2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,1)，b=(t,−1)，若a/​/b，则A.2 B.12 C.−2 D.2.设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若α⊥β，m⊥α，则m/​/β B.若α⊥β，m/​/α，则m⊥β

C.若α/​/β，m/​/α，则m/​/β D.若α/​/β，m⊥α，则m⊥β3.复数i20241+i=A.−12−12i B.−4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角β为60∘，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角α为30∘，根据以上数据可得古塔AB的高为(

)

A.103 B.20 C.10 5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的40%分位数为2.5，则x可以是(

)A.2 B.3 C.4 D.56.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且3(a2+c2−A.(38,34) 7.已知样本数据x1，x2，⋯，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10A.18.2 B.19.6 C.19.8 D.21.78.已知平面向量a，b，c满足|a|=|c|=a⋅b=2，|a−λb|≥|a−12b|对任意实数λ恒成立.若对每一个确定的c，对任意实数A.2+3 B.32 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足|z|=1，下列结论正确的是(

)A.z⋅z=1 B.|z−1|的最大值为2

C.z+110.如图所示，下列频率分布直方图均为单峰的分布直方图.图(1)的直方图形状是对称的，图(2)的直方图在右边“拖尾”，图(3)的直方图在左边“拖尾”，据此作出判断，正确的是(

)

A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的平均数<众数<中位数

C.图(2)的众数<中位数<平均数 D.图(3)的平均数<中位数<众数11.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，E，F分别为棱B1C1，AD(含端点)上的动点，记过C，E，F三点的平面为α，记d1为点B到平面α的距离，A.d1+d2=2 B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2i−3是关于x的实系数方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p的值为

13.设样本空间Ω={1,2,3,4}含有等可能的样本点，A1={1,2}，A2={1,3}，A3={1,4}14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球.已知四面体ABCD满足AB=BC=CD=DA=6，BD=8，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．(1)求该圆台的体积;(2)求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．16.(本小题12分)已知a，b是单位向量，满足|a−2b|=7，记(1)求θ;(2)若平面向量c在a上的投影向量为a，b⋅c17.(本小题12分)

如图，△ABC绕边BC旋转得到△DBC，其中AC=BC=2，AC⊥BC，AE⊥面ABC，DE/​/AC．

(1)证明：BC⊥面ACD;(2)若二面角B−DE−C的平面角为60∘，求锐二面角D−CB−A平面角的正弦值．18.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于D，记BA与DM夹角为θ．(1)已知c−acos(ⅰ)求角A;(ⅱ)M为△ABC的重心，b=c=1，θ=30∘(2)请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系．19.(本小题12分)给定两组数据A=(x1,x2鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目.现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为I=(1,2,⋯,n).现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为x1，x2，⋯，xn，其中xi为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记A=(x1,x2(1)当n=3时，求X(A,I)的所有可能取值;(2)当n=5时，求X(A,I)=4的概率;(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为a+6?请说明理由．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.C

8.D

9.ABC

10.ACD

11.AC

12.12

13.2

14.4

15.解：(1)上底面面积：S1=πr12=π，

下底面面积：S2=πr22=4π，

则V=13(S1+S16.解：(1)|a−2b|2=1+4−4a⋅b=7，

∴a⋅b=−12，

∴cosθ=a⋅b|a||b|=−12，θ∈(0,π)，

∴θ=2π3；

(2)向量c在a17.解：(1)∵三角形ABC绕边BC旋转得到DBC，∴BC⊥DC，

又∵BC⊥AC，AC∩DC=C，AC、DC⊂面ACD，

∴BC⊥面ACD．

(2)∵BC⊥面ACD，过点C作CF⊥DE且交直线DE为点F，连接BF，

则二面角B−DE−C平面角为∠BFC．∴∠BFC=60∘，

又|BC|=2，则|FC|=23=233，

设二面角D−CB−A平面角为∠DCA=θ，

则|FC|=2sinθ=18.解：(1)

(i)由正弦定理得，c−acosB=2R(sinC−sinAcosB)

=2R(sin(A+B)−sinAcosB)=2RsinBcosA=bcosA，

∵c−acosB=bsinA，

∴bsinA=bcosA⇒tanA=1，

∴A=45∘；

(ⅱ)解法1:在△ADM中，ADsin∠AMD=AMsinθ⇒|AD|=|AM|⋅sin∠AMDsinθ

，

∵M为△ABC的重心，b=c=1，θ=30∘，∴|AD|=2|AM|sin(30∘+A2)，

又|AM|=23cosA2，

∴|AD|=43sin(30∘+A2)cosA2=23(sin(30∘+A)−12)=23(sin75∘−12)=19.解：(1)X(A,I)的所有可能取值列表如下：

，

所以X(A,I)所有可能取值为0、2、4．

(2)1∼5所有的情况总数为120，

 ①错判了 2个古董的价值，此时i与i+2错位，4=X(A,I)=2|i−(i+2)|，概率为3120．

 ②错判了3个占董的价值，此时i，i+1，i+2错位成i+1，i+2，i或i+2，i，i+1，

4=X(A,I)=|(i+1)−i|+|(i+2)−(i+1)|+|i−(i+2)|，

或者4=X(A,I)=|(i+2)−i|+|i−(i+1)|+|(i+1)−(i+2)|，概率为3120×2=120．

 ③错判了4个古董