2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−2≤0}，则M∩N=A.{−1,0} B.{0,1} C.{−1,0,1,2} D.{−2,−1,0,1}2.样本数据36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位数为(

)A.16 B.21 C.22 D.23.53.若(x−ax2)6展开式中的常数项为60A.2 B.±2 C.4 D.±44.“m=12”是“两条直线x+2my−1=0，(3m−2)x−my−1=0”平行的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知单位向量a，b满足|a−b|=3，则aA.π6 B.π3 C.2π36.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记R1=“第一次摸球时摸到红球”，G1=“第一次摸球时摸到绿球”，R2=“第二次摸球时摸到红球”，G2=A.R1与R2为互斥事件 B.P(G)=P(G1)+P(G7.已知△ABC中AB=2，BC=5，cosB=−1010，则将A.π B.2π C.3π D.4π8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2.A是C上一点(在第一象限)，直线AF2A.y=±255x B.y=±二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，下列说法正确的有(

)A.若z1=z2−，则z1−=z2 B.若z110.若正数a，b满足a+b=1，则(

)A.log2a+log2b≤−2 B.2a11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AAA.平面EBD⊥平面BDC1

B.任意λ∈[0,1]，三棱锥F−BDE的体积是定值

C.△BDF周长最小值为2+22+23

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等差数列{an}中，a2=1，a1013.即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位.家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有______种不同的乘坐方式．14.如果函数f(x)在区间[a,b]上为增函数，则记为f(x)[a,b]；函数f(x)在区间[a,b]上为减函数，则记为f(x)[a,b].如果f(x)=sin(2x−π3)且f(x)[a,b]，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosA=bcosB，C=2π3．

(1)求A；

(2)若△ABC面积为33416.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax+1(其中a为常数)．

(1)当a=−1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在17.(本小题15分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=0.5，E为SB中点．

(1)求证：AE/​/面SCD；

(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．18.(本小题17分)

在直角坐标系xOy中，动圆经过点(0,14)且与直线y=−14相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C.直线y=x+b(其中b为非零常数)与曲线C交于A，B两点，设曲线C在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1和l2分别与x轴交于点M，N.l1与l2的交点为T．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)求点T的横坐标；19.(本小题17分)

2024年5月28日，南京首家开市客超市开业，开市客超市是一家会员制超市，办了会员便可以携同伴进入购物.据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体.其中34的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外14的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个.假设每个团体之间相互独立，且将频率看作概率．

(1)随机抽取3个团体，记3个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为X，求X的分布列和期望；

(2)将i个团体获赠精美布袋总个数为i+1个的事件概率记为P(i)，求i=1nP(i)；

(3)如果你是开市客超市负责人，预计某时间段有100参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.ABC

11.AD

12.9

13.54

14.π2

[−6,−3]∪[1,2]15.解：(1)根据acosA=bcosB，由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，

所以2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，

结合A、B为三角形的内角，可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B，或A+B=π2．

因为△ABC中，A+B=π−C=π3，所以A+B=π2不成立，即A=B=π−C2=π6，

综上所述，角A的大小为π6．

(2)由(1)的结论A=B，可得a=b，

根据题意，△ABC面积S=12absinC=334，即12a2sin2π3=334，

可得16.解：(1)当a=−1时，f(x)=lnx+1x(x>0)，f′(x)=x−1x2，

令f′(x)>0解得x>1；所以f(x)的单调递增区间为(1,+ꝏ)，

令f′(x)<0解得0<x<1，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)．

(2)f(x)=lnx−ax+1(1≤x≤2)，f′(x)=x+ax2，

①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)min=f(1)=1−a；

②当−1≤a<0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)min=f(1)=1−a；

③当−2<a<−1时，令f′(x)>0和f′(x)<0分别解得−a<x和−a>x，

则f(x)在[1,−a]上单调递减，[−a,2]单调递增，f(x)min=f(−a)=ln(−a)+2；

④当a≤−2时，f′(x)<0，f(x)在17.解：(1)证明：取SC的中点设为F，连接EF、DF，由题意可知E、F分别为SB、SC的中点，

则EF/​/BC，且EF=12BC=12

∵AB⊥AD，AB⊥BC，AD=12，BC=1，

∴AD/​/BC

且AD=12BC，

∴AD/​/EF且AD=EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∴AE/​/DF，

且AE⊄面SCD，DF⊂面SCD，

∴AE/​/面SCD；

(2)由题可知SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，故SA、AB、AD两两垂直，

则以A为原点，AD、AB、AS分别为x、y、z轴正方向建系，

A(0,0,0)，D(12,0,0)，S(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，E(0,12,12)，

CD=(−12,−1,0)，SC=(1,1,−1)，

易知AD⊥平面SAB，则面SAB法向量为AD=(12,0,0)，

设面SCD18.解：(1)因为动圆经过点(0,14)且与直线y=−14相切，

所以圆心C到点(0,14)的距离等于圆心C到与直线y=−14的距离，

故曲线C的轨迹为抛物线，且以(0,14)为焦点，以y=−14为准线，

故曲线C的轨迹方程为：x2=y；

(2)由y=x2得y′=2x，设A(x1,x12)，B(x2,x22)，T(xT,yT)，

所以直线l1：

y−x12=2x1(x−x1)，直线l2：

y−x22=2x2(x−x2)，

联立直线和抛物线y=x+by=x2，消去y得：x2−x−b=0，则Δ=1+4b>0，即b>−14，

故x1+x2=1，x1⋅x2=−b，

联立y−x12=2x119.解：(1)根据题意，获得一份精美布袋概率为34，获得两份精美布袋概率为14，

则精美布袋个数X的可能取值为3，4，5，6，

其中P(X=3)=(34)3=2764，

P(X=4)=C3X3456P272791E(X)=3×2764+4×2764+5×9