浙教七年级下学期《3 7 整式的除法》同步练习卷

浙教新版七年级下学期《3.7整式的除法》

同步练习卷

一.解答题(共50小题)

1.已知a是大于1的实数，且有/+晨3=〃，〃3-。-3=夕成立.

(1)若p+q=4,求p-g的值；

(2)当/=22"+g-2(〃21,且〃是整数)时，比较p与(«3+1)的大小，

并说明理由.

2.在求1+2+2?+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都

是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+2?+23+24+25+26①然后在①式的两

边都乘以2,得：25=2+22+23+24+25+26+27②；②-①得2S-S=27-1,S

=27-1,即1+2+22+23+24+25+26=27-1.

(1)求1+3+32+33+34+35+36的值;

(2)l+tz+a2+673+---+a2013(aWO且aWl)的值.

3.根据以下10个乘积，回答问题：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-。2"(两数平方差)的形式，并写出

其中一个的思考过程；

(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

(3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)

4.小丽在学习了“除零以外的任何数的零次累的值为1”后，遇到这样一道题：

“如果(X-2)"3=I,求％的值”，她解答出来的结果为x=-3.老师说她

考虑的问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？

5.在形如J=N的式子中，我们已经研究过两种情况：

①已知a和匕，求M这是乘方运算；

②已知匕和N,求a,这是开方运算；

现在我们研究第三种情况：己知。和M求从我们把这种运算叫做对数运算.

定义：如果/=N(a>0,aWl,N>0),则〃叫做以a为底N的对数，记作匕

=log“N.

例如：求log28,因为23=8,所以log28=3；又比如..”川二工，二kg9=_3.

8°2

(1)根据定义计算：

®log381=；②logiol=；③如果log.J6=4,那么x=.

y

(2)设，=M,a=N,则\ogaM=x,k)g“N=y(a>0,aWl,M、N均为正数)，

(+y

.,.a=M*N.'.\ogaMN=x+y,即log.MN=logaM+log“N

这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：log“MM2M3…％

(其中Mi、M2、M3、…、均为正数，a>0,aWl).

(3)请你猜想：ig—=(a>0,a#l,M、N均为正数).

i0o§aN----------

6.若机、〃满足(n+2016)2=0,求旭"+〃°的值.

7.观察下列各式：

「+23=1+8=9,而(1+2)2=9,13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,/.13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

/.13+23+33+43+53=()2=.

根据以上规律填空：

(1)13+23+33+-+»3=()2=[]2.

(2)猜想:113+123+133+143+153=.

8.探究应用：

(1)计算(tz-2)(/+2a+4)=；(2x-y)(4x2+2xj+y2)=.

(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：(请

用含a.〃的字母表示).

(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是.

A.(a-3)(a?-3a+9)B.(2tn-n)(2m2+2mn+n2)

C.(4-x)(16+4%+x2)D.(机-〃)(m2+2mn+n2)

(4)直接用公式计算：

(3x-2y)(9x2+6xy+4y2)=；

(2m-3)(4m2+6m+9)=.

9.机取什么值时，x3+y3+zi+mxyz(孙zWO)能被x+y+z整除？

10.已知a,b,c为实数，且多项式xS+a^+bx+c能被多项式-4整除，

⑴求4a+c的值；

(2)求2a-2£»-c的值；

(3)若a,A,c,为整数，且c2a>l,试确定a,A,c的值.

11.已知关于x的多项式被2x+l除的余数为1,而能够被3x-l整除，求这个

多项式被(3x-1)(2%+1)除的余数.

12.计算

(1)(-2ry2)2,3x2y^-(-x3y4)

(2)(2x+y)(2x-3)-2yCx-I)

(3)3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1)2

⑷(2x2y-x3y2-1-xy3)

33

13.已知a+0=l,ap=-1.设$=a+0,52=6+『，s3=a+p,•••,S〃=a"+0"

(1)计算：S\=,S2=，ST,=,$4=；

(2)试写出工一2、S“T、S”三者之间的关系;

(3)根据以上得出结论计算：。7+『.

14.观察下列式子：(f-1)4-(x-1)=x+l

(x3-1)4-(x-1)=x2+x+1

(x4-1)-r(X-1)=x3+x2+x+l

(x5-1)4-(x-1)=x4+x3+x2+x+l

(1)根据以上式子，请直接写出(Z-1)9(x-1)的结果(〃为正整数)；

(2)计算：1+2+22+23+24+-+220'5.

