2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）（新知衔接）专题03 分数乘法混合运算和简便运算（新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）含答案

2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）（新知衔接）专题03分数乘法混合运算和简便运算（新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）含答案专题03分数乘法混合运算和简便运算（新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）编者的话：同学你好，这份讲义包含：①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！TOC\o"1-3"\h\u考点一：分数混合运算的计算方法 5考点二：分数混合运算中单位“1”的量连续增加或减少问题 6考点三：结合线段图解决实际问题 7考点四：求比一个量多几分之几和少几分之几的问题 8考点五：较复杂的分数乘法混合运算应用题 8考点六：分数乘法混合运算简便运算的计算 9考点六：判断简便运算算式中运用的运算律 10考点七：比较分数乘法简便运算算式结果大小 10基础达标练 11能力拔高练 131.知道分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同，能熟练进行分数混合运算；理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用运算定律进行简便计算。2.在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推理能力及思维的灵活性。3.在自主探索、合作交流的学习活动中，让学生体会算法的多样性及学习的乐趣。重点：会计算分数的混合运算，能利用乘法的运算定律进行简便计算。难点：根据题目特点，灵活地运用运算定律进行简便计算。提问：（1）分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序是否相同？（2）整数乘法运算定律能不能推广到分数？知识点1：分数乘加、乘减的运算顺序问题：一个画框的尺寸如右图，做这个画框需要多长的木条？列式：①②分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同吗？你会自己计算这两道算式吗？通过计算你有什么发现？通过计算你有什么发现？发现：分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。知识点2：整数乘法运算定律推广到分数乘法问题：1.观察每组的两个算式，看看它们有什么关系。从这些算式中你发现了什么规律？从这些算式中你发现了什么规律？小结：知识点3：运用乘法的运算定律，进行简便计算一、分数乘法混合运算1.运算顺序分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同，即：先算乘法，后算加减法；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。2.运算定律整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用，包括：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c这些定律可以帮助我们简化复杂的分数乘法运算。二、分数乘法简便运算1.分数乘整数分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。计算方法：用分子乘整数的积作分子，分母不变。能约分的可以先约分，再计算。2.分数乘分数分数乘分数的意义是求一个分数的几分之几是多少。计算方法：用分子相乘的积做分子，用分母相乘的积做分母。如果含有带分数，需要先将带分数化成假分数再进行计算。3.简便运算技巧在计算过程中，能约分的要先约分，这样可以减少计算量，使计算更加简便。如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。4.分数的基本性质分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这是分数的基本性质，可以在简便运算中灵活应用。一、分数乘法混合运算易错知识点运算顺序混淆学生在进行分数混合运算时，容易混淆运算顺序，尤其是当题目中同时包含乘法和加减法时。易错点：未按照“先乘除后加减”的原则进行计算，或者未先计算括号内的内容。解决方法：强调运算顺序的重要性，通过大量练习加深理解。分数与整数相乘时的约分错误学生在将整数与分数相乘时，容易误将整数与分数的分子进行约分，而不是与分母约分。易错点：整数与分数的约分对象混淆。