对数函数教学课件

对数函数

1对数的概念

①概念

一般地，如果/=N(a>0,且aW1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作尤=//乂

(a底数，N真数，ZogaN对数)

②两个重要对数

常用对数以10为底的对数，/。仍。N记为IgN；

自然对数以无理数e为底的对数的对数，记为mN.

③对数式与指数式的互化

x

x—logaN<=>a=N

对数式指数式

④结论

(1)负数和零没有对数(2)1。/。=1，logal=0.

特别地，1g10=1,lg1=0,Ine=1,In1=0.

2对数的运算

如果a>0,aHl,M>0,N>0,有

①loga(MN)=logaM+logaN②/外费=logaM-logaN

n

③logaM=nlogaM(nER)④=M

⑤换底公式

loqcb

logab=---------(a>0,a1,c>0,c1,b>0)

'logca

利用换底公式推导下面的结论

nlo

①logab=②logab♦logbc=logac③/。。仃6=-9ab

特别注意：logaMNHlogaM-logaN,loga{M±N)手logaM±logaN

3对数函数

①对数函数的概念

函数y=ZogaX(a>0,a41)叫做对数函数，其中x是自变量.

②图像与性质

a>10<a<1

定义域(0,+8)

值域R

过定点(1,0)

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

变化对图像在第一象限内，a越大图象越靠低；

的影响在第四象限内，a越大图象越靠高.

【题型一】对数的化简与求值

【典题11求值2log32-log3-+log38-5sgs3+(匈5)2+lg2XIgSO

iO5s32

【解析】2log32-log3y+log38-5+(Z55)+lg2Xlg50

32

2

=log34-log3—+log38-3+(旬5)2+2lg2-lg5+(Zfii2)

=，。。36x豆x8)—3+(国5+仞2)2

=2-3+1

=0.

【典题2】若x,y,z6R+,且3x=4>=12z,e(n,n+1),nEN,则n的值是.

【解析】令/=4y=12z=fc>1.

则x=log3k=翳，y=Iog4/c,z=logi2k=瞿.

igsiga

(利用换底公式，把数值化为同底，有利于也求值去掉k)

IgkJgk

.x+y_zg3+®4_Igl21gl2_初3+伍4)2_lg3।।n

zIg3-lg4Ig3-lg4lg4lg3'

ig12

(•••也,n+l),.•.要对譬+譬+2进行估值，要把其值的整数部分求出)

zlg41g3

「°〈兽<1；•会+粤>2(利用对勾函数可得)

1g4lg4lg3

•••警+警+2>4,

Eg4lg3

,姐<2，鲂<1.•.竺+纪+2<5,

1g3lg4lg4lg3

贝阮=辔+粤+2e(4,5)=(ri,n+1),

lg4Lg3

则71=4.

巩固练习

1(★汨知函数f⑺=｛麓郎>0),则川倒=•

【答案】i

【解析】寸⑺=喘装?0/../(1)=⑹2；-1-

则/[/©)]=f(T)=3T=彳

2(★)(国2)2+IgSxlg20+62016)+0.027-三x(£)=.

【答案】102

Q

【解析】(均2)2+lg5•lg20+(V2016)4-0.027飞X

c2

=(匈2)2+IgS•(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]-3x9

1

=(ig2+匈5)2o+1+009x9

=1+1+100

=102.

3(**)求值芦8+。25-国2%5

IgVlOlgO.l

【答案】-4

【解析】2g8+Lgl25-lg2-lg53lg2+3lg5—lg2—lg5_2(2g2+，g5)

=—4

Igy/lOlgO.l加10・媪

出★★)求值:2‘。竭—倨尸+国系+(&_1严=.

【答案】-3

【解析】2l0<

_2

13-2+(V2-1)°

4~(I)

19

4~4~2+1

故答案为：-3.

h

5(**)若a>b>1且仞(1+-)=Igb,则—1)+lg(b—1)的值.

【答案】0

【解析】•­ea>1,b>1且团(1+，)=Igb,

1+-=b,a+b=ab,

a

lg(a-1)+lg(b—1)=Ig^a—1)(/?-1)]=lg{ab-a—b+1)=Igl=0.

故选：C.

6(**书已知2。=7b=TH,-+—=则7H=.

a2b2

【答案】28

ab

【解析】2—7-m,a—log2m,b-log7m,

'3+/=1"。加2+|xlogm7=logm(2V7)=

4m—2V7,解得m=28.

故答案为28.

7(★★★)已知若logR+logbCt=亍ab=ba,则ab=.