15.我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，

步骤如下：

①把被除式、除式按某个字母作降暴排列，并把所缺的项用零补齐；

②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；

③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项；

④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或

余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式X商式+余式.若余式为

零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.

例如：计算(6/-7/-7-1)+(2x+l),可用竖式除法如图：

所以6%4-7%3-¥-1除以2%+1,商式为3/-5产+2%-1,余式为0.

根据阅读材料，请回答下列问题(直接填空)：

(1)(x3-A:2-4x+4)4-(x-2)=；

(2)(x2+2x+4)4-(x-1),余式为；

(3)x3+ax2+bx-2能被f+2x+2整除，贝Ua=,b=.

3--5e+2%-1

2x+l)6x'-「/-x'+O-x-l

6x-+3x'

-10x3-x:

-10A?-5x:

4x:+0-x

2x*+2x

-2x-l

—2x-1

0

16.利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2-ab-

be-ac=—[(a-b)2+(。-c)2+(c-a)2],该等式从左到右的变形，不仅

2

保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美观.

(1)请你检验这个等式的正确性；

(2)若a=2005,8=2006,c=2007,你能很快求出<z2+/?2+c2-ab-be-ac的

值吗？

17.计算：(-ya2b-^-ab2)2+r^-a4b3-

qboiz

18.阅读下列材料，并解决后面的问题.

材料：我们知道，〃个相同的因数。相乘n可记为。"，如23=8,此时，3叫做以

2为底8的对数，记为log28(即log28=3),一般地，若a"=。(a>0且aW

1,。>0),则n叫做以a为底b的对数，记为log滴(即log疝=〃).如34=81,

则4叫做以3为底81的对数,记为log381(EPlog381=4)

(1)计算以下各对数的值：log24=,log216=,log264=.

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式?log24,log216,log264

之间又满足怎样的关系式？

(3)根据(2)的结果,我们可以归纳出：log〃M+log“N=log〃MN(a>0且a#

1,M>Q,N>0)

请你根据累的运算法则：""•/=屋+"以及对数的定义证明该结论.

19.阅读下面一段话，解决后面的问题.

观察下面一列数：1，2,4,8,…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与

它前一项的比都等于2.

一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这

一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比.

(1)等比数列5,-15,45,…的第四项是.

(2)如果一列数a”做，的，如，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的

规定，W—=q,—=q,…所以U2=a\q,©=。29=(。同)q=ai#,

ala2a3

。4=。3<?=(。1/)q=aiq3,…，an=(用含©与q的代数式表示).

(3)一个等比数列的第二项是10,第三项是20,则它的第一项是,第

四项是.

20.分类讨论

已知(x-1)x+6=l,求x的值.

21.计算下列各式，并且把结果化为只含有正指数基的形式.

(1)(,3)2.(苏)-3；

(2)一2・(优3/)2.

22.如图，在长方形ABCf(中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知

小长方形的长为。，宽为b,且a>b.

(1)用含a、。的代数式表示长方形ABC。的长A。、宽AB；

(2)用含a、8的代数式表示阴影部分的面积.

D

23.已知M=X2+3X-a,N=-x,P=xi+3x1+5,且M・N+P的值与光的取值无关，

求a的值.

24.已知A、3为多项式，B=2x+l,计算A+B时，某同学把A+B看成A:8,

结果得4/-2尤+1,请你求出A+B的正确答案，并求当尤=-1时，A+B的值.

25.(1)(-4x2y3),(--xyz}4-(—xy2)2

82

(2)(54fy-108x)2-36xy).(18xy)

(3)(a+b+3)(a+b-3)

(4)2007°+2-2-(1)2+2014.

2

26.(1)(/)2・y3+(-/)2

(2)(-1-a3b)*(2bc2)3•(ya)2

(3)3X2,(-3xy)2-x2(x2>,2-2x)

(4)(x+—)(x--)-3x(—x-—)

2233

(5)(4x+2)(x+3)-(2尤-3)2

(6)[(x+y)2-(x-y)2]-rjcy

27.某种液体每升含有10口个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死1()9个此种有害细

菌，现在将3L这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10

滴这种杀菌剂为10%,要用多少升？

28.解方程：(x+2)2+(x-4)(x+4)=(2x-1)(x+4).