解决方法：明确整数只能与分数的分母进行约分，通过实例进行说明和练习。分数乘分数时的计算错误学生在计算分数乘分数时，容易忽略分子乘分子、分母乘分母的规则，或者忘记将结果约分到最简形式。易错点：分子与分母的计算混淆，或者忘记约分。解决方法：强调分子乘分子、分母乘分母的规则，并在计算后提醒学生约分。二、分数乘法简便运算易错知识点带分数与假分数之间的转换错误在进行带分数乘法时，学生容易忘记将带分数转换为假分数进行计算，或者转换过程中出现错误。易错点：带分数与假分数的转换不准确。解决方法：强调带分数与假分数转换的必要性，并通过练习巩固转换技巧。简便运算技巧的应用错误学生在尝试应用简便运算技巧时，容易混淆不同的情况，或者在不适当的情况下使用这些技巧。易错点：简便运算技巧的使用不当。解决方法：明确各种简便运算技巧的使用条件和范围，并通过实例进行说明和练习。对分数基本性质的理解不足学生对分数的基本性质理解不足，导致在简便运算中无法正确应用这些性质。易错点：对分数基本性质的理解不深刻。解决方法：加强对分数基本性质的教学和练习，使学生深入理解这些性质并能够灵活应用。考点一：分数混合运算的计算方法【典例精讲】（2024六上·瑶海期末）直接写出得数。【变式演练01】（2024六上·确山期末）直接写得数。60÷80%=0.125××8=（+）×12=-×=【变式演练02】（2024六上·淮滨月考）选择合适的方法计算。①＋8×②×－×③－86×④36×（＋－）考点二：分数混合运算中单位“1”的量连续增加或减少问题【典例精讲】（2024六上·坪山期末）一条6米长的彩带，先剪去，再剪去米，还剩（）米。A．5.2 B．4.8 C．3.2 D．1.2【变式演练01】（2024六上·东源期末）两根同样长的铁丝，第一根剪去m，第二段剪去，（）剩余的铁丝长。A．第一段 B．第二段 C．一样 D．无法比较【变式演练02】（2024六上·慈溪期末）两条同样长2米的绳子，第一条截去米，第二条截去全长的，这两条绳子剩余的部分一样长。（）【变式演练03】（2023六上·丘北月考）一桶水有5L，先用去，又用去了L，还剩4.6L。（）考点三：结合线段图解决实际问题【典例精讲】（2024六上·海口期末）看图列式计算。【变式演练01】（2023六上·期末）看图列式计算。【变式演练02】（2023六上·郯城月考）看图列式计算。（每题3分，共6分）（1）（2）考点四：求比一个量多几分之几和少几分之几的问题【典例精讲】（2024六上·沐川期末）算式20×（1－）可以解决下面的（）问题。A．一条绳子用去20m，用去的比剩下的少，剩下多少米？B．一条绳子长20m，用去了m，还剩下多少米？C．一条绳子长20m，用去它的后，还剩下多少米？D．一条绳子长20m，另一条绳子的长度是它的，另一条绳子长多少米？【变式演练01】（2023六上·福田月考）红球的个数比白球多，白球比红球少（）。A． B． C． D．【变式演练02】（2024六上·天台期末）比30吨多是吨。56平方米比平方米少【变式演练03】（2024六上·英山期末）m比24m多；60kg比kg少40%；75m增加是m。考点五：较复杂的分数乘法混合运算应用题【典例精讲】（2024六上·天台期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棒（尺，中国古代长度单位），今天截取它的一半，明天接着截取它剩下的一半，即这样一直取下去，永远也取不完。照这样计算，取完3天后，这根木棒还剩下尺。【变式演练01】（2024六上·丹江口期末）甲乙丙三个小组共植树144棵，甲组植了总数的，乙组和丙组植树的棵数之比是5∶3，丙组植了多少棵树？【变式演练02】（2024六上·蒲城月考）某村收获的小麦放在甲、乙两个仓库，已知甲、乙两个仓库共有小麦400吨，甲仓库运出100吨后，甲仓库剩余小麦质量是乙仓库的，原来甲、乙两仓库各有小麦多少吨？考点六：分数乘法混合运算简便运算的计算【典例精讲】（2024六上·三门期末）递等式计算。【变式演练】（2024六上·郓城期末）脱式计算，能简算的要简算。考点六：判断简便运算算式中运用的运算律【典例精讲】（2023六上·上思）计算时，运用（）可以使计算简便。A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律【变式演练01】6×-=×（6-1）应用了乘法分配律。（）（判断正误）【变式演练02】（2022六上·镇原期中）计算87×=（86+1）×=86×+时，运用了乘法分配律。（）（判断正误）【变式演练03】（2023六上·临漳月考），这是运用了乘法律；，这是运用了乘法律。考点七：比较分数乘法简便运算算式结果大小【典例精讲】（2023六上·钱塘）在横线上填上“>、<或=”。4.8×（）4.8×【变式演练】（2023六上·惠阳月考）在横线里填上“>”“<”或“=”。25×（1-）25×1-24×24×（）基础达标练1．（2024六上·平湖期末）如下图，要求一共有多少册？列式错误的是（）。A．360÷8 B．360÷5×8 C．x=360 D．360×(1-)2．