【答案】8

【解析】logab+logba=1；

2

1_1+«0。心)

a

一logba°3b-logba

1、

2

•••2(J,ogba)—5logba+2=0；解得=讶或/。为a=2；

2

'''a>b>1；・•・logba>1；.**logba=2；:.a=b；

又0b=ba；

b2b-bb2；b2=2b；b-2或b=0(舍去)；・•・a=4；

•••ab=8.

故答案为：8.

【题型二】对数函数的图象及应用

［典题1］函数y=loga(|x|+1)(a>1)的图象大致是0

log(x+1),%>0

y=ioga(kl+1)=a

gga(-X+1),%VO'

因由对数函数的性质易得选B.

【点拨】涉及对数函数型的函数y=/(%),往往需要得到其图象，方法有

①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；

②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.

bc

【典题2】设a,b,c均为正数，且2。=log工a,(^)=logib,(h=log2c,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【解析】分别作出四个函数y=G)*=log"，y=2X,y=log2%的图象，观察它们的交点情况.由图象

知a<b<c.故选人.

【点拨】

①2a=/。羽。中。是函数y=2%与y=log2%的交点横坐标;

22

②函数y=2%与y=log?%互为反函数，图象关于直线y=%对称.函数y=6尸与y=log工工也是.

22

【典题3】已知标"；：3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d),且a<b<c<d,则abed的

取值范围是.

思考痕迹已知条件/(a)=f(b)=/(c)=/(d),相当于y=f(%)与一直线y=k相交于四个点，四点的横坐标

是a、b、c、d,所以想到数形结合.

【解析】先画出小)=型空；\'。；「：：3的图象，如图

a,b,c,d互不相同，不妨设a<b<c<d.

且/(a)=f(b)=/(c)=/(d),3<c<4.

由图可知|log3al=|log3b|,c、d关于％=5对称,

•••—log3a=log3b,c+d=10,即ab=1,c+d=10,

故abed=c(10—c)=—(c—5)2+25,由图象可知3<c<4,

由二次函数的知识可知21<-c2+12c<24,

•••abed的范围为(21,24).

【点拨】遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如％=3处.

巩固练习

【解析】Iga+Igb=0,ab=1则b=:

从而9。)=—logdx=logax,

・•・函数与函数或%)的单调性是在定义域内同增同减

结合选项可知选8,

故答案为B

c

20)已知图中曲线Q(2>3C分别是函数y=log%%,y=loga2x,y=loga3x,y=log4式的图象,则

,a2,a3,%的大小关系是0

A.(Z4<。3<。2VB.。3<。4<V。2

C.Cl2<<。3<。4D.。3<。4V。2<

【答案】B

【解析】选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用logaa=l结合图象求解.

3(**)已知函数/(X)=|历久若0<a<6,且/'(£!)=/(b),则a+5b的取值范围是0

A.(2^5>+co)B.[2^5,+00)C.(6,+8)£).[6,+00)

【答案】C

【解析】函数=\lnx\f(x)=晨:泻;；<1)，

又因为0<a<b,故0<a<l,b>1,

又知道/(a)=/(b),

—Ina=Inb,BP-=b,

a

二设力=a+5b=a+-,

a

•・・由对勾函数的性质可知"在(0,1)上单调递减，.・.t>1+5=6,即a+5b>6,

故选：C.

4(★★)已知函数/(%)=Iloga1%-1||(a>0,a1),若%1V%2V%3<%4,%1%2%3%4W0且/(%1)=

/(%2)=f(久3)=/(%4)，则%1+%2+%3+%4=0

A.2B.4C.8D.随a值变化

【答案】B

【解析】函数/(%)=|log。1||的图象如下图所示：

有图可知，函数/(%)=|log。1||的图象关于直线久=1对称，

又)/V右<%3<%4，且/(%1)=/(%2)=/(%3)=/(%4)，

则％1+外+%3+%4=4.

故选：B

已知函数/(%)=Ilog2(%-1)9(%)=0，则图象交于,丫1),8(%2,、2)两点，则0

xx

A.%1%2VlB.+%2>5c.%1+%2>X1X2D.+%2Vl2

【答案】C

【解析】不妨设/V%2,

作出/(%)和g(%)的图象，由图象知%i<2,%2>2,

贝夙久力=11唯(巧-1)I=-log2(^i-l),/(x2)=|log2(x2-1)I=10g2(x2-1)，

贝叶(刀2)一=bg2(%2-1)+bg2(Xl—1)=bg2(>l-1)(刀2-D=(［之一(}%<。，

即(％1—1)(%2T)<1，即%1%2—(%1+-2)+1<1，即%1+%2>X1^X29

故选：C.

(\log2x\,0<%<8

々★★★)已知函数/(%)=_1.o，若Q,b，。互不相等，且/(。)=f(b)=/(c),贝必儿的取值

I-XI5)Xo

14

范围是.

