高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)6.3.2二项式系数的性质2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

6.3.2二项式系数的性质备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求指定项的二项式系数；二项式系数的增减性和最值；二项式的系数和；求指定项的系数；求有理项或其系数；有项的系数确定参数；二项展开式各项系数和；求系数最大（小）项；奇次项和偶次项的系数；三项展开系数问题；两个二项式乘积展开式系数问题；由二项展开式各项系数和求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳二项式系数的性质性质1的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即性质3的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即（令即得）性质4的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（即得）性质5的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大）［特别提醒］1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通项公式时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，T五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.考点讲解考点讲解考点1：求指定项的二项式系数例1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．【方法技巧】利用二项展开式的通项公式求解.【变式训练】1．的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．2002．的展开式中的系数为__________（用数字作答）．3．若，则______；______.考点2：二项式系数的增减性和最值例2．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项【方法技巧】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.【变式训练】1．已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．2．已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（多选）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（

）A．8 B．9 C．10 D．11考点3：二项式的系数和例3．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【方法技巧】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【变式训练】1．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．2．已知展开式中第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是______．3．已知的展开式中，二项式系数和为256.(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；(2)求展开式中系数最小的项..考点4：求指定项的系数例4．的展开式中的系数为（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【方法技巧】根据二项式展开式的通项即可求解.【变式训练】1．二项式的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．2．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为__________3．在的展开式中，各项系数和是___________；的系数是___________.考点5：求有理项或其系数例5．在的展开式中，系数为有理数的项共有（

）项A．6 B．5 C．4 D．3【方法技巧】先求出二项式展开式的通项公式，然后由为整数，且，可求出，从而可得答案【变式训练】1．如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）2．的展开式中有理项的个数为________.3．二项式的展开式中，常数项是________，有理项的个数为________．考点6：有项的系数确定参数例6．已知的展开式中x3的系数是160，则a=__________.【方法技巧】先由通项化简整理第k+1项，令x的指数等于3可得k，然后可解.【变式训练】1．已知，若，则（

）A． B． C． D．2．已知，若展开式中的系数为，则常数a的值为___________.3．已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.考点7：二项展开式各项系数和例7（多选）．若，则（

）A．B．C．展开式中的各项系数之和为0D．展开式中所有项的二项式系数之和为【方法技巧】由二项式定理及二项式系数的性质，结合赋值法即可求解.【变式训练】1．，则（）A．16

B．27

C．43

D．702．的展开式中所有项的系数和为________．3．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______考点8：求系数最大（小）项例8．已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.【方法技巧】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出，利用二项式的性质可求得系数最大的项【变式训练】1．按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（

）A．第项和第项 B．第项C．第项和第项 D．第项2．的展开式中，系数最大的项为第_____项．3．已知的展开式的二项式系数和为64.(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.考点9：奇次项和偶次项的系数例9．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【方法技巧】（1）由于，所以其展开式中没有的奇次项，从而可得答案；（2）令，可得，再令求出，结合（1）可求得答案；（3）由于，从而由二项式的通项公式可求出结果【变式训练】1．若，则(

)A．27 B．－27 C．54 D．－542．已知，则的值为（

）A．24 B．48 C．32 D．723．若，则______.考点10：三项展开系数问题例10．在的展开式中，的系数是（

）A．15 B．30 C．36 D．60【方法技巧】运用二项式的通项公式进行求解即可.【变式训练】1．的展开式中所有不含的项的系数之和为（

）A． B． C．10 D．642．的展开式中，含项的系数为______（用数字作答）.3．的展开式中常数项为______考点11：两个二项式乘积展开式系数问题例11．的展开式中含项的系数是__________（结果用数字表示）.【方法技巧】根据二项式定理展开式通项的特征即可求解.【变式训练】1．的展开式中的系数是（

）A． B．10 C． D．502．的展开式中，记项的系数为，则______．3．展开式中的系数为__________．考点12：由二项展开式各项系数和求参数例12．已知，若，则自然数n等于_____．【方法技巧】利用赋值法求解，令，可求出答案.【变式训练】1．的展开式的各项系数和为，则a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．82．已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为3．的展开式中所有项的系数和为64，则___________.知识小结知识小结二项式系数的性质性质1的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即性质3的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即（令即得）性质4的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（即得）性质5的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大）［特别提醒］1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通项公式时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，T五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.巩固提升巩固提升一、单选题1．在的展开式中，x的系数为（