29.南山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为(x+y)米，

宽为(x-y)米；B园区为正方形，边长为(尤+3y)米.

(1)请用代数式表示A、8两园区的面积之和并化简；

(2)现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(Ux-y)米，宽减少(x-2y)

米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米.

①求x、y的值；

②若A园区全部种植C种花，8园区全部种植。种花，且C、。两种花投入的

费用与吸引游客的收益如表:

CD

投入(元/平方米)1216

收益(元/平方米)1826

求整改后A、3两园区旅游的净收益之和.(净收益=收益-投入)

30.计算下面各题，能简算的要简算.

(1)x5,x+x8-j-%2

(2)(3x+7)(2x-3)

(3)(x+3y-z)(x+3y+z)

(4)9(x+2)(x-2)-(3x-2)2.

31.计算：

(1)(2/y)2.(-2xy)+(-2/y)3+(2?)

(2)(6m2/7-67n-3〃/)4-(-3〃，)

(3)先化简，再求值：2(jt+1)2-5(x+1)(x-1)+3(x-1)2,其中x=(1)

32.你能化简(a-1)(«9WW7+-+o2+a+l)吗？我们不妨先从简单情况入

手，发现规律，归纳结论.

(1)先填空：(a-1)(a+1)=；(a-1)(a?+a+l)=；

(a-1)(tz3+cz2+<z+1)=；…

由此猜想(a-1)(6Z9y+4Z9S+iZ97+,**+cz2+a+l)=.

(2)利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？

①2199+2198+2197+...+22+2+1；

②若fl5+a4+«3+t22+«+l=0,则不等于多少？

33.如图所示，长方形A5CD是''阳光小区”内一块空地，已知A8=2a,BC=

3b,且E为AB边的中点，DF=^BC,现打算在阴影部分种植一片草坪，求

这片草坪的面积.

D

E

片------------------------'(?

34.已知3X9"27"'=3"+"',求：(-/)3+(/.疗)的值.

35.(-3)*12+1-21+(-3)L

36.计算：

(2)-2'2+.?-+1-3-'+(IT-3.14)°.

52

37.已知关于x的三次多项式/(x)除以x2-1时，余式是2x-3,除以7-4

时，余式是-3x-4时，求这个三次多项式.

38.求出所有的正整数小使得俨+22+32+42+…+*-(〃+1)2一(〃+2产-(〃+3)

2-------(2/7-1)2-⑵)2=-10115

(参考公式：1+2+3+4+•♦•+〃=n(n+L))

2

39.设a>b>c,求证：(2b-c-a)2-4(2a-Z?-c)(2c-a-b)=9(a-c)

2

40.郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：九一平方一+x-9x--X—答案

林军拿了几个数试了一试，列出如下表格：

1

-22007

3

答案11

(1)请将表格填写完整;

(2)试用一个算式表示这个程序；

(3)结合(1),(2)你发现了什么结论?

41.化简下列各式：

(1)3(2-y)2-4(y+5)

(2)(x+2y)(x-2y)-ly(x-8y)

42.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张.请你把它

拼成一个长方形并写出你的拼图思

43.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如

图），此图揭示了（a+b）”为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关

规律.

例如：（“+。）°=1,它只有一项，系数为1；（a+b）*l=a+b,它有两项，系数分

别为1,1,系数和为2；（a+b）2=a2+2ah+b2,它有三项，系数分别为1,2,

1,系数和为4；（（«+/?）3=a3+3a2h+3ab2+b\它有四项,系数分别为1,3,

3,1,系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+力）4展开式共有项，系数分别为；

（2）（a+A）”展开式共有项，系数和为.

（3）根据上面的规律，写出（a+8）5的展开式.

1

11

121

1331

44.某次有10支球队参加的足球比赛，实行主客场双循环赛制，即任何两队分

别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.

（1）试问这次比赛共进行了多少场？

（2）若每场比赛都取得最高分，则这次比赛各队积分的总和是多少若每场比赛

都取得最低分，则这次比赛各队积分的总和是多少？

（3）若比赛结束后按积分的高低排出名次，在积分榜上位次相邻的两支球队积

分差距最多可达几分？

45.阅读理解：“速算”是指在特定的情况下用特定的方法进行计算，它有很强

的技巧性.如：末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘，它的方法是：

两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位

数则十位补0),前积后面添上后积就是得数.

