高中数学第八章 单元能力测试

高中数学第八章单元能力测试

第八章

单元能力测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题中只有一项符合题目要

求）

2^.

如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、13、C均为棱的中点，D是

顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（）23A.5B.5

105C.5

F

5

答案C

解析

把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，ZEGF为AB和CD所成的角,

F为正方体一棱的中点.

5・・・EF=GF=2,EG2.

10.*.cosZEGF=5.

2.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为兀，则球的体积为（）

8112n32nA.3B.3c.2nD.3答案B

解析S圆=nr2=l,r=l,而截面圆圆心与球心的距离d=l,・,•球的半径

482元为R=r+d=2,，V=33=3B.

3.

H----2---3

ZEWSI

l冬I

已知某个几何体的二视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得

这个几何体的体积是（）

12A.3cm3B.3cm3

48C.33D.3cm3

答案

上

c

解析由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示,其中AC=AD,平面

ACD，平面BCD,E为CD的中点，则AEL平面BCD,且BE=AE=2,DC=2,

111143.,.V=3XBEXDCXAE=2X2X2=2323cm,故选C.

4.已知m、n是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，给出下列命题：①若

a±P,m//a,则m±3；②若m±a,n_LB,且m±n,则aJ_B；③若m±P,

m//a,贝ljaJ.B；④若m//a,n//6,且m//n,则a〃B.

其中真命题的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

答案B

解析若a_LB,m〃a,则m与B可能相交、平行或m在平面B内，故①错；

m//a,n〃B,m〃n,则a与B可能平行，可能相交，故④错.故选B.

5.（2010•湖北卷）用a,b,c表示三条不同的直线，Y表示平面，给出下列命题：

①若a〃b,b〃c,贝lja〃c；②若a_Lb,b±c,则a_Lc；

③若a〃丫，b〃丫，贝ija〃b；④若a,Y,b±Y,贝ija〃b.

其中真命题的序号是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

答案C

解析对于①，由公理”平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB1AD,CD1AD,此时AB平行于CD,因此②不正确.对于

③，如当平面a〃丫时，平面a内的任意两条直线a,b都平行于平面Y,显然此时直

线a,b可能相交，因此③不正确.对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知

其正确性.综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.

6.

2如右图所示，正四棱锥P—ABCD的底面积为3,体积为2,E为侧棱PC

的中点，则PA与BE所成的角为（）JtJTA.6B.4JtJtC.3D.2

答案C

解析连结AC、BD交于点0,连结0E,易得OE〃PA.

...所求角为NBEO.

612由所给条件易得0B=2,OE=2PA=2,BE2,

l.\cosZOEB=2,.,.Z0EB=60°

,选c.

7.

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面

BB1D1D所成角的正弦值为（）

65A.3B.5

1510C.55

答案D

解析连结A1C1,交B1D1于0,依题意得，A1C1XB1D1,BB11A1C1,又B1D1CBB1=

Bl,BA1C1L平面BB1D1D.连结B0,则NC1B0为所求角,又0C1

C02102,BC15,.,.sinClB0=BC5D.15

8.圆台上、下底面面积分别是门、4n,侧面积是6m,这个圆台的体积是（）

237373A.3"B.23"C.6JiD.3

答案D解析上底半径r=l,下底半径R=2.•••$侧=6”,设母线长为1,贝ijn（1+

132）•1=6it,.,.1=2,.•.高h=l—（R-r）3,，V=3页•3（1+1X2+2X2）=3页.故

选D.

p

9.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PDJ_底面ABCD,PD=AD

=1,设点C到平面PAB的距离为dl,点B到平面PAC的距离为d2,则有（）

A.Kdl<d2B.dl<d2<l

C.dl<Kd2D.d2<dl<l

答案

p

D

解析〃平面PAB.Z.C到平面PAB的距离等于D到平面PAB的距离.

2过D作DEJ_PA,则DEJ_平面PAB,dl=DE=2B与D到平面PAC的距离相等.

设ACCBD=O,则平面PDOL平面PAC,，d2等于D到P0的距离，可计

3算d2=3,.-.d2<dl<l.

-•一=0,AD-•-=0,10.半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足ABACAC

一•一=(),则△ABC,AACD,Z^ADB面积之和SABADZ\ABC+SZ\ACD+SZ\ADB的最大值

为()

A.8B.16C.32D.64

答案C

解析设AB=a,AC=b,AD=c,

1则S4ABC+SaACD+S4ADB=2ab+ac+bc)2222221a+ba+cb+cW222212=2(a+

b2+c2)11=2X4R2=2X4X42=32,

当且仅当a=b=c时取.

11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都

垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=17,则该二面角的大小为()

A.150°B.45°C.60°D.120°

答案C

f,f=0,ABf,f=0,CDf=CAf+ABf+BD->.]CDf2—|CAf解析由条件，

知CAABBD

一|2+|BDf|2+2CA-•一+2AB-•一+2CA-•一=62+42+82+2X-,-〉|2+

ABABBDBD6X8cos(CABD1-*-*-*-*=(217),.,.cos(CA,BD)2,(CA,BD)=120",

.,.二面角的大小为60°,

故选C.