）A．1 B．3 C．6 D．92．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（

）A．6 B．7 C．8 D．93．的展开式中系数最大的项是（

）A．第5项 B．第6项C．第5项、第6项 D．第6项、第7项4．已知，设，则（

）A． B．0 C．1 D．25．已知，则（

）A．31 B．32 C．15 D．166．在的展开式中，含的项的系数是（

）A．5 B．6 C．7 D．117．已知，则（

）A．6063 B．1 C．22021 D．08．若，则的值是（）A． B．127 C．128 D．129二、多选题9．关于的展开式，下列判断正确的是(

)A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为10．若，则正确的是（

）A．B．C．D．三、填空题11．的展开式中的系数为__________.12．的展开式中的系数为________（用数字作答）．13．，则_________.14．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为，则m的值为______．四、解答题15．在的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和．16．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.(1)求展开式中二项式系数最大的项.(2)求的展开式中的常数项.6.3.2二项式系数的性质备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求指定项的二项式系数；二项式系数的增减性和最值；二项式的系数和；求指定项的系数；求有理项或其系数；有项的系数确定参数；二项展开式各项系数和；求系数最大（小）项；奇次项和偶次项的系数；三项展开系数问题；两个二项式乘积展开式系数问题；由二项展开式各项系数和求参数课堂知识小结考点巩固提升知识归纳二项式系数的性质性质1的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即性质3的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即（令即得）性质4的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（即得）性质5的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大）［特别提醒］1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通项公式时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，T五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.考点讲解考点讲解考点1：求指定项的二项式系数例1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则含项的系数为______．【答案】405【详解】解：通项公式为．因为第6项为常数项，所以时，有，解得．即．令，解得．所以含项的系数为．故答案为：405．【方法技巧】利用二项展开式的通项公式求解.【变式训练】1．的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.【详解】的展开式的通项为，因为，在中，令，得，在中，令，得，所以展开式中项的系数为.故选：B.2．的展开式中的系数为__________（用数字作答）．【答案】7【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，所以的系数为，故答案为：3．若，则______；______.【答案】

1

0【分析】令，可得第1空答案；令，可得第2空答案.【详解】解：令，得；令，得，所以.故答案为：1；0.考点2：二项式系数的增减性和最值例2．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项【答案】D【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.因为展开式的通项为，当时，，故C错误.当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.故选：D【方法技巧】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.【变式训练】1．已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则∴展开式的通项为则该展开式中各项系数若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得∴系数的最小值为故选：C.2．已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据二项式系数的性质确定，由关系列方程求的值.【详解】由题意可知,,,即,，解得．故选：C．3．（多选）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】BCD【分析】利用二次项系数的性质即可求解.【详解】因为的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为或或.当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，当时，的展开式共有项，只有第项的二项式系数最大，满足题意，当时，的展开式共有项，其中第项与第项的二项式系数相等且最大，满足题意，故选：BCD.考点3：二项式的系数和例3．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A【方法技巧】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【变式训练】1．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．【答案】160【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.【详解】因为二项式系数之和为64，故有，得，二项式的通项为，令，得，所以.即的系数是.故答案为：160.2．已知展开式中第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是______．【答案】##4096【分析】根据二项式系数性质确定参数n，进而可得二项式系数和.【详解】由题设，二项式展开式共有13项，即，所以对应的二项式系数和是.故答案为：3．已知的展开式中，二项式系数和为256.(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；(2)求展开式中系数最小的项.【分析】（1）先由二项式系数和求出，再由通项判断常数项及有理项的个数即可；（2）先由不等式组解出系数绝对值最大的项，再结合通项判断系数的正负即可求解.（1）由题意，二项式系数和为，解得，通项为，①若为常数项，当且仅当，即，且，这是不可能的，所以展开式中不含常数项；②若为有理项，当且仅当，且，即，2，4，6，8，故展开式中共有5个有理项；（2）设展开式中第项、第项、第项的系数绝对值分别为、、，若第项的系数绝对值最大，则解得，故或，因为时，第6项的系数为负；时，第7项的系数为正，所以系数最小的项为.考点4：求指定项的系数例4．的展开式中的系数为（

）A．20 B．-40 C．40 D．-10【答案】C【详解】展开后的通项为，令，所以，故选：C【方法技巧】根据二项式展开式的通项即可求解.【变式训练】1．二项式的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于2，求得的值，即可求得展开式中的的系数．【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1令，求得，可得的系数是，故选：．2．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为__________【答案】【分析】根据展开式的二项式系数之和求出n,再根据展开式的通项求解即可.【详解】由，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：．故答案为:.3．在的展开式中，各项系数和是___________；的系数是___________.【答案】