【答案】(8,20)

【解析】根据己知画出函数图象：

不妨设a<b<c,

"/(a)=f(b)=/(c)>•••Tog2a=Iog2b=-1c+5,

二log2(ab)=0,0<-：c+5<3,

解得ab=1,8<c<20,

8<abc<20.

故答案为(8,20).

7(★★★)已知函数/'(x)=|log2xI，g(x)=|x,若对任意xe［a,+8),总存在两个而Gg，甸，使得9。),

f(Xo)=1,则实数a的取值范围是.

【答案】［2,+8)

【解析】f⑸)=急=%%6口+8),•••/(x0)&；，

作出f(x)在漳，4］上的函数图象如图：

•；对任意xe［a,+8),总存在两个而e停,4］,使得g(x)•/(xo)=1,

0<-<1,解得a>2.

a

故答案为［2,+8).

【题型三】对数函数的性质及应用

角度1比较对数式的大小

02

【典题1】已知a=log27,b=log38,c=O.3,则〃,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB,a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

02

【解析】由题意，可知a=log27>log24=2,c=O.3<0.3°=1,

v1<log38<log39=2，l<b<2,

c<b<a.

故选

【典题2】设a=log23=log34,则a,c的大小关系为0

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

士44-

【解析】a=log23>log22^=-=b,b=-=log33^>log34=c,

•••a,b,c的大小关系为c<b<a.

故选D.

02

【典题3】已知a=log52,b=log050.2,c=O.5,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

0,2

【解析】由题意，可知a=log52<1,c=O.5<1,

b=log050-2=logJ-=log25>log24=2,（初步估值）

25

・•.b最大，a、c都小于1,（仇c还比较不出来，进一步估值）

025

a=log52=——<c=O.5=（-）5=/1>i

bblog2s2\22

a<c,（引入第三数批较）

a<c<b,故选：A.

【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有

①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；

②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0,1比较大小；

③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.

角度2求解对数型不等式和方程

【典题1】方程log2（x-1）=2-log2（x+1）的解集为.

【解析】log2（x-1）=2-log2（x+1）,

4

Iog2（x-1）=［。出市万，

x-1=久解得x=+V5.

检验得X=不符合，（注意真数的范围）

•••方程Iog2(x-1)=2-log2(x+1)的解集为｛遥｝.

故答案为｛遮｝.

【典题2】不等式10g2(X2-1)<3的解集为.

22

【解析】10g2(x-1)<3«10g2(x-1)<log28

0<%2-1<8(误解-1<8)

解得一3<x<-1或1<%<3.

【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数1。9鹏中真数x>0”这点.

角度3对数型函数综合问题

［典题1］函数y=logi(x2-6x+17)的值域是.

2

【解析】t=%2—6%4-17=(x—3)2+8>8

・,・内层函数的值域［8,+oo),

而y=/og琏在［8,+8)是减函数,故y工log工8=-3

22

.・・函数"，。史(第2一6%+17)的值域是(一8,-3］.

2

【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.

【典题2］已知函数/(%)是R上的奇函数，且满足/(x+2)=—/⑶，当xe(0,1］时，/(%)=2X-1,则方

程/(%)=log7\x-2|解的个数是.

【解析】函数/'(X)是R上的奇函数，/(0)=0,

由/(久+2)=-/(%),可得""+2)=/(-x),/(尤)的有条对称轴x=1,

由f(x+2)=-/(乃，可得f(x+4)=f(x),.•./(%)的周期7=4.

(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下

①画/'(£)=2X-1,%6(0,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得

④由周期7=4可得

作出在同一坐标系中画y=/(X)和g(x)=log7\x-2|图象,

注意到g(9)=1,9(-7)>1,(注意一些临界的位置)

从图象不难看出，其交点个数7个.

【点拨】

①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；

②/(%+a)=/(%+b)=>/(%)的周期T=a-b,

/(x+a)=f^b-x)=>/(%)的对称轴％=等

/(%+a)=-/(%)=/(%)的周期T=2a

/(%+a)=六=>/(久)的周期T=2a.

【典题3】设a>0,b>0,则下列叙述正确的是0

A.若仇a-2b>Inb—2a,则a>bB.若"a-2b>Inb—2a,则a<b

C.若仇a—2a>必人—2b,则若仇a-2a>"b—26,则a<b

【解析】方法1构造函数法

y=仇%与y=2%均为增函数，故/(%)=仇%+2%在(0,+8)上为增函数，

故f(a)>f(b)=a>b>0,

即仇a+2a>Inb+2Z?<=>a>6>0,即仇a—2b>Inb-2a<=>a>6>0,

故选

方法2取特殊值排除法

对于4、B,

令a=1,b=-,代入仇a—2b>Inb—2Q得—马>—3显然成立，

ee

而a>b,此时可排除选项B；

对于选项C、D,

令Q=1,b=e,代入伍a—2a>Inb—2b得—2>1—2e显然成立，而a<b可排除选项C；

令a=1,b=j代入伍a—2a>Inb—2b得—2>—2—彳显然成立，而a>匕可排除选项。；

ezez

故选力.