如：84X24=100X(8X2+4)+42=2016

42X62=100X(4X6+2)+22=2604

(1)仿照上面的方法，写出计算77X37的式子

77X37==；

(2)如果分别用m8表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含

。、仄c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；

(3)猜想4918X5118怎样用上面的方法计算？写出过程.并仿照上面的方法推

导出：计算前两位数和为一百，后两位相同的两个四位数相乘的方法.

46.计算：

(1)4a•(-看。4力3)+(__^_&5孙2)

(2)a(a-2b)+Ca+b)2.

47.阅读下列材料，并解决后面的问题.

材料：一般地，〃个相同的因数。相乘：n个记为.如23=8,此时，3叫做以

2为底8的对数，记为log28(即log28=3).一般地，若a"=0(a>0且“W1,

b>0),则“叫做以。为底b的对数，记为log/(即log“"=〃).如34=81,

则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4).

问题：(1)计算以下各对数的值：log24=；log216=；log264

(2)通过观察(1),请直接写出log24>log216.log264之间满足的等量关系

是.

(3)请你求出Iog696+log681的值：

48.如果10〃=〃，那么称匕为〃的劳格数，记为b=d(〃)，由定义可知：10〃

=〃与b=d(〃)所表示的是Z?、〃两个量之间的同一关系.

(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)=,d(102)=；

劳格数有如下运算性质：

若m、”为正数，则d(mn)=d(m)+d(〃)，d(—)=dCm)-d(“).

n

3

根据运算性质，填空：当2=(a为正数).

(2)下表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误

的劳格数，说明理由并改正.

X1.5356891227

d(x)3a-b+c2a-ba+c\+a-b-3-3a-4a-2b3-b-6a-3b

c3c2c

49.材料一：如果10"=〃，那么〃为〃的劳格数，记为b=d(〃),由定义可知：

10"=〃与Z?=d(〃)所表示的力、〃两个量之间的同一关系.例如：=

d(10)=1；

材料二：劳格数有如下运算性质：若加、n为正数，则d=d(机)+d(n)

(1)根据劳格数的定义，填空：d(IO?)=,d(W2)=；

(2)若d(2)=0.301,求d(4)+d(16)的值；

(3)已知d(3)=2a+b,d(9)=3a+2b+c,d(27)=6a+2b+c,证明：a=b

50.已知一个长方形的面积为(6fy+12孙-24孙3)平方厘米，它的宽为6盯厘

米，求它的长为多少厘米?

浙教新版七年级下学期《3.7整式的除法》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一.解答题（共50小题）

1.已知a是大于1的实数，且有/_相3=夕成立.

（1）若p+q=4,求p-q的值；

（2）当才=22"+二厂-2（“N1,且〃是整数）时，比较〃与（/+2）的大小,

22n4

并说明理由.

【分析】（1）根据已知条件可得d=2,代入可求p-q的值；

（2）根据作差法得到p-（a3+l）=2n-l,分三种情况：当n=l时；当n

44

=2时；当〃23时进行讨论即可求解.

【解答】解：（1）•••/+”3=p①，②，

得，2a，=p+q=4,

.,.a3=2；

①-②得，p-^=2o'3=-y=l.

a

2in

（2）-：q=2+-L--2（心1,且〃是整数），

22n

：.q2=（2"-2一”）2,

：.q=T-2一”，

又由（1）中①+②得2/=p+q,a3=A.（p+g）,

3

①-②得2a7=p-q,a'=—（p-q）,

.,.p2-/=4,

p2="+4=（2”"）2,

：.p=2n+2n,

：.ai+a3=2n+2n（3）,

-a3=2n-2-n@,

...③+④得2/=2义2",

：.a3=2",

：.p-(«3+1)=2,,+2M-2,,-1=2'/?-1,

444

当〃=1时，p>a3+^；

当〃=2时，p=a3+—；

4

当〃》3时，p<a3+—.

4

【点评】考查了负整数指数累：a"=_k(aWO,p为正整数)，关键是加减消元

ap

法和作差法的熟练掌握.

2.在求l+2+2?+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都

是前一个加数的2倍，于是他设：S=l+2+22+23+24+2$+26①然后在①式的两

边都乘以2,得：25=2+22+23+24+25+26+27②；②-①得2S-5=27-1,S

=27-1,即1+2+22+23+24+25+26=27-1.

(1)求1+3+32+33+34+35+36的值;

(2)求l+a+B+Y+…+4233(“20且Ml)的值.