1

【分析】利用赋值法可得各项系数和，根据二项式展开式通项可得的系数.【详解】令，可得各项系数和是1，由题设，展开式通项为，令，则，,∴的系数是.故答案为：1；.考点5：求有理项或其系数例5．在的展开式中，系数为有理数的项共有（

）项A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【详解】解：的展开式的通项公式为，所以当为整数时，展开式的系数为有理数，因为，且，所以，所以系数为有理数的项共有6项，故选：A【方法技巧】先求出二项式展开式的通项公式，然后由为整数，且，可求出，从而可得答案【变式训练】1．如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）【答案】2【分析】利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值，再写出展开式的通项，由的幂指数即可求得的值，从而可求得展开式里所有的有理项；【详解】解：依题意可得，即，解得或（舍去）．所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，根据题意，解得或，展开式里所有的有理项为，共项；故答案为：2．的展开式中有理项的个数为________.【答案】34【分析】根据展开式的通项公式可求有理项的个数.【详解】，所以时为有理项，共34个.故答案为：34.3．二项式的展开式中，常数项是________，有理项的个数为________．【答案】

60

4【分析】写出通项，根据要求出的值即可求得答案.【详解】，令，常数项为；，符合题意，所以共有4个；故答案为：60；4．考点6：有项的系数确定参数例6．已知的展开式中x3的系数是160，则a=__________.【答案】-2【详解】展开式的通项为，令，得，所以，所以，解得．故答案为：-2.【方法技巧】先由通项化简整理第k+1项，令x的指数等于3可得k，然后可解.【变式训练】1．已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的值求得，利用赋值法求得正确答案.【详解】，令得，令得，所以.故选：C2．已知，若展开式中的系数为，则常数a的值为___________.【答案】4【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】展开式通项公式令，得，所以的系数为，解得.故答案为:4.3．已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.【答案】3【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.【详解】因为的展开式的通项公式为，则展开式中含项的系数为解得故答案为:考点7：二项展开式各项系数和例7（多选）．若，则（

）A．B．C．展开式中的各项系数之和为0D．展开式中所有项的二项式系数之和为【答案】ACD【详解】解：选项A：令，可得，故选项A正确；选项B：令，可得，所以，故选项B错误；选项C：令，可得展开式中的各项系数之和.故选项C正确；选项D：展开式中所有项的二项式系数之和，故选项D正确.故选：ACD.【方法技巧】由二项式定理及二项式系数的性质，结合赋值法即可求解.【变式训练】1．，则（）A．16

B．27

C．43

D．70【答案】C【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】依题意，令，得.故选：C2．的展开式中所有项的系数和为________．【答案】0【分析】令求解即可.【详解】令有，故的展开式中所有项的系数和为0.故答案为：03．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______【答案】【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.【详解】的二项式系数和为，可得，所以，的所有项的系数和为.故答案为：.考点8：求系数最大（小）项例8．已知，的系数为______；系数最大的项是第______项.【答案】

28

5【详解】展开式的通项公式为，令，得，所以的系数为，因为的展开式有9项，所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项，故答案为：28，5【方法技巧】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，从而可求出，利用二项式的性质可求得系数最大的项【变式训练】1．按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（

）A．第项和第项 B．第项C．第项和第项 D．第项【答案】B【分析】利用二项展开式通项结合二项式系数的单调性可得出结论.【详解】因为的展开式通项为，其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.故选：B.2．的展开式中，系数最大的项为第_____项．【答案】或【分析】根据题意利用二项展开式的系数与二项式系数的关系，可得第项的二项式系数最大，但第项的系数为负，即可判断.【详解】解：的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，且奇数项是正的，偶数项是负的．又中间项的二项式系数最大，中间项为第项，其系数为负，所以第，第项系数最大，故答案为：或．3．已知的展开式的二项式系数和为64.(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)6(2)【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可；（2）由（1）求出，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为，即可求解.（1）由题意的展开式的二项式系数和为64，即，解得；（2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为，即.考点9：奇次项和偶次项的系数例9．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【详解】解：因为，所以，所以令，得；令，得又，所以．由题可知，，所以．【方法技巧】（1）由于，所以其展开式中没有的奇次项，从而可得答案；（2）令，可得，再令求出，结合（1）可求得答案；（3）由于，从而由二项式的通项公式可求出结果【变式训练】1．若，则(

