2023-2024学年广东省珠海二中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省珠海二中高一（下）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z−11+2i=2i，则A.−5−2i B.5−2i C.−5+2i D.5+2i2.如图是水平放置的△ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，∠A′D′C′=45°，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(

)A.最短的是AC

B.最短的是AB

C.最短的是AD

D.无法确定谁最短3.将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，若该圆台的体积为285π3A.4 B.3 C.2 D.14.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α−β=π2 B.3α+β=π2 C.5.下列命题正确的为(

)A.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a/​/b

C.若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线

D.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥6.如图圆O中，若BA=4，BC=5，则BO⋅AC的值等于(

)A.−92

B.3

C.927.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AC=AD=BC=BD=5，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中错误的A.异面直线AB与CD所成的角为90°

B.平面α截四面体ABCD所得截面周长不变

C.平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形

D.该四面体的外接球半径为68.△ABC中，b=2，b=2c⋅cos(B+C)，当B取最大值时，△ABC的面积为A.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于△ABC中，有如下判断，其中正确的判断是(

)A.若a=8，c=10，A=60°，则符合条件的△ABC有两个

B.若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形

C.若a=2，A=60°，则当△ABC周长最大时，△ABC面积为3

D.若点P在△ABC10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(

)A.函数f(x)的最小正周期是2π

B.函数f(x)的图象关于点(4π3,0)成中心对称

C.函数f(x)在(−5π12,−π6)单调递增

D.函数f(x)的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍

11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，A.当0<CQ<12时，S为四边形

B.当CQ=12时，S为等腰梯形

C.当CQ=34时，S与C1D1的交点R1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.方程x2+4x+6=0在复数范围内的解是______．13.已知A，B，C三点都在表面积为100π的球O的表面上，若AB=43，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离等于______．14.如图，在边长为2的棱形ABCD中，∠ABC=60°，BP=23BD，点Q是△BCD内部(包括边界)的一动点，则AP

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知向量a=(2cosθ,sinθ)，b=(1,−2)；

(1)若a//b，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；

(2)若θ=90°16.(本小题15分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是1．

(1)求证：B1D⊥平面AC17.(本小题15分)

函数f(x)=23sinxcosx+sin2x−cos2x．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(Ⅱ)将函数f(x)的图象先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变18.(本小题15分)

如图在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D是边AB上的一点．

(1)若b=2a=4，∠ACD=π3，∠BCD=π4，CD=2，求△ABC的面积．

(2)试利用“AB+BC=AC”证明：“ccosB+bcosC=a”；

(3)已知ccosB+bcosC=2acosC，CD19.(本小题17分)

如图1，等腰△AFA1中，FA=FA1=5，AA1=8，点B，C，D为线段AA1的四等分点，且BE//CF//DG.现沿BE，CF，DG折叠成图2所示的几何体，使∠BCD=60°．

(1)证明：AE/​/平面参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.CD

10.BC

11.ABC

12.{−2+13.3

14.[0,2]

15.解：(1)因为向量a=(2cosθ,sinθ)，b=(1,−2)，a/​/b，

所以sinθ=−4cosθ，即tanθ=−4，

则3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=2．

(2)因为θ=90°16.解：(1)证明：连接B1D、BD，如下图所示：

因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，

∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

∵BD∩BB1=B，BD⊂平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，

∴AC⊥平面BB1D，

∵B1D⊂平面BB1D，

∴B1D⊥AC，

四边形ABCD为正方形，则AD1⊥A1D，

∵B1A1⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，

∴AD1⊥B1A1，

∵A1D∩B1A1=A1，A1D⊂平面DA1B1，BB1⊂平面DA1B1，

17.解：(Ⅰ)f(x)=23sinxcosx+sin2x−cos2x=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

∵T=2πω=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，

令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+32π,k∈Z，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，

函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6],k∈Z；

(Ⅱ)y=f(x)的图象先向左平移π6个单位得到y=2sin(2x+π318.解：(1)因为b=2a=4，所以a=22，

又∠ACD=π3，∠BCD=π4，CD=2，

所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×2×4×32+12×22×2×22=23+2，

所以△ABC的面积为23+2；

(2)证明：因为AB+BC=AC，所以BC=AC−AB，

所以BC⋅BC=(AC−AB)⋅BC，

即|BC|2=AC⋅BC−AB⋅BC=b⋅a⋅cosC−c⋅a⋅cos(π−B)，

所以a2=b⋅a⋅cosC+c⋅a⋅cosB，

即a=bcosC+ccosB，

所以ccosB+bcosC=a；

(3)因为19.解：(1)证明：由AB=BC=CD=DA，可知四边形ABCD是菱形，

所以AB//DC，

又AB⊄平面DCFG，DC⊂平面DCFG，

所以AB/​/平面DCFG，

因为BE/​/FC，BE⊄平面DCFG，FC⊂平面DCFG，

所以BE//平面DCFG，

又AB∩BE=B，所以平面ABE/​/平面DCFG，

又AE⊂平面ABE，所以AE/​/平面DCFG．

(2)解：连接BD，GE，取FC的中点P，连接EP，GP，

则BE=CP=DG=12FC，

由图(1)知FC⊥