12.已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1,点P在线段BD1上，当NAPC最大时，三棱

锥P-ABC的体积为()

11UA.24B.18C.9D.12

2

答案B

解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角

-**fAPCPlf坐标系，设BP=A.BD1,可得P(A,X,入)，再由cosNAPC=ff入

=3|AP||CP|

11113寸，/APC最大，故VP-ABC=3X1X2318二、填空题(本大题共4小题，每小题5

分，共20分，把答案填在题中横线上

13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于

答案6+23

解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1

32的直三棱柱.则此三棱柱的侧面积为2X1X3=6,上、下底面面积都为423,

所以此三棱柱的表面积为6+

Di

23.

14.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,ZBAD

=60°,AA1=AB=1,则截面ACC1A1的面积为；异面直线AD与D1C所成角的

余弦值为.2答案34解析截面ACC1A1为矩形.

AA1=1,AC3,其面积S=3；

BD=1,BD12,在ABCDl中，BC=1,CD12,2cosNBCDl=4.

则异面直线AD与D1C所成角的余弦值为4.

15.

如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、

PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:

①直线BE与直线CF异面;

②直线BF与直线AF异面

③直线EF〃平面PBC；

④平面BCE，平面PAD.

其中正确的有一个.

答案2

解析将几何体展开拼成几何体（如图），因为E、F分别为PA、PD的中点,

所以EF〃AD〃BC,即直线BE与CF共面，①错；因为Bq平面PAD,Ee平面PAD,

E阵AF,所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF〃AD〃BC,EF4平面PBC,BCU平面

PBC,所以EF〃平面PBC,③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错.

16.直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,ZBAC=

120°,则此球的表面积等于.

答案20n

解析设球心为0,球半径为R,AABC的外心是M,则0在底面ABC上

1的射影是点M,在aABC中，AB=AC=2,NBAC=120°,ZABC=2-120°）

ACAA=30°,AM=2sin30°=2,因此，R2=22+2）2=5,此球的表面积等于4“R2=

20”.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）在下面三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体

的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：

cm).

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求面出该多面体的俯视图;

(2)按照给,'11的尺寸，求该多面体的体积；

(3)在所给直观图中连结BC',证明：BCZ〃平面EFG

俯视图

解析(i)如图.

(2)所求多面体的体积

112842X2V=V长方体一V正三棱锥=4X4X6-3X2X2=33).

（3）证明：如图，在长方体ABCD-A'B'CD'中，连结AD',贝ijAD'〃BC'.

因为E、G分别为AA'、A'D’的中点，

所以AD'//EG,从而EG〃BC，.

又BC'。平面EFG,所以BC'〃平面EFG.

18.（本小题满分12分）（2010•新课标全国，文

)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB〃CD,AC±BD,垂足

为为PH是四棱锥的高.

(1)证明:平面PAC_L平面PBD；

(2)若AB=6,ZAPB=ZADB=60°,求四棱锥P—ABCD的体积.解析(1)因为PH是四

棱锥P-ABCD的高，

所以ACLPH.又ACLBD,PH,BD都在平面PBD内，且PHCBD=H,所以AC,平面

PBD,

故平面PAC_L平面PBD.

(2)因为ABCD为等腰梯形，AB〃CD,AC±BD,AB=6,

所以HA=HB=3.

因为NAPB=NADB=60°,

所以PA=PB6,HD=HC=1.

可得PII=3,

1等腰梯形ABCD的面积为S=2XBD=2+3.

3+231所以四棱锥的体积为V=3(2+3=3n19.(本小题满分12分)在几何体ABCDE

中，NBAC=2,DCL平面ABC,

EBJ_平面ABC,AB=AC

E

=BE=2,CD=1.

(1)设平面ABE与平面ACD的交线为直线1,求证：1〃平面BCDE；

⑵设F是BC的中点，求证：平面AFD，平面AFE；

(3)求几何体ABCDE的体积.

解析(DVCDliP®ABC,BE_L平面ABC,

；.CD〃BE.：CD(I平面ABE,

BEU平面ABE,，CD〃平面ABE.

又1=平面ACDC平面ABE,：.CD//1.

又14平面BCDE,CDU平面BCDE,

.♦.1〃平面BCDE.

(2)在4DFE中,FD=3,FE=6,DE=3.

.\FD1FE.

•.•CDJL平面ABC,ACDIAF,

又BCLAF,CDnBC=C,...AF，平面BCDE,

AAFIFD,VEFAAF=F,

.•.FD_L平面AFE.

又FDU平面AFD,r.平面AFD_L平面AFE.

⑶；DCL平面ABC,BE,平面ABC,ADC^BE

JT：AB=AC=2,且NBAC=2

ABC=2

IASBEDC=2(DC+BE)XBC=32

由(2)知AF_L平面BCED11.\VE-BCDE=3BEDC•AF=332=

2.

