2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.252.如果直线a和b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是(

)A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或异面3.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是(

)A.90 B.88 C.82 D.764.若向量a=(2.3),b=(−1,1)，则b在a上的投影向量的坐标是A.(213,−313) B.(5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为1323，则侧棱长为A.2 B.2 C.256.设向量a，b的夹角的余弦值为−13，|a|=2，|bA.−23 B.23 C.−27 D.277.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是(

)A.82π9 B.83π9 C.28π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.已知复数z=2−ii20+i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为A.在复平面内复数z所对应的点位于第四象限

B.z−=12−39.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是(

)

A.总体上女性处理多任务平均用时较短

B.处理多任务的能力存在性别差异

C.男性的用时中位数比女性用时中位数大

D.女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面ABA.随着P点移动，三棱锥D−PCC1的体积有最小值为118

B.三棱锥A−PCD体积的最大值为16

C.直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知z1，z2∈C，|z1+z2|=212.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线13.在三棱锥P−OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=______.(用角度表示)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(a2+c2−b2)a2−b2−c215.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．

(1)若EF/​/平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；

(2)若BC=BD=AD=AC，证明：CD⊥AB．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin2x+3cosxsinx−1．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=2，且17.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，E为PD的中点，AD=2PA=2，BD=3．

(1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值；

(2)求二面角E−AB−D18.(本小题17分)

如图1，在矩形ABCD中，点E在边CD上，BC=DE=2EC=2，将△DAE沿AE进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面PAE⊥平面ABCE，如图2．

(1)若点F在棱PA上，PB∩平面CEF=G，求证：CE/​/FG；

(2)求点E到平面PAB的距离．

参考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.AC

9.ABC

10.BC

11.212.60°

13.90°

14.解：(1)△ABC中，由3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA，得3(a2+c2−b2)=−tanA(b2+c2−a2)，

由余弦定理得23accosB=−tanA⋅2bccosA=−sinAcosA⋅2bccosA，

即3acosB=−bsinA，

由正弦定理得3sinAcosB=−sinBsinA，

又15.(1)解：F是CD的中点，理由如下：

若EF/​/平面ABC，由EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面ABC=AC，

得EF/​/AC，又E是AD的中点，F在CD上，

所以F是CD的中点；

(2)证明：取CD的中点G，连接BG，AG，

因为BC=BD=AD=AC，G为CD中点，

所以CD⊥AG，CD⊥BG，

因为BG∩AG=G，所以CD⊥平面ABG，

因为AB⊂平面ABG，

所以CD⊥AB．

16.解：(1)因为f(x)=sin2x+3cosxsinx−1，

所以f(x)=1−cos2x2+32sin2x−1=32sin2x−12cos2x−12，

即f(x)=sin(2x−π6)−12．

令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z．

(2)结合(1)问，因为f(x)=sin(2x−π6)−12

所以f(A)=sin(2A−π6)−12=12，即sin(2A−π6)=1，

17.解：(1)取PB的中点F，连接EF，AF，在Rt△ABD中，AB⊥BD，AD=2，BD=3，

∴AB=1=PA，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵E，F分别为PD，PB的中点，

∴EF/​/BD，∴EF⊥PA，EF⊥AB，又AB∩PA=A，

∴EF⊥平面PAB，

∴直线AE与平面PAB所成角为∠EAF，

在Rt△AEF中，EF=−BD=5，AE=12PD=12×12+22=52，

∴sin∠EAF=EFAE=155，

故直线AE与平面PAB所成角的正弦值为155；

(2)取AD的中点M，连接EM，取AB的中点H，连接EH，MH，

由EM//PA，PA⊥AB，可得EM⊥AB，

∵MH//BD，AB⊥BD，

∴MH⊥AB，又EM∩MH=M，

∴AB⊥平面EMH，又EH⊂平面EMH，

∴AB⊥EH，18.解：(1)证明：如图，若点F在棱PA上，过F作FG/​/AB，且FG∩PB=G，连接GC，

又AB/​/EC，∴FG/​/EC，又PB∩平面CEF=G，

∴平面CEF即为平面CEFG，

故CE/​/FG；

(2)取AE中点H连接PH，∵△PAE为等腰直角三角形，且PA=PE=2，

∴PH⊥AE，且PH=12AE=2，

又平面PAE⊥平面ABCE，PH⊂平面PAE，平面