备考2024高考一轮总复习数学人教a版第一章§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(×)(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(×)教材改编题1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于()A．RB．{x|x>－1}C．{x|x<3或x>9}D．{x|x<－1或x>3}答案C解析A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∪B＝{x|x<3或x>9}．2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，则a＋b＝________.答案－14解析依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－4,0)解析依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋4a<0，))∴－4<a<0.题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参的不等式例1(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,2)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<1))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2)或x>1))))答案C解析－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>eq\f(3,2).(2)(多选)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x||x－1|≤2，x∈R))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，则()A．M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤3))B．N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤4))C．M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤4))D．M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x≤3))答案ACD解析由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，故A正确，B错误；M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；而M∩N＝{x|－1<x≤3}，故D正确．命题点2含参的不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.所以当a>1时，解得eq\f(1,a)<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<eq\f(1,a).综上，当0<a<1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).延伸探究在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．解当a>0时，同例2，当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，当a<0时，eq\f(1,a)<1，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x>1或x<eq\f(1,a).综上，当0<a<1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a>1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，当a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1)))).教师备选解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.解由题意知，Δ＝a2－4，①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝eq\f(a±\r(a2－4),2)，∴原不等式的解为eq\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤eq\f(a＋\r(a2－4),2).②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③当Δ＝a2－4<0，即－2<a<2时，原不等式的解集为∅.综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))))；当a＝2时，原不等式的解集为{1}；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2时，原不等式的解集为∅.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是()A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))D．a＋b＋c>0答案AC解析关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.))bx＋c>0⇔－ax－12a>0，由于a>0，所以x<－12，所以不等式bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－12))，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a，))所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0⇔12x2－x－1>0⇔x<－eq\f(1,4)或x>eq\f(1,3)，所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))，故C正确；对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正确．(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.解①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0，即x>1；当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1,1－eq\f(1,a).②当a>0时，1－eq\f(1,a)<1，∴原不等式的解为x>1或x<1－eq\f(1,a).③当a<0时，1－eq\f(1,a)>1，∴原不等式的解为1<x<1－eq\f(1,a).综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当a>0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<1－\f(1,a)))))；当a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<1－\f(1,a))))).题型二一元二次不等式恒(能)成立问题命题点1在R上恒成立问题例3(2022·漳州模拟)对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是()A．－2<a≤2 B．－2≤a≤2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2答案A解析不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ<0，))即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2，,4a－22＋16a－2<0，))解得－2<a<2.综上可得，a的取值范围为(－2,2]．命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7)))解析要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).方法二因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<eq\f(6,x2－x＋1)在x∈[1,3]上恒成立．令y＝eq\f(6,x2－x＋1)，因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).命题点3给定参数范围的恒成立问题例5(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))∴x<－1或x>3.教师备选函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．答案[－7,2](－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)解析若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则有①Δ≤0或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0.))或③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6).∴实数x的取值范围是(－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)．思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2(1)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}答案A解析因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，4] B．(－∞，－5)C．(－∞，－5] D．(－5，－4)答案C解析令f(x)＝x2＋mx＋4，∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤－5.课时精练1．不等式9－12x≤－4x2的解集为()A．R B．∅C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)))))答案C解析原不等式可化为4x2－12x＋9≤0，即(2x－3)2≤0，∴2x－3＝0，∴x＝eq\f(3,2)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2))))).2．(2022·揭阳质检)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件答案B解析∵p：|2x－3|<1，则－1<2x－3<1，可得p：1<x<2，又∵q：x(x－3)<0，由x(x－3)<0，可得q：0<x<3，可得p是q的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，则m的取值范围是()A．m<－1 B．m≥eq\f(2\r(3),3)C．m≤－eq\f(2\r(3),3) D．m≥eq\f(2\r(3),3)或m≤－eq\f(2\r(3),3)答案B解析∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，只需m＋1>0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，解得m≥eq\f(2\r(3),3).综上，实数m的取值范围是m≥eq\f(2\r(3),3).4．(2022·合肥模拟)不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是()A．－5B．－eq\f(13,3)C．－4D．－3答案C解析∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))恒成立，又x∈[1,3]时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤－4，∴a≥－4.故a的最小值为－4.5．(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是()A．(－2，－1) B．(－3，－6)C．(2,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))答案AD解析不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为eq\f(1,2)和2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))即a＝2b<0，故选AD.6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是()A．a2＝4bB．a2＋eq\f(1,b)≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4答案ABD解析由题意，知Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；对于B，a2＋eq\f(1,b)＝a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)时等号成立，所以B正确；对于C，由根与系数的关系，知x1x2＝－b＝－eq\f(a2,4)<0，所以C错误；对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝eq\f(a2,4)－c，则|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－c)))＝2eq\r(c)＝4，解得c＝4，所以D正确．7．不等式eq\f(3,x－1)>1的解集为________．答案(1,4)解析∵eq\f(3,x－1)>1，∴eq\f(3,x－1)－1>0，即eq\f(4－x,x－1)>0，即1<x<4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．答案(－∞，0)解析kx2－kx＋1＝0有一正一负根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4k>0，,\f(1,k)<0，))解得k<0.9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．解(1)根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－4＝a，,2×－4＝－b，))解得a＝－2，b＝8.(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．解(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是()A．0B．－1C．－2D．－3答案CD解析因为f(x)＝4ax2＋4x－1，所以f(0)＝－1<0成立．当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，所以4a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(4,x)))min，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，eq\f(1,x)∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以eq\f(1,x2)－eq\f(4,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2))2－4≥－4，当且仅当x＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以4a<－4，解得a<－1.12．(2022·南京质检)函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．答案3解析依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋m＋4＝2，,mm＋4＝－c，))解得m＝－1，c＝3.13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．答案[－4,3]解析原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.14．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))解析对于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8>0，∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f(x)＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，即5a＋23>0，解得a>－eq\f(23,5).故a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).15．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<a≤2))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a≤－\f(1,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a≤－\f(1,2)或\f(3,2)≤a<2))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a