【点拨】

①方法1通过构造函数=Inx+2x,利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，

可以先熟悉先！

②方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除

一个是一个.

【典题4】已知函数/(%)=log32.

(1)求函数f(X)的定义域；

(2)判断函数/(久)的奇偶性;

⑶当久e[-;勺时，函数g(x)=/(x),求函数gO)的值域.

【解析】(1)要使函数/(x)=log3*的解析式有意义，

自变量x须满足导＞0,解得xe(-1,1),

故函数f(x)的定义域为(-1,1);

(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，

且/(—X)=log—=~log£-=-fix),

31—X3±TX

故函数/(%)为奇函数；

⑶当xe[—|,号时，令“(无)=芸=£一1(分离常数法).

(注函数图象如右图，由y=2向左向下平移一个单位得到的)：\

故心)=三在[一;刍上为减函数,则a(x)e[；3],：

又••・g(X)=/(%)=Iog3n为增函数，二

故g(x)€[-1,1],

故函数g(x)的值域为[-1,1].

【点拨】

①遇到形如八为=翳*^的函数(比如y=詈，y=W，y=窘等)均可采取“分离常数法”，易求函数

的单调性，对称性，最值等性质；

②求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义

域优先考虑.

【典题5】设。是函数y=/(%)定义域的一个子集，若存在%()£。，使得/(%())=-%()成立，

则称%o是f(%)的一个“准不动点”，也称/(%)在区间。上存在准不动点.

已知/(%)=logi^+a•2%—1),xE[0,1].

2

(1)若a=1,求函数/(%)的准不动点；

(2)若函数/(%)在区间[0,1]上存在准不动点，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，可得f(%)=Log式4%+2%-1)=-%,xe[0,1],

可得4工+2,-1=2L即48=1,x=0.

当a=l,函数/'CO的准不动点为X()=0.

(2)方法1由定义可得方程】。生(4才+a.2,—1)=一x在％£［0,1］上有解，

2

即方程4》+a-2x-l=2》在%E［0,1］上有解，且於+a-2x-l>0(*)

令2》=3x6［0,1］,则t6［1,2］,

那问题(*)转化为方程产+3-1"-1=0在［1,2］有解,且”+研一1>0,

令g(t)=［2+(a-l)t一1,开口向上且g(0)<0,

所以y=g(t)在［1,2］上与X轴只有一个交点，

则只需要g(l)g(2)W0,解得—

(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)

要使产+at-1>0(1<t<2)恒成立.

其对称轴％=一会在1W1W2上是递增的，当t=l时最小值，可得a>0.

综上可得实数a的取值范围是(0,1］.

方法2

与方法1同样得到方程/+(a-l)t-1=0在［1,2］有解，且严+就一1>0,

即a=1—t+］在te［1,2］上有解，且a>工—t在tG［1,2］上恒成立(分禺参数法)

由=+T在te［l,2］上显然是减函数，其值域为［一］,1］,则一?WaWl；

由d(t)=}-t在te［1,2］上显然是减函数，最大值为d(l)=0,则a>0,

综上可得实数a的取值范围是(0,1］.

【点拨】

①在第二问中不要漏了4,+a•2尢-1>0,求解过程中谨记等价转化，做到严谨；

②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是

采取分离参数法转而求最值，

巩固练习

0,2

1(★)若。=log2^-.5,b=log20.l,c=2,则0

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

0,2

【解析】20g2。♦1<，。比1,5<log22=1,2>2°=1；

•*.b<a<c.

故选：D.

2(★★)设a=log16,b—logi12,c=logilS,贝!!()

245

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

L】a=log工6=-1-log??=-1-j——>b=log工12=-1-log^3=-1--——,

c=20gzi5=-1-log$3=-1---------；

5，。。35

•・,0<log2<log4<log5；••・—>」一>」一；

633833533

log322003420035'

a<b<c.

故选：A.

3"支)f(x)是定义在R上的函数,且/(2-％)=/(%),当％之1时,/(%)=log2x,则有0

1111

4/(3)<-2)<f£)B./(-)</(2)</(-)

1111

C./(2)</(3)<-2)。・/⑵</(2)</(3)

【答案】C

【解析】x>1时/析)=log2x,/(%)在［L+8)上单调递增，

-%)=