)A．27 B．－27 C．54 D．－54【答案】B【分析】采用赋值法，令和得到不同的系数和，两个系数和相加即可求．【详解】，令可得，令可得，两式相加可得，∴．故选：B．2．已知，则的值为（

）A．24 B．48 C．32 D．72【答案】B【分析】利用赋值法，分别令，，代入已知的式子中，然后将得到的两相减可得答案【详解】解：由题，令，可得128①，令，可得②，，可得，故选：B．【点睛】方法点睛：对形如，的式子求其展开式中的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可．对形如的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令即可；同理，求系数之差时，只需根据题目要求令，或，即可．3．若，则______.【答案】－243【分析】由题意，令和，两式相加减求得和，代入即可求解.【详解】由，令，可得，令，可得，两式相加，可得，可得，两式相减，可得，可得，所以故答案为：.考点10：三项展开系数问题例10．在的展开式中，的系数是（

）A．15 B．30 C．36 D．60【答案】B【详解】因为，所以的通项公式为：，令，所以，因此的系数是，故选：B【方法技巧】运用二项式的通项公式进行求解即可.【变式训练】1．的展开式中所有不含的项的系数之和为（

）A． B． C．10 D．64【答案】A【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.【详解】在的展开式中，通项公式为若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.令，得这些项的系数之和为故选：2．的展开式中，含项的系数为______（用数字作答）.【答案】【分析】由，利用二项式展开式通项写出含项，即可得结果.【详解】由，其展开式通项为，所以含项为，故系数为.故答案为：3．的展开式中常数项为______【答案】【分析】利用组合知识进行求解.【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为．故答案为：-59考点11：两个二项式乘积展开式系数问题例11．的展开式中含项的系数是__________（结果用数字表示）.【答案】【详解】展开式中含项的系数是.故答案为：【方法技巧】根据二项式定理展开式通项的特征即可求解.【变式训练】1．的展开式中的系数是（

）A． B．10 C． D．50【答案】B【分析】先展开，利用二项式定理的通项公式进行求解.【详解】，由，可得的系数是10．故选：B.2．的展开式中，记项的系数为，则______．【答案】30【分析】直接由二项式求出含有和的项，即可求解.【详解】含有的项为，则；含有的项为，则；则.故答案为：30.3．展开式中的系数为__________．【答案】【分析】根据给定的条件，求出展开式中含的系数即可求解作答.【详解】二项式的展开式中含的项为，含的项为，展开式中的项为，所以展开式中的系数为.故答案为：考点12：由二项展开式各项系数和求参数例12．已知，若，则自然数n等于_____．【答案】4【详解】令，则，所以．故答案为：4【方法技巧】利用赋值法求解，令，可求出答案.【变式训练】1．的展开式的各项系数和为，则a的值是（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【分析】利用赋值法令，代入=-32计算即可.【详解】∵的展开式的各项系数和为-32，令，可得，故（1-，解得，故选：B.2．已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为【答案】AC【分析】令即可得到展开式各项系数和，从而得到参数的值，即可判断A，再根据二项式系数和为，即可判断B，再写出展开式的通项，即可计算C、D.【详解】解：对于A：令可得，解得，故A正确；对于B：二项式系数和为，故B错误；对于C：展开式的通项为，第5项即，所以，故C正确；对于D：令，解得，所以展开式中的系数为，故D错误.故选：AC3．的展开式中所有项的系数和为64，则___________.【答案】3或-1##-1或3【分析】利用赋值法，令结合所有项的系数和有，即可求a值.【详解】令有的展开式中所有项的系数和为，解得或-1.故答案为：3或-1知识小结知识小结二项式系数的性质性质1的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即性质3的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即（令即得）性质4的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即（即得）性质5的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大）［特别提醒］1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。2．在使用通项公式时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，T五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.巩固提升巩固提升一、单选题1．在的展开式中，x的系数为（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.【详解】的展开式中，含x的项为，故x的系数为3，故选：B2．在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由二项式系数和的特征即可求解.【详解】由题意可知：，故选：A3．的展开式中系数最大的项是（

）A．第5项 B．第6项C．第5项、第6项 D．第6项、第7项【答案】B【分析】根据二项式定理的通项公式即可得到答案【详解】由的展开式的通项为，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大，所以，即第6项的系数最大．故选：B4．已知，设，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据组合数的性质得到，再利用赋值法求值即可.【详解】因为，所以由组合数的性质得，所以，令，得，即.故选：C5．已知，则（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【分析】根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解.【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A6．在的