20.(本小题满分12分)

如图,在六面体ABCDEFG中,平面ABC〃平面DEFG,ADJ_平面DEFG,ED1DG,EF/7DG.

且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.

(1)求证:BF〃平面ACGD；

⑵求二面角D-CG-F的余弦值.

解析方法-(1)设DG的中点为M,连接AM,FM.

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形.

；.MF〃DE,且MF=DE.•.•平面ABC〃平面DEFG,，AB〃DE,VAB=DE.

；.MF〃AB,且MF=AB,四边形ABFM是平行四边形，

又B因平面ACGD,AMU平面ACGD,

故BF〃平面ACGD.

(2)由已知ADL平面DEFG,...DELAD.又DELDG,平面ADGC.•；MF〃DE,/.MF±

平面ADGC.

在平面ADGC中，过M作MNLGC,垂足为N,连接NF,则NMNF为所求二面角的平面

角.

连接CM.\•平面ABC〃平面DEFG,AACDM,又AC=DM=1,所以四边形ACMD为平行四

边形，；.CM〃AD,且CM=AD=2.

平面DEFG,，CMJ_平面DEFG,ACMIDG

在RtZ\CMG中，VCM=2,MG=1,

CM•MG225・・・MNCG=555在RtZXFMN中，VMF=2,MN=5,

430AFN4+55.

25

A

5MN6.\cosZMNF=FN2306

5

6・・・二面角D-CG-F的余弦值为6.

方法二由题意可得，AD,DE,DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0).--(1)BF=

(2,1,0)—⑵0,2)=(0,1,一2),CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),ABF-,所以

BF/7CG.=CG

又BFQ平面ACGD,故BF〃平面ACGD.

一=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0).(2)FG

f=y—2z=0,CGnl♦设平面BCGF的法向量为nl=(x,y,z),则-FG=—

2x+y=0.nl,

令y=2,则nl=(1,2,1).

则平面ADGC的法向量n2=i=(l,0,0).

n,n/.cos〈nl,n2)=|n,1n2

1X1=1+2+11+0+

R

06=66由于所求的二面角为锐二面角，.•.二面角D-CG-F的余弦值为6.21.（本小题满

分12分）

（2010•重庆卷，理）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，底

面ABCD,PA=AB

BC

=6,点E是棱PB的中点.

(1)求直线AD与平面PBC的距离；

(2)若AD=3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

解析解法一：(1)如图，在矩形ABCD中，AD〃BC,从而AD〃平面PBC,

故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.

因PA_L底面ABCD,故PALAB,由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB

的中点，故AEJ_PB.又在矩形ABCD中，BC1AB,而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三

垂线定理得BCLPB,从而BCL平面PAB,故BCLAE,从而AE,平面PBC,故AE之长即为

直线AD与平面PBC的距离.

在RtAPAB中，PA=AB=6,11所以AE=2=2PA+AB=3.

(2)过点D作DFJ_CE,交CE于F,过点F作FG_LCE,交AC于G,则/DFG为所求的二面

角的平面角.由⑴知BCJL平面PAB,又AD〃BC,得ADJ_平面PAB,故AD_LAE,从而DE=

AE+AD=6.

在RtACBE中，CEBE+BC6.由CD=6,所以△CDE为等边三角形，故F点为CE的中点，

页2且DF=CD・sin3=2.

13因为AE1_平面PBC,故AEJ_CE,又FGLCE,知FG统2AE,从而FG=2且G点为AC

的中点.

连接DG,则在RtAADC中，

113

ZA

BC

DG=2=AD+CD=2.

DF2+FG2-DG26所以cos/DFG=2•DF•FG3

解法二：(D如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、

z轴正半轴,建立空间直角坐标系A—xyz.66设D(0,a,0)则B(6,0,0),C6,a,0),

P(0,0,6),E20,2.

66f-f因此AE=20,2,BC=(0,a,0),PC(6,a,一6),

f--一则AE•BC=0,AE•PC=0,所以AE_L平面PBC.

又由AD〃BC知AD〃平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到

f平面PBC的距离,即为|AE|3.

f⑵因为AD|=3,则D(0,3,0),C(6,3,0).

fff设平面AEC的法向量nl=(xl,yl,zl),则nl•AC=0,nl•AE=0,又AE=6,

6xl+3yl=0,66-3,0),AE=(2,02),故66+2121=0,

可取xl=-2,则nl=(2,2,2).

f—设平面DEC的法向量n2=(x2,y2,z2),则n2•DC=0,n2•DE=0.所以yl=—

2x1,zl=-xl,66-f又DC=6,0,0),DE=(2,—3,2),

x2=0,

故66x-3y+2222z2=0.

所以x2=0,z2=2y2.可取y2=l,则n2=(0,1,2).

n•n6故cos<nl,

n2〉=|n•31|n2

6所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为3.

22.(本小题满分12分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB

上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2.

(1)求证：D1E1A1D；

4A

(2)求AB的长度;

n（3）在线段AB上是否存在点E