矩阵分析 课件 4.1 矩阵的三角分解

矩阵分析教材：矩阵分析王博等编授课教师：时间：2021.9.11第四章矩阵分解4.1矩阵的三角分解4.2矩阵的QR分解4.3的满秩分解4.4矩阵的奇异值分解4.1矩阵的三角分解

4.1.1三角分解的存在性与唯一性定义4.1如果

n阶矩阵

A能够分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，则称其为三角分解或LU分解。将矩阵A分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积的分解法叫做Doolittle分解。将矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个单位上三角矩阵的乘积的分解法叫做Crout分解。将矩阵A

分解为A=LDU，其中L为单位下三角矩阵，D为对角矩阵，

U为单位上三角矩阵，则称之为LDU分解。定理4.1设

，则

A可以作三角分解的证

（必要性）若矩阵A可以作三角分解，即A=LU，其中L为下三角形，U为上三角形。由于A可逆，则

L和U均可逆。若设根据可逆性可知，将矩阵

A，L和U分块，充分必要条件是，其中为A的k

阶顺序主子式。其中和分别是A，L和U的k阶顺序主子阵，且和分别是下三角矩阵和上三角矩阵。由矩阵的分块乘法运算，得两侧同时求行列式，得到（充分性）对阶数n用数学归纳法证明。当时，结论显然成立。假设对结论成立，即当A为k阶可逆方阵时，A有三角分解。则当时，将A写成分块矩阵，同时考虑到k阶可逆方阵有三角分解的假设，得到我们令，则取即可。即即当时，结论成立。注：从上面的证明过程可知，n阶矩阵A的三角分解不唯一。同时该定理条件说明，并不是每个可逆矩阵都可以做三角分解，如矩阵就不能作三角分解。定理4.2矩阵

的LDU分解式唯一的充分必要条件为A的顺序主子式。其中对角矩阵，元素证（必要性）矩阵有LDU分解，即A有三角分解。由定理4.1,A的顺序主子式

（充分性）由于可逆矩阵A的顺序主子式，根据定理4.1，A

有三角分解，设。记则为矩阵A的LDU分解。下证唯一性。若矩阵A有两个LDU分解：则，该等式的左边是单位下三角矩阵，右边是上三角矩阵，所以，。因此，该等式的左边是对角矩阵，右边是单位上三角矩阵，所以。唯一性得证。下面计算。类似于定理4.1的证明过程，将矩阵A，L

，D和U分块，可得，注意到，L为单位下三角形，U为单位上三角形，D为对角阵，得到。定理4.3矩阵

有唯一Doolittle分解或Crout分解的充分必要条件为

A的顺序主子式

。证

我们只证明矩阵有唯一Doolittle分解的情况。矩阵有唯一的Crout分解的情况可类似证明。（必要性）若矩阵有Doolittle分解，则A有三角分解，由定理4.1，A的顺序主子式。（充分性）可逆矩阵A的顺序主子式，根据定理4.2，A有唯一的LDU分解式，则为A的一个Doolittle分解。设为A

的另一个Doolittle分解形式，则，即，该等式的左边是单位下三角矩阵，右边是上三角矩阵，所以，即。唯一性得证。4.1.2三角分解的计算

设的顺序主子矩阵为非奇异矩阵，且，。对于Doolittle分解：因为

，即由矩阵乘法可知，，具体计算过程中，应根据矩阵乘法，观察矩阵乘积的第一行，得到U的第一行元素；再观察矩阵乘积的第一列，可得到L的第一列元素；接下来，依次观察矩阵乘积的第二行和第二列，可分别得到U的第二行元素和L的第二列元素；以此类推。对于Crout分解：与上面的推倒类似。，；对于，计算在具体计算过程中，应根据矩阵乘法，观察矩阵乘积的第一列，得到L的第一列元素，再观察矩阵乘积的第一行，可得到U的第一行元素；接下来，依次观察矩阵乘积的第二列和第二行，可分别得到L的第二列元素和U的第二行元素；以此类推对于LDU分解：在求出了A的Doolittle分解

之后，

的LDU分解为

；同理也可根据

A的Crout分解，此时

A的LDU分解为

。例4.1求矩阵的Doolittle分解与Crout分解。解由Doolittle分解的递推公式有所以Doolittle分解为再由Crout分解的递推公式有所以Crout分解为4.1.3对称三角分解

定理4.4Hermite正定矩阵A存在下三角矩阵

G，使得

，称之为A

的对称三角分解（也叫做平方根分解，或Cholesky分解）。类似于矩阵A的Doolittle分解的计算格式的推导过程，我们可以得到A的Cholesky分解的计算格式：例4.2求矩阵的Cholesky分解。解易于验证矩阵A是实对称正定矩阵，由Cholesky分解的递推公式有所以Cholesky分解为注，该定理的条件仅是充分的，如矩阵的秩为1，且不满足定理4.5的条件，但都是A的三角分解。定理4.6矩阵

的LDU分解式唯一的充分必要条件为A的顺序主子式

，其中L是单位下三角矩阵，

U是单位上三角矩阵。三角分解在求解线性方程组中的应用对于线性方程组而言，如果其系数矩阵A为非奇异矩阵，并且，则存在三角分解。这时，就与方程组等价，而方程组