【分析】⑴将1+3+32+33+34+35+36^3,减去1+3+32+33+34+35+36,把它们的

结果除以3-1=2即可求解；

(2)将1+&+a2+/+…乘减去l+a+a。/+…+°201:把它们的结果除以

a-1即可求解.

【解答】解：(1)1+3+32+33+34+35+36

=[(1+3+32+33+34+35+36)X3-(1+3+32+33+34+35+36)]4-(3-1)

=[(3+32+33+34+35+36+37)-(1+3+32+33+34+35+36)]-?2

=(37-1)4-2

=21864-2

=1093；

(2)l+a+a2+a3+--+a2013(。/0且。#1)

==[(1+。+/+/+…+。2°13)x<z-(1+a+a2+a^+',,+tz2013)]4-(a-1)

=[(a+a2+ai+•••+a2()l3+«2014)-(1+a+(^+c^+•••+a2013)]4-(a-1)

=(«2014-1)+(a-1)

—a2014-1i

a-l

【点评】本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比

数列的求和方法是解题的关键.

3.根据以下10个乘积，回答问题：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-。2"(两数平方差)的形式，并写出

其中一个的思考过程；

(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

(3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)

【分析】(1)根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可.

(2)减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可.

(3)根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小.

【解答】解:(1)HX29=202-92；12X28=202-82；13X27=202-72；

14X26=2()2-62；15X25=2()2-52；16X24=202-42；

17X23=2()2-32；18X22=202-22；19X21=202-I2；

20X20=202-02…(4分)

例如，11X29；假设11X29=IZP-

因为口2-。2=(口+O)(□-O);

所以，可以令口-0=11,0+0=29.

解得，口=20,0=9.故11X29=2()2-92.

(或11X29=(20-9)(20+9)=202-92

(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X29<12X28<13X27<14

X26<15X25<16X24<17X23<18X22<19X21<20X20

（3）①若"+。=40,a,。是自然数，贝UabW2（）2=400.

②若a+b=40,贝ija/?W2（）2=400.…（8分）

③若a+/?=〃z,a,（是自然数,则abW号产.

④若a+b=m,则abW号）？.

⑤若a,〃的和为定值，则帅的最大值为普产

⑥若。1+仇=42+82=。3+济=~=。"+""=40.且

l«i-仇121a2-b2121a3-优|2…，|a“-b,\,

则aib1Wa2ba3b3W…Wa〃bn.…（10分）

底）右。］+仇=<22+82=。3+。3=…=。"+为=机.且

|«1-仇闫。2-岳闫。3-…冽斯-bn\,

⑧若a+b=m,

a,〃差的绝对值越大，则它们的积就越小.

说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2

分）；

给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）.

【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键.

4.小丽在学习了“除零以外的任何数的零次幕的值为1”后，遇到这样一道题:

“如果（X-2）"3=I,求x的值”，她解答出来的结果为尤=-3.老师说她

考虑的问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？

【分析】该题要注意：底数不为0的0指数幕为1；底数为1的事等于1,和-1

的偶次幕为1.

【解答】解：一种情况：当x-2=l时，x=3

当光-2=-1时，x=l而x+3=4满足题意.

另一种情况：当x=-3,而x-2=-5#0满足题意

，x=3,-3,1时（x-2）x+3=i.

【点评】该题很容易出错，重点要进行分类讨论，哪几种情况等于1,从而确定

答案.

5.在形如d'=N的式子中，我们已经研究过两种情况：

①已知a和4求N,这是乘方运算；

②已知8和N,求a,这是开方运算；

现在我们研究第三种情况：已知。和M求从我们把这种运算叫做对数运算.

定义：如果a"=N(a>0,aWl,N>0),则人叫做以a为底N的对数，记作人

=log“N.

例如：求log28,因为23=8,所以log28=3；又比如：2一3=工，kg至=-3・

882

(1)根据定义计算：

①10七81=4；(2)logiol=0；③如果k>g,rl6=4,那么x=2.

v

(2)设，=M,a=N,则logltM=x,logtlN=y(a>0,a#l,M、N均为正数)，

力'=M・N；.log“MN=x+y,即log“MN=log“M+log〃N

这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：log〃MM2M3…M〃=

log@A/i+loggM2+…+log&M“.

(其中Mi、M2、M3、…、M,均为正数，a>0，aWl).