（2024六上·天台期末）算式：，这一过程运用了（）。A．乘法结合律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．加法分配律3．（2024六上·坪山期末）下面各式中，与×10的值不相等的是（）。A．（+）×5 B．×5+3C．×9+ D．×9+14．（2023·祁阳）1立方米的水结成冰，体积比水增加，这块冰再融化成水，休粉减小。（）（判断正误）5．（2023六上·汉川期中）一件商品，先涨价，后又降价，价格不变。（）（判断正误）6．30米剪去它的，又增加剩下的，结果还是30米。（）（判断正误）7．（2024六上·萧山月考）小明一家都很喜欢吃糍粑，小明吃了千克的糍粑，妈妈比小明多吃了，爸爸比小明多吃了千克，妈妈吃了千克，爸爸吃了千克。8．（2024六上·天台期末）一项工程，如果甲队单独做，10天完成；如果乙队单独做，15天完成，甲乙两队合做3天后，还剩下这项工程的；在这里，算式能解决的问题是。9．（2023六上·如皋月考）一块长方形菜地，宽是3米，长比宽多，长是米。若长增加，宽增加，则现在的面积是原来菜地面积的；若长增加，宽减少。则现在的面积与原来菜地的面积的比是。10．（2024六上·深圳期末）学校的阅读角准备补充一些书籍，其中科普类书籍购买了240本，文学类书籍的数量比科普类多，学校采购了多少本文学类书籍？11．（2024六上·亭湖期末）中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108将，其中正将占总数的，其余是副将。这108将中男将105员，女将3员。（1）副将有多少员?（2）小莉根据上面的信息，解决了一个问题，下面虚线方框里是她列的算式：根据这道算式，你认为小莉解决了什么问题？写在下面的横线上。能力拔高练1．（2024六上·连南期末）学校合唱队有男生24人，女生人数比男生多。女生有（）人。A．32 B．30 C．16 D．82．（2023六上·钱塘期末）笑笑同学在计算20-n×时，错误地计算成了(20-n)×，比正确的得数少（）A．10 B．8 C．15 D．43.（2023六上·增城期末）一双鞋的原价是200元，先将它的价格涨价，然后又降低，现在的价格（）。A．与原价相等 B．比原价高 C．比原价低 D．无法比较4．（2022六上·平桥期中）房价涨幅就是说目前的房价相比之前房价的上涨幅度，其计算公式如下：涨幅比例＝（现售房价﹣原售房价）÷原售房价。同理，降幅就是目前的房价相比之前房价的下降幅度。A市某楼盘9月份房价相对于8月份每平方米降幅为，该楼盘10月份相对于9月份每平方米涨幅为，下列判断正确的是（）A．10月份房价与8月份持平B．10月份房价与8月份相比略有上涨C．10月份房价与8月份相比略有下降D．相比之下这三个月10月份房价最高5．（2023六上·方城月考）五(2)班有学生58人，选出男生人数的和5名女生参加学校活动，这时班级还剩47人，五(2)班原有男生人，女生人。6．（2023六上·离石期末）加工一批零件，第一天加工了这批零件的，第二天加工了剩下的，第二天加工了总数的，还剩没加工。7．（2020六上·滨海期末）科技兴趣小组人数在40~50之间，女生人数占全组总人数的，科技小组的男生有人。8．用简便方法计算。41×+51×+61×（2023六上·南海月考）有一批木材共重4038吨，第一次运走，第二次运走余下的，第三次运走余下的，最后一次运走余下的，这批木材还剩下多少吨？10．（2023六上·临朐）根据要求选择合适的信息并解答。①阳光小学六年级有学生280人⑤五年级的人数比四年级多40人②五年级的人数比四年级多⑥四年级有多少人？③三年级人数比六年级少⑦二年级有多少人？④六年级人数比二年级多⑧三年级有多少人？（1）要求“二年级有多少人”需要选择的信息是（）（填序号），画出线段图分析数量关系，只列算式或方程不解答。（2）自己再选择一个问题，根据问题选择合适的条件解答。我选择的问题是（），信息是（）。（填序号）我的解答：专题03分数乘法混合运算和简便运算（新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）编者的话：同学你好，这份讲义包含：①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！TOC\o"1-3"\h\u考点一：分数混合运算的计算方法 5考点二：分数混合运算中单位“1”的量连续增加或减少问题 8考点三：结合线段图解决实际问题 10考点四：求比一个量多几分之几和少几分之几的问题 11考点五：较复杂的分数乘法混合运算应用题 14考点六：分数乘法混合运算简便运算的计算 15考点六：判断简便运算算式中运用的运算律 18考点七：比较分数乘法简便运算算式结果大小 19基础达标练 20能力拔高练 261.知道分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同，能熟练进行分数混合运算；理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用运算定律进行简便计算。