高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第四章数列综合检测卷(原卷版+解析)

第四章数列综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（

）A． B． C． D．2．在数列中，，且，则（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（

）A． B． C． D．4．若是等差数列，且是方程的两个根，则（

）A．4046 B．4044 C． D．5．已知数列是公比不等于1的正项等比数列，且，若函数，则（

）A．2020 B．4040 C．2021 D．40426．已知数列满足，且.记，为数列的前n项和，则使成立的最小正整数n为（

）A．5 B．6 C．7 D．87．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知数列满足，则（

）A．231 B．234 C．279 D．276选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．数列的通项公式为则（

）A． B． C． D．10．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．C． D．取得最大值时，11．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（

）A． B． C． D．12．“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（

）A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为C．“提丢斯数列”的前31项和为D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，数列满足条件，且，则______．14．正项数列满足，则=_________.15．已知数列满足条件，则数列的通项公式为___________.16．已知等差数列和正项等比数列满足，则数列的前项和为______.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．18．已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.19．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．20．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．21．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.22．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．第四章数列综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解.【详解】解：设数列的首项为，公差为，由题得，所以.所以数列的通项为.故选：A2．在数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论．【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列，∴．故选：B．3．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出等差数列的公差，可得其通项公式，继而得表达式，利用裂项求和法，可得答案.【详解】设等差数列的公差为，由得，，，解得,为整数，，，，数列的前9项和为,故选：B4．若是等差数列，且是方程的两个根，则（

）A．4046 B．4044 C． D．【答案】C【分析】由题可得，然后利用等差数列的性质及求和公式即得.【详解】因为是方程的两个根，所以，所以，所以.故选：C.5．已知数列是公比不等于1的正项等比数列，且，若函数，则（

）A．2020 B．4040 C．2021 D．4042【答案】C【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可.【详解】因为数列是公比不等于1的正项等比数列，且，所以，即.因为函数，所以.所以令．则所以.故选：C6．已知数列满足，且.记，为数列的前n项和，则使成立的最小正整数n为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由数列为等比数列可得，则，则，可解得，即可得结果【详解】，,∴，∴，所以，所以，所以使不等式成立的最小正将数n为6.故选：B.7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角A，B，C成等差数列，求出，再利用正弦定理得到，求出，故利用三角函数图象求出.【详解】角A，B，C成等差数列，故，因为，所以，故由正弦定理可知：，因为，所以，所以.故选：A8．已知数列满足，则（

）A．231 B．234 C．279 D．276【答案】B【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，进而根据奇数项的特点即可求解.【详解】由可知：当为偶数时，当为奇数时，所以，即，由此解得，所以，故选：B选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．数列的通项公式为则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】直接求出即得解.【详解】解：由通项公式得，，所以.故选：BC.10．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．C． D．取得最大值时，【答案】AB【分析】对于ABC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.【详解】由，得即，又，所以，选项A正确；由；，得，选项B正确；由，得，又，所以，选项C错误；，令，得，解得，又，所以，即数列满足：当时，，当时，，所以取得最大值时，，选项D错误．故选：AB．11．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】先求得公比，然后结合等比数列的通项公式、前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】因为，所以，即，解得或，又，所以，所以A正确；数列的通项公式为，所以B正确；，所以C不正确；由，得，，所以，所以D正确．故选:ABD12．“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（

）A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为C．“提丢斯数列”的前31项和为D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD【分析】根据已知，利用等比数列的概念、求和公式进行求解.【详解】对于选项A，，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误；对于选项B，设“提丢斯数列”为数列，当时，，所以，故B正确；对于选项C，“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；对于选项D，由有：，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确.故选：BCD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，数列满足条件，且，则______．【答案】##【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】解：依题意，又，所以，；故答案为：14．正项数列满足，则=_________.【答案】【分析】先对变形得到，设，求出，得到为等比数列，求出答案.【详解】因为，所以，即，设，则，解得：或，因为为正项数列，所以，故，所以为等比数列，首项为2，公比为2，所以故答案为：15．已知数列满足条件，则数列的通项公式为___________.【答案】【分析】由即可求解.【详解】当时，，因为，所以，当时，两式相减得：，化简得：，不符合.所以故答案为：16．已知等差数列和正项等比数列满足，则数列的前项和为______.【答案】【分析】根据等差等比数列基本量的计算可得公比和公差，进而得，因此可得，根据裂项求和即可求解.【详解】设公差和公比分别为,由得，解得，因此，所以，设的前项和为，因此故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案；（2）由题意，根据裂项相消的求和方法，可得答案.（1）由题意得：，所以是公差为2的等差数列，则；（2）由题知则18．已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，可得；时，由，可得，两式作差可得数列是等比数列，进而可得通项公式；（2）利用分类讨论求解即可．（1）由题意知，当时，，即，时，由得即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）由题意知，，所以，所以，当时，.所以.19．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．20．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴21．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.22．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）［方法一］：规律探索由于，所以对应的区间为，则；对应的区间