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4.4矩阵的奇异值分解

定义4.8设

，

的特征值为则称为矩阵A的奇异值。注：与均为Hermite半正定矩阵，有相同的非零特征值，且。因此A的正奇异值的个数恰为r，且A与有相同的正奇异值。定义4.9设

，若存在m

阶酉矩阵U

和

n阶酉矩阵

V，使得

，则称矩阵

A与B酉等价。定理4.15设

，若A与B酉等价，则它们有相同的奇异值。证

设m阶酉矩阵U和n

阶酉矩阵V使得，则有，这表明与

相似。从而它们有相同的特征值，即A与B有相同的奇异值。定理4.16如果，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V

，使得其中，是矩阵A的正奇异值。证记的特征值为由于为正规矩阵，则存在n阶酉矩阵V，使得（4.1）将V分块为，，，带入到式（4.1），得故（4.2）令，则为阶矩阵且，即的列向量是两两正交的单位向量。取以的m-r个单位正交的解向量为列向量构成的矩阵为，则且为酉矩阵。此时，考虑到式（4.2），可知故。注：由定理4.16，，也称为A的奇异值分解例4.8求矩阵

的奇异值分解解

可求得

的特征值为

3，1，0，对应的特征向量依次为故取正交矩阵令，，取显然取

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