(3)请你猜想：1nga/=lo%MTog@N(a>0,aWl,M.N均为正数).

【分析】阅读题目，明确对数的定义、积的对数和商的对数的运算法则，可逐步

推出结果.

【解答】解:(1)①因为3，=81,所以答gs81=4；②因为10°=1,所以logiol

=0；③因为2，=16,所以x=2.

(2)结合题意的分析，可知log,MM2M3...M”=log,M+log“M2+・“+log,M,.

(3)因为\ogMN=iogaM+logaN,所以可猜想：log—=log„M-log„7VCa>0,

aaN

aWl,M、N均为正数).

【点评】本题是一种新的运算，读懂题目信息，理解对数与乘方的关系是求解的

关键.

6.若施、〃满足依-3|+(n+2016)2=0(求机”+〃。的值.

【分析】首先根据依-3|+(zi+2016)2=0,可得|〃[-3|=0,〃+2016=0,据此分

别求出机、〃的值各是多少；然后把求出的加、〃的值代入求出算式

的值是多少即可.

【解答】解：(»+2016)2=0,

.•.依-3|=0,〃+2016=0,

解得加=3,n=-2016,

'.m工，

=3-'+(-2016)°

=—+1

3

=1-L

3

答：机一工〃。的值是1L

3

【点评】(1)此题主要考查了负整数指数幕的运算，要熟练掌握，解答此题的关

键是要明确：@ap=^~(“WO,p为正整数)；②计算负整数指数基时，

ap

一定要根据负整数指数累的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分

母颠倒，负指数就可变为正指数.

(2)此题还考查了零指数幕的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①/=1"0)；②O°W1.

(3)此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

确：①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；②当。是负有理数时，a

的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零.

(4)此题还考查了偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握.

7.观察下列各式：

13+23=1+8=9,而(1+2)2=9,13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,A13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

A13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225.

根据以上规律填空：

(1)l3+23+33+-+n3=(1+2+-+/7)2=[n(n+l),2.

------------------2~

(2)猜想：“3+123+133+143+153=11375.

【分析】观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几

个连续正整数和的平方，根据此规律填空，

(1)根据上述规律填空，然后把1+2+…+〃变为2个(〃+1)相乘，即可化简；

2

(2)对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1

到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值.

【解答】解：由题意可知：/+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225

(1)•；1+2+…+〃=(1+n)+[2+(〃-1)]+•••+[£+(〃谒+1)]=n"l),

.../+23+33+…+/=(1+2+…+〃)2=[R(n+l)不；

2

(2)113+123+133+143+153=13+23+33+―+153-(13+23+33+―+103)

=(1+2+…+15)2-(1+2+―+10)2

=1202-552=11375.

故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+-+/?；n(n+1)；11375.

2

【点评】此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索

问题，获得解题途径.考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总

结的结论解决问题的能力.

8.探究应用：

(1)计算(。-2)(tz2+2a+4)=-8；(2r-(4x2+2xy+y2)=Sx3-y3.

(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：(a-b)

d+ab+b?)=<?-己(请用含a./?的字母表示).

(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是C.

A.(tz-3)(a2-3a+9)B.(2m-n)(2m2+2mn+n2)

C.(4-x)(16+4x+x2)D.(m-n)(〃+2加〃+〃2)

(4)直接用公式计算：

(3x-2y)(9/+6孙+4y2)=27?-8y3；

(2/n-3)(44+6加+9)=8/n3-27.

【分析】(1)本题先根据多项式乘多项式法则，计算出两式的值即可解答.

(2)根据上题所给的结果推理即可得到公式；

(3)在四个选项中分析哪一个最符合题意即可解答；

(4)步直接套用公式即可.

【解答】解：(1)①(&-2)(H+2a+4),

=a^+2a2+4a~2a2-4a-8,

=a3-8；

②(2x-y)C4%2+2xy+y2),

=8^3+4X2J?+2X>,2-4x2y-2xy2-y3

=8x3-y3；

(2)如②中，(2x)3=8X\_/=y3,2xy=-(2x・y),

3

所以发现的公式为：(a-6)(/+"+/)=a-b\

(3)。符合公式，选C；

(4)根据公式：(3x-2y)(9/+6孙+4/)=(3x)3-(2y)3=27?-8y3；

(2m-3)(4m2+6m+9)=(2m)3-33=8m3-27.

