2023-2024学年江西省鹰潭市高二下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省鹰潭市高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xyA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.在x−13x8A.28 B.−28 C.30 D.3603.抛物线y2=9x在点(1,3)处的切线的斜率为(

)A.−1 B.−32 C.324.某校组队参加辩论赛，从7名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为(

)A.180 B.120 C.90 D.3605.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)=g(x)·ax(a>0，a≠1)，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(1)g(1)+f(−1)A.5 B.2 C.25 D.6.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，lgan+lgA.511 B.61 C.93 D.1257.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=2AA1=4，A.83 B.7 C.4 8.若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mA.12 B.e24 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强

B.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X≥1)=p，则P(−1<X<0)=1−2p

C.若随机事件A，B满足：P(A|B)+P(A)=1，则A，B相互独立

D.随机变量X～B(4,p)，若方差D(X)=10.已知数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的公差为d，且A.若d=12，则2Sn=(n+2)an B.若d=12，则{an+1an11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限内，点P在C的准线上，则下列判断正确的是(

)A.若PA与C相切，则PB也与C相切

B.∠APB≤π2

C.若点P在x轴上，则PA⋅PB为定值．

D.若点P在x轴上，且满足|PA|=4|PB|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.定义集合运算：A⊗B={z|z=xy(x−y),x∈A,y∈B}，若集合A={0,3}，B={−1,1}，则集合A⊗B中所有元素之和为________13.设点A(x,y)为圆x2+(y−2)2=114.双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}的首项(1)证明：{a(2)求数列{anlog2(a16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax，g(x)=2ax，a≠0．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若a>0且f(x)≤g(x)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD/​/BC，AD=2BC=2，PA=AB，点E在PB上，且PE=2EB．

(1)证明：PD/​/平面AEC;(2)当二面角E−AC−B的余弦值为63时，求点P到直线CD18.(本小题17分)学校师生参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动．(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望EX(3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望19.(本小题17分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，F是椭圆E的右焦点．过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点(点M在x轴的上方)，直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是|OP||OQ|否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.D

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.BCD

11.AB

12.−6

13.−∞,−14.715.解：(1)证明：由an+1−2a而a1故数列{an−2}是以2(2)由(1)知an−2=2n，即an=2n+2，

所以anlog2(an−2) = n⋅2n+2n．

16.解：(1)根据题意，

f′(x)=1x当a<0时，由于x>0，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上递增；

当

a>0，0<x<1a时，f′(x)>0；x>1a时，

f′(x)<0，

f(x)在(0,1a)上递增，在(1a,+∞)递减，

综上，当

a<0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；

(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx−ax−2ax，

只要使ℎ(x)≤0恒成立，也只要使

ℎ(x)ℎ′(x)=1x由于

a>0，x>0，所以

ax+1>0恒成立，

当

0<x<2a时，ℎ′(x)>0；当x>2a时，ℎ′(x)<0；

所以x=2解得a≥2e3

，所以a的最小值为

17.解：(1)证明：连结BD，交AC于点F，

因为AD/​/BC，所以∠FBC=∠FDA，

又∠BFC=∠DFA，

所以△BFC∽△DFA，

所以BFFD=BCDA=12，又BEEP=12，

所以BFFD=BEEP，

所以△BEF∽△BPD

所以PD//EF，

因为EF⊂面AEC，PD⊄面AEC，

所以PD/​/平面AEC．

(2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，

又AD⊥AB，所以AB，AD，AP两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设P(0,0,m)，m>0，

则B(m,0,0)，C(m,1,0)，E(2m3,0,m3)

则AC=(m,1,0)，AE=(2m3,0,m3)，

设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=0n⋅AE=0，即mx+y=02m3x+m3z=018.解：(1)设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动为事件B，

则P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22X012P281所以E(X)=0×25+1×815+2×115=23；

(3)设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(19.解：(1)由题意，c=−1b2=32a2=b2+c2⇒a2=4b2=3，

所以椭圆方程为x24+y23=1；

(2)

是定值，理由如下：

由题意可得A(−2,0)，B(2,0)，F(1,0)，

当MN⊥x轴时，直线l的方程为x=1，易知M(1