能为0，可知“”不成立，故必要性不成立；所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.10．D【解析】【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得，由此得出正确选项.【详解】不妨设.对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．C【解析】【分析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值．【详解】∵，，共面，∴设(实数m、n)，即，∴，解得．故选：C．12．B【解析】根据向量共面的基本定理当时即可求解.【详解】，又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，解得故选：B【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．13．D【解析】【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.14．D【解析】【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.15．D【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D16．D【解析】【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决【详解】由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得故选：D17．A【解析】【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．故选：A18．A【解析】【分析】根据向量的线性运算依次验证各个选项即可.【详解】连接交于点，连接，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：A.19．D【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得.【详解】，所以不共线，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故选：D20．D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:故选：D.21．(1)，，；，，，(2)，，，（答案不唯一）(3)，（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.(1)解：的相等向量有：，，；的负向量即相反向量有：，，，.(2)由向量加减运算法则得：，，，（答案不唯一）(3)由向量加法运算法则得：，（答案不唯一）22．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理证明即可，（2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可得，从而可证得结论，（3）由，结合（2）中的结论与可得证(1)因为，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因为有公共点，有公共点，所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面，(2)因为，所以；(3)23．B【解析】【分析】由空间向量的加减法运算，寻找包含的封闭图形即可.【详解】,所以故选：B24．B【解析】【分析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B25．A【解析】【分析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为分别为的中点，则,,,故选：A.26．C【解析】【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C27．C【解析】【分析】根据空间向量的运算法则求解.【详解】解：根据空间向量可知，，故选：C28．B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题知，故选：B.29．A【解析】【分析】利用向量共面定理列方程直接求得.【详解】由向量共面定理可知：，解得：.故选：A30．AC【解析】【分析】由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D.【详解】由向量共面定理可知A正确；当，为零向量可知B错误；由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC31．CD【解析】【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A：，但与方向相反，故A不符题意；B：，但与方向不同，故B不符题意；C：，且与方向相同，故C符题意；D：，且与方向相同，故D符题意.故选：CD.32．BCD【解析】【分析】依据向量相等的概念否定选项A；依据向量相等的概念判断选项BCD正确.【详解】依据向量相等的概念，选项A判断错误；若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确；依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确；依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确.故选：BCD.33．ABC【解析】【分析】根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项命题正确；B：由，所以，所以本选项命题正确；C：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量可以是共面向量，所以本选项命题正确；D：只有当时，P，A，B，C四点才共面，所以本选项命题不正确，故选：ABC34．ACD【解析】【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解.【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确；对于B，由反向共线，可得，故B不正确；对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则，即，所以四点共面，故C正确；对于D,若为空间四点，且有（不共线），当，即时，可得，即，所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，故D正确.故选：ACD.35．AC【解析】【分析】由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形法则判断D.【详解】对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确；对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误；对于C，因为，所以，，因为，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，因为E，F为，中点，G为中点，所以，，故D错误；故选：AC36．【解析】【分析】根据空间向量的加法法则求解即可【详解】由题意，故答案为：37．±1【解析】【分析】利用共面向量定理直接求解【详解】因为向量共面,所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案为：±1.38．②③④【解析】【分析】对①，由向量的垂直没有传递性可得；对②，由空间任意两个向量都共面可得；对③，由空间向量基本定理可得；④由反证法可得.【详解】对①，若，，则与可能平行或者既不平行也不垂直，故①错误；对②，空间任意两个向量都共面，故②正确；对③，由空间向量基本定理可得对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故③正确；对④，假设，，共面，设，化简得，所以共面，与已知矛盾，所以，，是不共面的向量，故④正确.故答案为：②③④.39．②④【解析】【分析】利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果.【详解】对于①，；对于②，；对于③，；对于④，.故答案为：②④.40．共面【解析】【分析】用、的线性关系表达出，从而得到共面关系.【详解】由图可知：.则向量与、共面.故答案为：共面41．【解析】【分析】由题知，进而计算即