故答案为：a3-8；8x3-y3；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-护；C；27i-8y3；8m3

-27.

【点评】本题考查了完全平方公式，是一道探索性题目，很好的体现了探索的过

程：根据具体的例子得到一个一般的结论，然后用结论解决问题来验证结论，

有利于培养同学们的探索精神.

9.取什么值时，xi+y3+z^+mxyz(xyzWO)能被x+y+z整除？

【分析】当^+广4+机孙z能被尤+y+z整除时，它含有x+y+z因式，运用赋值法

即可求解.

【解答】解：当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式，

令x+y+z=O,得％=-(y+z),代入原式其值必为0,

即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0,

把左边因式分解，得-yz(y+z)(777+3)=0,

"孙z#0,

.•.尤WO,

,.*%=-(y+z),

Cy+z)WO,

当m+3=O时等式成立，

当初=-3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除.

【点评】此题考查了整式的除法，本题用到的其实还是逆推，要想整除必定含有

x+y+z这个因式，然后巧妙的运用赋值法降低解题难度.

10.已知a,b,c为实数，且多项式能被多项式*+3x-4整除，

(1)求4a+c的值；

(2)求2a-2b-c的值；

(3)若a,b,c为整数，且c2a>1,试确定a,b,c的值.

【分析】(1)由于多项式9+依2+次+c能被多项式*2+3%-4整除，则说明f+3x

-4=0,求出的x也能使xi+ax2+bx+c=O,从而得到关于a、b、c的两个等式，

对两个等式变形，可得4a+c=12③；

(2)由③可得。=3-工④，把④代入①，可得b=-4-Wc⑤，然后把④⑤

44

同时代入2a-2b-c即可求值;

(3)由于c2a>l,又4=3-9,可知1<3-工<3,解即可求出c的范围，但

44

是a、c是大于1的正整数，且a=3-£,可求出c,从而求出a、b.

4

【解答】解：(1),-,x1+3x-4x3+ax2+bx+c一个因式，

.,.X2+3X-4=0,即x=-4,x=l是方程x3+ax2+^x+c=o的解，

..[a+b+c=T…①，

•・jl6a-4b+c=64…②’

①X4+②得4a+c=12③；

⑵由③得。=3-点，④

代入①得力=-4-2⑤，

4

2a~2b~c=2(3-—)-2(-4-—c)-c—14；

44

(3)2>1,又a=3-£,

4

.,.a=3-—<c,

4

即1V3-£Vc,

4

解得liveV8,

5

又•：a、c是大于1的正整数，

，c=3、4、5、6、7,但a=3-£,a也是正整数，

4

.".c=4,

»•a^2,

'.b=-4-—c=-7.

4

故a=2,b=-7,c=4.

【点评】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B

整除，另外一层意思也就是说，B是A的一个因式，使这个因式8等于。的

值，必是A的一个解.

11.已知关于x的多项式被2x+l除的余数为1,而能够被3x-l整除，求这个

多项式被(3尤-1)(2x+l)除的余数.

【分析】设这个多项式为E(x)=k(3x-1)[(2x+l)+1],根据整式除法运算

法则来求这个多项式被(3x-1)(2x+l)除的余式.

【解答】解：设这个多项式为E(x)=k(3x-1)[(2x+l)+1],

化简得F(x)=k(6X2+4X-2),

由题意得：F(1)=0,F(-1)=1,

32

即•时，FC--)=kX(-")=1,解得女=-2,

2225

故E(x)=-2(6*+4x-2),

5

故-2(6?+4x-2)4-[(3x-1)(2x+l)]的余数是

542

【点评】本题考查了整式的除法：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项

分别除以单项式，再把所得的商相加.

12.计算

(1)(-2xy2)2,3X2J4-(-x3y4)

(2)(2x+y)(2x-3)-2y(x-1)

(3)3(1)2-5(m+1)(m-1)+2Ctn-1)2

⑷(2x1-x3y2蒋乂丫"+(-/xy)

【分析】(1)根据单项式乘单项式的法则，单项式除单项式的法则化简即可；

(2)根据多项式乘多项式的法则，合并同类项的法则化简即可；

(3)根据完全平方公式，多项式乘多项式的法则，合并同类项的法则化简即可；

(4)根据多项式除单项式的法则去括号化简即可.