2.在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推理能力及思维的灵活性。3.在自主探索、合作交流的学习活动中，让学生体会算法的多样性及学习的乐趣。重点：会计算分数的混合运算，能利用乘法的运算定律进行简便计算。难点：根据题目特点，灵活地运用运算定律进行简便计算。提问：（1）分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序是否相同？（2）整数乘法运算定律能不能推广到分数？知识点1：分数乘加、乘减的运算顺序问题：一个画框的尺寸如右图，做这个画框需要多长的木条？列式：①②分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同吗？你会自己计算这两道算式吗？通过计算你有什么发现？通过计算你有什么发现？发现：分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。知识点2：整数乘法运算定律推广到分数乘法问题：1.观察每组的两个算式，看看它们有什么关系。从这些算式中你发现了什么规律？从这些算式中你发现了什么规律？小结：知识点3：运用乘法的运算定律，进行简便计算一、分数乘法混合运算1.运算顺序分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同，即：先算乘法，后算加减法；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。2.运算定律整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用，包括：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c这些定律可以帮助我们简化复杂的分数乘法运算。二、分数乘法简便运算1.分数乘整数分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。计算方法：用分子乘整数的积作分子，分母不变。能约分的可以先约分，再计算。2.分数乘分数分数乘分数的意义是求一个分数的几分之几是多少。计算方法：用分子相乘的积做分子，用分母相乘的积做分母。如果含有带分数，需要先将带分数化成假分数再进行计算。3.简便运算技巧在计算过程中，能约分的要先约分，这样可以减少计算量，使计算更加简便。如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。4.分数的基本性质分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这是分数的基本性质，可以在简便运算中灵活应用。一、分数乘法混合运算易错知识点运算顺序混淆学生在进行分数混合运算时，容易混淆运算顺序，尤其是当题目中同时包含乘法和加减法时。易错点：未按照“先乘除后加减”的原则进行计算，或者未先计算括号内的内容。解决方法：强调运算顺序的重要性，通过大量练习加深理解。分数与整数相乘时的约分错误学生在将整数与分数相乘时，容易误将整数与分数的分子进行约分，而不是与分母约分。易错点：整数与分数的约分对象混淆。解决方法：明确整数只能与分数的分母进行约分，通过实例进行说明和练习。分数乘分数时的计算错误学生在计算分数乘分数时，容易忽略分子乘分子、分母乘分母的规则，或者忘记将结果约分到最简形式。易错点：分子与分母的计算混淆，或者忘记约分。解决方法：强调分子乘分子、分母乘分母的规则，并在计算后提醒学生约分。二、分数乘法简便运算易错知识点带分数与假分数之间的转换错误在进行带分数乘法时，学生容易忘记将带分数转换为假分数进行计算，或者转换过程中出现错误。易错点：带分数与假分数的转换不准确。解决方法：强调带分数与假分数转换的必要性，并通过练习巩固转换技巧。简便运算技巧的应用错误学生在尝试应用简便运算技巧时，容易混淆不同的情况，或者在不适当的情况下使用这些技巧。易错点：简便运算技巧的使用不当。解决方法：明确各种简便运算技巧的使用条件和范围，并通过实例进行说明和练习。对分数基本性质的理解不足学生对分数的基本性质理解不足，导致在简便运算中无法正确应用这些性质。易错点：对分数基本性质的理解不深刻。解决方法：加强对分数基本性质的教学和练习，使学生深入理解这些性质并能够灵活应用。考点一：分数混合运算的计算方法【典例精讲】（2024六上·瑶海期末）直接写出得数。【答案】6​​​​​​​【思路点拨】除以一个数等于乘这个数的倒数；分数与分数相乘，分子与分子相乘的积做分子，分母与分母相乘的积作分母，能约分的要约分；乘百分数可以将百分数转化成分数再计算；分数的混合运算与整数相同。【变式演练01】（2024六上·确山期末）直接写得数。60÷80%=0.125××8=（+）×12=-×=【答案】60÷80%=750.125××8=（+）×12=5-×=【思路点拨】在含有百分数的计算中，可以把百分数化成小数或分数，然后进行计算即可；

