2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)=x2−1，则f′(2)=A.2 B.3 C.4 D.52.已知函数f(x)=2x2−x+1，则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为A.2Δx+3 B.4Δx+3

C.2(Δx)2+3Δx3.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有(

)A.9种 B.36种 C.64种 D.81种4.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)A.

B.

C.

D.5.已知函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是A.(1e,+∞) B.(12e6.已知a=12ln12，b=lnA.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b7.如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为(

)A.a327 B.a336 C.8.设4258的小数部分为x，则x4+16A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.C73=A734!

B.Anm=nAn−1m−1(m,n为正整数且n>m>1)

C.C10.设x2022=a0A.a1=−2022 B.a0−a111.设函数f(x)=xlnx+(1−x)ln(1−x)，则(

)A.f(x)=f(1−x)

B.函数f(x)有最大值−ln2

C.若x1+x2=1，则x1f(x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(2+x)3(1−x)的展开式中，x的一次项的系数为______(用数字作答)13.曲线f(x)=x3−214.将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则a<b<c的填法共有______种.(用数字作答)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

请回答下列问题：

(1)现有6份不同的礼物，平均分给甲乙丙3人，有多少种分法？

(2)由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

(3)某旅行社有导游8人，其中3人只会英语，4人只会日语，1人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−12x2+3．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)17.(本小题15分)

已知在(ax−x−13)n(a>0)的展开式中，第4项与第6项的二项式系数相等．

(1)求n的值；

(2)求展开式中的有理项；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=axex−(x+1)2(a∈R,e为自然对数的底数)．

(1)若f(x)在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)当19.(本小题17分)

青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率.考察图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K−=|ΔθΔs|为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率计算公式为K=limΔx→0|ΔθΔs|=|t′(x)|(1+[f′(x)]2)32，其中t(x)=f′(x)．

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)已知函数f(x)=1x(x>0)，求曲线参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.BC

10.AB

11.ACD

12.4

13.y=0和x+y=0

14.60480

15.解：(1)由题意不同的方法C62C42C22A33⋅A33=90种；

(2)若个位是0，则有A53=60种，

若个位不是0，先从2、4中选一个放个位，

再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，

中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有2×4×A416.解：(1)∵f(x)=lnx−12x2+3，定义域为(0,+∞)，

∴f′(x)=1x−x=1−x2x，

令f′(x)>0，则0<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)；

令f′(x)<0，则x>1，∴函数f(x)

x

1

(

1

(1,e)

e

f′(x)+

0−

f(x)

2−↑极大值5↓

4−∴f(x)max=517.解：(1)由题意可得Cn3=Cn5，所以n=8；

(2)展开式的通项为Tk+1=C8k(ax)8−k(−x−13)k=(−1)ka8−kC8kx8−43k，

当8−43k为整数时，k=0，3，6，

所以展开式中的有理项为a8x8，−56a5x4，28a2；

(3)令8−4318.(1)解：f′(x)=(x+1)(aex−2)，

由题意得f′(0)=a−2=−1a，

解得a=1；

(2)解：f′(x)=(x+1)(aex−2)，

当a≤0时，aex−2<0，

易得当x>−1时，f′(x)<0，函数单调递减，当x<−1时，f′(x)>0，函数单调递增，

当a>0时，由aex−2=0得x=ln2a，

若0<a<2e时，ln2a>−1，

易得，当x<−1或x>ln2a时，f′(x)>0，函数单调递增，当−1<x<ln2a时，f′(x)<0，函数单调递减，

当a=2e时，f′(x)≥0恒成立，函数在R上单调递增，

当a>2e时，ln2a<−1，

易得，当x>−1或x<ln2a时，f′(x)>0，函数单调递增，当ln2a<x<−1时，f′(x)<0，函数单调递减，

综上，a≤0时，函数在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递减，

当0<a<2e时，函数在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,ln2a)单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增，

当a=2e时，函数在R上单调递增，

当a>2e时，函数在(−∞,ln2a)上单调递增，在(ln2a,−1)单调递减，在(−1,+∞)上单调递增；

(3)证明：因为19.解：(1)由题意单位圆上圆心角为60°的圆弧Δθ=π3,Δs=π3×1=π3，

根据定义可得平均曲率K=|ΔθΔs|=π3π3=1；

(2)由f(x)=1x(x>0)可得f′(x)=−1x2，

又t(x)=f′(x)可得t′(x)=2x3，

所以K=Δx→0lim|ΔθΔs|=|t′(x)|(1+[f′x]2)32=2x3(1+(−1x2)2)32=2x3(1+1x4)32=2(x2)32(1+1x4)32=2(x2+1x2