【解答】解:(1)原式=-22玲八3玲

=-12/炉.04

=-12xy

(2)原式=4/-6x+2xy-3y-2xy+2y

=4x2-6x-y

(3)原式=3(/n2+2w+l)-5(n?2-1)+2(zn2-2m+\)

=3〃/+6〃z+3-5〃P+5+2〃/-4m+2

=2/?z+10

(4)原式=-(2%2y-X3y2-方孙3)x2x''y'1

2lll1311

=-2xyX2xy+xyx2xy+-^xyX2r_y-

=-4x+2xy+y-

【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，多项式除单项式，去括号

要主要符号的正确处理.

13.已知a+0=l,ap=-1.设$=a+0,52=a2+p2»S3=a3+p5,,,,,S„=a,,+pn

(1)计算：S=1,S?=3>&=4,$4=7；

(2)试写出S"一2、S”T、S“三者之间的关系；

(3)根据以上得出结论计算：a7+『.

【分析】(1)运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出$,S2,S3,S4的

值.

(2)利用(1)中§2=3,S3=4,§4=7,猜想S"=S4-]+S”-2，然后由a,(3是方

程d-尤-1=0的两根，得到a2=a+l,伊=0+1进行证明.

（3）根据（2）中的猜想得到上式为S7=S6+S5进行计算求出式子的值.

【解答】解:（1）Va+P=l,ap=-1.

/.Si=a+p=1.

22

S2=a+p=（a+0）2-2邓=1+2=3.

53=a3+p3=（a+P）（a2-ap+p2）=（a+p）2-3aP=1+3=4.

44222

S4=a+p=（a，伊）-2ap=9-2=7.

故答案为：1,3,4,7；

（2）由（1）得：S〃=S“T+S"一2.

证明：•••（!，B是方程f-x-1=0的两根，

有：a2=a+l,p2=p+l,

S“T+S"一2=a"T+0"T+a"2+町2

=anQngnRn

丁7yF港

aR+a）上BRl+B）

=a"+0"

=s〃.

故Sn=Sni+S„-2-

（3）由（2）有:

77

a+p=S7

—S（＞+S5

=55+54+84+53

=S4+S3+2S4+S3

=384+253

=3X7+2X4

=29.

【点评】本题考查的是整式的混合运算，（1）题运用乘法公式计算求出S,,S2,

S3,S4的值.（2）题以（1）题结果为依据猜想S",S”T，&一2的关系，并根

据a,0是方程-1=0的两根进行证明.（3）题利用（2）题的结论进

行计算求出式子的值.

14.观察下列式子：(f-l)-r(X-1)=X+1

(x3-1)4-(x-1)=x2+x+1

(z4-1)4-(x-1)=x3+x2+x+l

(x5-1)4-(x-1)=x4+x3+x2+x+1

(1)根据以上式子，请直接写出(x"-l)+(X-1)的结果(〃为正整数)；

(2)计算:1+2+22+23+24+-+22015.

【分析】(1)根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；

(2)根据规律，可得答案.

【解答】解:(1)原式=/-1+/-2+/-3+…+%+]

(2)V(2-1)(22015+22014+—+2+1)=22016-1

/.l+2+22+23+24+—+22015=22016-1.

【点评】本题考查了整式的除法，发现规律：(Z-1)+(%-1)=Z-'+Z-2+Z

-3+…+x+]是解题关键.

15.我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，

步骤如下：

①把被除式、除式按某个字母作降基排列，并把所缺的项用零补齐；

②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；

③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项；

④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或

余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式X商式+余式.若余式为

零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.

例如：计算(6/-7?-x2-1)+(2x+l),可用竖式除法如图：

所以-7/-d-1除以2%+1,商式为3尤3-5X2+2X-1,余式为0.

根据阅读材料，请回答下列问题(直接填空)：

(1)(x3-x2-4x+4)4-(x-2)=x2+x-2；

(2)(f+2x+4)+(x-1),余式为7；

(3)/+奴斗人才-2能被』+2x+2整除，则a=1,b=0.

3X3-5XI+2X-1

2x+1^6x4-Tx^-x^+O-x-l

6x'+3x3

-10x3-x:

-lOx-5x:

4X2+0-X

2x2+2x

-2x-l

-2x-l

0

【分析】(1)(2)模仿例题，可用竖式计算；

(3)设商式为(x+机),贝1]有xi+a^+bx-2=(x+m)(f+2x+2)=x3+(2+机)

?+(2+2相)x+2m,根据