分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母，能约分的要约分；

乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；0.125××8=0.125×8×；

乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；（+）×12=×12+×12=3+2=5。【变式演练02】（2024六上·淮滨月考）选择合适的方法计算。①＋8×②×－×③－86×④36×（＋－）【答案】解：＋8×

=＋

=1

×－×

=×（－）

=×

=

－86×

=12－（87－1）×

=12－87×＋1×

=12－11＋

=1

36×（＋－）

=36×＋36×－36×

=16＋30－10

=46－10

=36【思路点拨】整数乘法分配律推广到分数：a（b＋c）=ab＋ac

第一题：没有括号，不同级运算，先算乘法，再算加法；

第二题：有相同因数，可以使用乘法分配律的逆运用进行简便运算；

第三题：因为分数较大，可以想到约去分母，而因数86只需要写成87－1就可以利用乘法分配律进行简便运算；

第四题：通过观察可知括号外的数是括号内分数的分母的倍数，因此利用乘法分配律去掉括号后计算将更简便。考点二：分数混合运算中单位“1”的量连续增加或减少问题【典例精讲】（2024六上·坪山期末）一条6米长的彩带，先剪去，再剪去米，还剩（）米。A．5.2 B．4.8 C．3.2 D．1.2【答案】C【规范解答】解：先剪去的长度：6×=2.4（米）

还剩的长度：6-2.4-=3.2（米）

故答案为：C。

【思路点拨】彩带长×=第一次剪去的长度，彩带长-第一次剪去的长度-第二次剪去的长度=还剩的长度。【变式演练01】（2024六上·东源期末）两根同样长的铁丝，第一根剪去m，第二段剪去，（）剩余的铁丝长。A．第一段 B．第二段 C．一样 D．无法比较【答案】D【规范解答】解：因为两根铁丝的总长未知，所以剩余的长度无法比较大小。

故答案为：D。

【思路点拨】剩下的长度=铁丝的总长-用去的长度，因为两根铁丝的总长未知，所以剩余的长度无法比较大小。【变式演练02】（2024六上·慈溪期末）两条同样长2米的绳子，第一条截去米，第二条截去全长的，这两条绳子剩余的部分一样长。（）【答案】错误【规范解答】解：第一条：2－=（米）

第二条：2×（1-）

=2×

=（米）

>

所以第一条绳子剩余的部分比第二条长。

故答案为：错误。

【思路点拨】“第一条截去米”中的“”是具体的长度，全长－截去的长度=剩余的长度；

“第二条截去全长的”中的“”表示把绳子全长看作单位“1”平均分成5份，截去的占其中的2份，所以：1－截去的份数=剩余部分占全长的份数，全长×（1－截去的份数）=剩余的长度；最后比较两条绳子的剩余长度即可解答。【变式演练03】（2023六上·丘北月考）一桶水有5L，先用去，又用去了L，还剩4.6L。（）【答案】错误【规范解答】解：5×（1-）-

