2024年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学三模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中，是无理数的是(

)A.13 B.5 C.−2 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.等边三角形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形3.下列运算正确的是(

)A.a−2a=a B.(−a2)3=−a4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(

)A.1，2，3 B.2，3，7 C.2，6，7 D.3，3，65.长沙市2023年1−9月地区生产总值约为10673亿元，比去年同期增长约5.14%.其中数据10673亿用科学记数法表示为(

)A.1.0673×1012 B.0.10673×1013 C.6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为(

)A.80°

B.60°

C.50°

D.40°7.湖南地处云贵高原向江南丘陵和南岭山脉向江汉平原过渡的地带，地势呈三面环山、朝北开口的马蹄形地貌，由平原、盆地、丘陵地、山地、河湖构成，地跨长江、珠江两大水系，属亚热带季风气候，界于北纬24°38′～30°08′，东经108°47′～114°15′之间，气候和地理位置决定了湖南湿冷的气候特性.如表是2012−2023年每年12月长沙平均最低气温统计情况(℃)，则这组数据的众数和中位数分别是(

)201220132014201520162017201820192020202120222023343355444424A.3，4 B.4，3 C.4，4 D.4，58.不等式组2x−8≤−27x−10>4的解集在数轴上表示为(

)A. B. C. D.9.若正比例函数y=−2x与反比例函数y=kx的图象交于(1,−2)，则另一个交点坐标为(

)A.(2,1) B.(−1,2) C.(−2,−1) D.(−2,1)10.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图).此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

(a+b)0=1，

(a+b)1=a+b，

(a+b)2=a2+2ab+b2，A.2018 B.512 C.128 D.256二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：2a2−8=12.已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是

．13.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为______．(结果保留π)

14.把抛物线y=−(x+1)2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为______．15.如图，AD/​/BE/​/CF，ABBC=12，DE=5，则DF

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC=6，AB=10，△ABC的面积为24，则BD的长为______．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：|−318.(本小题8分)

先化简，再求值：(3−a)(3+a)−3a(a+3)+4a2，其中a=119.(本小题8分)

如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．

(1)求D点到B点之间的水平距离；

(2)求山顶A点处的垂直高度AC是多少米？(220.(本小题8分)

我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人只选一类最喜欢的课程)，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)本次随机调查的学生人数为______人，并补全条形统计图；

(2)若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；

(3)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D．

(1)求证：△ACE≌△CBD；

(2)若AE=5，BD=2，求DE的长度．22.(本小题8分)

近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元，花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同．

(1)求A，B两种设备每台各多少万元．

(2)根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共18台，总费用不高于14万元，求A种设备至少要购买多少台？23.(本小题8分)

如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．

(1)求证：四边形DBCF是平行四边形．

(2)若△ABC为等边三角形，BC=6，求△CEF的面积．24.(本小题8分)

如图，△ABC中，AB=AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF/​/BD，连接CF，CF⊥AD于点E．

(1)求证：CF为⊙O的切线；

(2)记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2S3=3，求(tanB)2的值；

(3)若⊙O的半径为125.(本小题8分)

我们约定：若抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0且a≠b)，抛物线C2：y=bx2+cx+a则称C1与C2互为“湘一相依抛物线”.例如：抛物线C1：y=−x2+2x+3与抛物线C2：y=2x2+3x−1就是一组“湘一相依抛物线”.根据该约定，解答下列问题：

(1)已知抛物线C1：y=−2x2+x−5，求其“湘一相依抛物线”C2的解析式；

(2)若抛物线C1：y=ax2−ax+2c的顶点在其“湘一相依抛物线”C2的图象上，试求出抛物线C2的图象经过的定点坐标；

(3)已知抛物线C1：y=mx2+nx+t(m,n,t为实数且m≠0，m≠−1)与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”C2与y轴交于点B(点A在点B的上方).抛物线C参考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.A

6.C

7.C

8.B

9.B

10.D

11.2(a+2)(a−2)

12.9

13.π−2

14.y=−(x+2)15.15

16.5

17.解：|−3|+(2024−π)0−2sin60°−(−13)−118.解：原式=9−a2−3a2−9a+4a2

=9−9a19.解：(1)过D点作DF⊥BC于点F，

∵BD的坡度为1：3，

∴DFBF=13，即15BF=13，

解得，BF=45，即D点到B点之间的水平距离为45米，

答：D点到B点之间的水平距离为45米；

(2)由题意得，AD=20×10=200，

在Rt△ADE中，∠ADE=45°，

∴AE=AD⋅sin∠ADE=200×20.60

21.(1)证明：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，

∴∠AEC=∠D=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CAE=∠BCD，

在△ACE和△CBD中，

∠CAE=∠BCD∠AEC=∠DAC=CB，

∴△ACE≌△CBD(AAS)．

(2)解：由(1)得△ACE≌△CBD，

∵AE=5，BD=2，

∴AE=CD=5，CE=BD=2，

∴DE=CD−CE=5−2=3，

∴DE的长度为322.解：(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.6)万元，

根据题意得：5x=11x+0.6，

解得：x=0.5．

经检验，x=0.5是原方程的解，

∴x+0.6=1.1．

答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；

(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(18−m)台，

根据题意得：0.5m+1.1(18−m)≤14，

解得：m≥293．

∵m为整数，

∴m≥10．

23.(1)证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE/​/BC，DE=12BC，

∵EF=DE，

∴DF=DE+EF=2×12BC=BC，

∴四边形DBCF是平行四边形；

(2)解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，

∴AE=CE，

在△CEF与△AED中，

AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，

∴△CEF≌△AED(SAS)，

∴S△CEF=S△ADE，

∵△ABC为等边三角形，BC=6，

∴S△ABC24.(1)证明：连接OC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BD，

∵AB=AD，

∴BC=CD，

∵OA=OB，

∴OC为△BAD的中位线，

∴OC/​/AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CF，

∵OC为⊙O的半径，

∴CF为⊙O的切线；

(2)解：∵AF/​/BD，

∴△AEF∽△CED，

∴S1S3=(AEDE)2．

∵△AEC，△CED中AE，DE边上的高相同，

∴S2S3=AEDE．

∵S1+S2S3=3，

∴S1S3+S2S3=3，

∴(AEDE)2+AEDE=3，

∴AEDE=13−12(负数不合题意，舍去)，

设AE=(13−1)a，则DE=2a．

∴AD=(13+1)a．

∵∠ACD=90°，CF⊥AD，

∴△ACE∽△ADC，

∴ACAE=ADAC，

∴AC2=AE⋅AD=(13−1)a⋅(13+1)a=12a2．

∴CD2=AD2−AC2=(2+213)a2，

∵AB=AD，

∴∠B=∠D，

∴(tanB)2=(tanD)225.解：(1)由题意得，抛物线C1的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=x2−5x−2；

(2)y=ax2−ax+2c=a(x−12)2+2c−14a，

∴顶点坐标为(12,2c−14a)，

∵抛物线C1的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=−ax2+2cx+a，且抛物线C1的顶点在C2的图象上，

∴2c−14a=−14a+c+a，

∴c=a，

∴y=−ax2+2ax+a，

∴当y=0时，−ax2+2ax+a=0，

解得x1=1+2，x2=1−2，

∴抛物线C2过定点(1+2,0)，(1−2,0)；

(3)抛物线C1：y=mx2+nx+t的“湘一相依抛物线”C2的解析式为y=nx2+tx+m，

联立y=mx2+nx+ty=nx2+tx+m，

解得x1=1，x2=t−mm−n，

∴C(1,m+n+t)，

对于C1：y=mx2+nx+t，

当x=0时，y=t，

∴A