=4-

=3.5（L）

故答案为：错误。

【思路点拨】这桶水先用去的升数=这桶水的升数×先用去几分之几，所以还剩的升数=这桶水的升数-先用去的升数-再用去的升数。考点三：结合线段图解决实际问题【典例精讲】（2024六上·海口期末）看图列式计算。【答案】解：20×（1+）＝20×＝24（人）【思路点拨】女生的人数=男生的人数×（1+女生比男生多几分之几），据此列式作答即可。【变式演练01】（2023六上·期末）看图列式计算。【答案】解：168×（1＋）＝168×＝216（t）【思路点拨】已知白菜的重量和土豆的重量比白菜多，求土豆有多少吨。把白菜的重量看作单位“1”，白菜的重量×（1+土豆的重量比白菜多的分率）=土豆的重量。【变式演练02】（2023六上·郯城月考）看图列式计算。（每题3分，共6分）（1）（2）【答案】（1）解：75×（1＋）

=75×

=125（朵）（2）解：140××

=100×

=50（棵）【思路点拨】（1）玫瑰花的朵数=菊花的朵数×（1＋多的分率）；

（2）松树的棵数=柳树的棵数×，其中，柳树的棵数=杨树的棵数×。考点四：求比一个量多几分之几和少几分之几的问题【典例精讲】（2024六上·沐川期末）算式20×（1－）可以解决下面的（）问题。A．一条绳子用去20m，用去的比剩下的少，剩下多少米？B．一条绳子长20m，用去了m，还剩下多少米？C．一条绳子长20m，用去它的后，还剩下多少米？D．一条绳子长20m，另一条绳子的长度是它的，另一条绳子长多少米？【答案】C【规范解答】解：A项中，求剩下多少米，列式是：20÷（1-）；

B项中，求还剩下多少米，列式是：20-；

C项中，求还剩下多少米，列式是：20×（1-）；

D项中，求另一条绳子长多少米，列式是：20×。

故答案为：C。

【思路点拨】A项中，剩下的长度=用去的长度÷（1-用去的比剩下的少几分之几），据此列式作答即可；

B项中，还剩下的长度=绳子的长度-用去的长度，据此列式作答即可；

C项中，还剩下的长度=绳子的长度×（1-用去几分之几），据此列式作答即可；

D项中，另一条绳子的长度=这条绳子的长度×另一条绳子的长度是这条绳子的几分之几，据此列式作答即可。【变式演练01】（2023六上·福田月考）红球的个数比白球多，白球比红球少（）。A． B． C． D．【答案】B【规范解答】解：÷（1+）

=÷

=

故答案为：B。

【思路点拨】把白球看作单位“1”，红球就是（1+）。求一个数比另一个数少几分之几，方法是：两个数的差÷比后面的数。【变式演练02】（2024六上·天台期末）比30吨多是吨。56平方米比平方米少【答案】55；64【规范解答】解：30×（1+）

=30×

=55（吨）

56÷（1-）

=56÷

=64（平方米）

故答案为：55；64。

【思路点拨】求比一个量多几分之几是多少，用这个量×（1+几分之几）

一个量比另一个量少几分之几，那么另一个量=这个量÷（1-几分之几）。【变式演练03】（2024六上·英山期末）m比24m多；60kg比kg少40%；75m增加是m。【答案】28；100；90【规范解答】解：24×（1+）

=24×

=28（m）

60÷（1-40%）

=60÷60%

=100（kg）

75×（1+）

=75×

=90（m）

故答案为：28；100；90。【思路点拨】求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算，这个数×（1+几分之几）=对应的数；

已知比一个数少百分之几的数是多少，要求这个数，用除法计算，一个数÷（1-百分之几）=这个数；

求一个数增加几分之几是多少，用乘法计算，一个数×（1+几分之几）=对应的数。考点五：较复杂的分数乘法混合运算应用题【典例精讲】（2024六上·天台期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棒（尺，中国古代长度单位），今天截取它的一半，明天接着截取它剩下的一半，即这样一直取下去，永远也取不完。照这样计算，取完3天后，这根木棒还剩下尺。【答案】【规范解答】解：1×（1-）=（尺）

×（1-）=（尺）

×（1-）=（尺）

故答案为：。

【思路点拨】取完1天后还剩下的长度=木棒的长度×（1-截取几分之几），取完2天后还剩下的长度=取完1天后还剩下的长度×（1-截取几分之几），取完3天后还剩下的长度=取完2天后还剩下的长度×（1-截取几分之几），据此作答即可。【变式演练01】（2024六上·丹江口期末）甲乙丙三个小组共植树144棵，甲组植了总数的，乙组和丙组植树的棵数之比是5∶3，丙组植了多少棵树？（4分）【答案】解：144×（1-）

=144×

=80（棵）

80×=30（棵）

答：丙组植了30棵树。【思路点拨】乙组和丙组植树的棵数=甲乙丙三个小组共植树的棵树×（1-甲组植了总数的几分之几），所以丙组植树的棵树=乙组和丙组植树的棵数×，据此代入数值作答即可。【变式演练02】（2024六上·蒲城月考）某村收获的小麦放在甲、乙两个仓库，已知甲、乙两个仓库共有小麦400吨，甲仓库运出100吨后，甲仓库剩余小麦质量是乙仓库的，原来甲、乙两仓库各有小麦多少吨？【答案】解：400－100=300（吨）

3＋2=5

300×=180（吨）

300×＋100

=120＋100

=220（吨）答：甲仓库有小麦220吨、乙仓库有小麦180吨。【思路点拨】根据“甲仓库运出100吨后”可知甲、乙两个仓库现有小麦400－100=300（吨），

再根据“甲仓库剩余小麦质量是乙仓库的”可知：甲仓库剩余小麦占2份，乙仓库占3份，两个仓库现有小麦一共平均分成3＋2=5份，那么根据分数的意义可知甲仓库剩余小麦占两个仓库现有小麦总量的，乙仓库小麦占两个仓库现有小麦总量的，因此，两个仓库现有小麦×乙仓库占的份数=乙仓库原有小麦数量，两个仓库现有小麦×甲仓库剩余小麦占的份数=甲仓库剩余小麦数量，甲仓库剩余小麦数量＋甲仓库运出的小麦数量=甲仓库原有小麦数量。考点六：分数乘法混合运算简便运算的计算【典例精讲】（2024六上·三门期末）递等式计算。【答案】解：

=÷

=

=0.75+0.2

=0.95

=（+）×

=1×

=

=7.2×-7.2×

=4-2.7

=1.3

=（2.5×0.4）×（×8.5）

=1×

=

=20÷[×]

=20÷=60【思路点拨】在没有小括号，只有乘除法的计算中，要按照顺序从左往右依次计算；

在没有小括号，既有乘除法，又有加减法的计算中，要先算乘除法，再算加减法；

乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；

小数的连乘计算中，可以把乘起来是整数的数利用乘法交换律和结合律进行简便计算；

在既有小括号，又有中括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。【变式演练】（2024六上·郓城期末）脱式计算，能简算的要简算。【答案】解：

=÷

=

=×（+）

=×

=

=÷[×]

=÷

=

=÷+

=+=【思路点拨】在没有小括号，只有乘除法的计算中，要按照顺序从左往右依次计算；

乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；

在既有小括号，又有中括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的；

在有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。考点六：判断简便运算算式中运用的运算律【典例精讲】（2023六上·上思）计算时，运用（）可以使计算简便。A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律【答案】C【规范解答】解：（＋）×45

=×45＋×45

=20＋6

=26，应用乘法分配律简便运算。

故答案为：C。

【思路点拨】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加；计算（＋）×45时，括号里面的两个数分别与45相乘后，再把所得的积相加，是应用乘法分配律简便运算的。【变式演练01】6×-=×（6-1）应用了乘法分配律。（）（判断正误）【答案】正确【规范解答】解：6×-

=6×-×1

=×（6-1），应用了乘法分配律。

故答案为：正确。

【思路点拨】计算6×-时，可以先用乘（6-1），应用了乘法分配律。【变式演练02】（2022六上·镇原期中）计算87×=（86+1）×=86×+时，运用了乘法分配律。（）（判断正误）【答案】正确【规范解答】解：这个计算过程用的是乘法分配律。

故答案为：正确。

【思路点拨】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），据此作答即可。【变式演练03】（2023六上·临漳月考），这是运用了乘法律；，这是运用了乘法律。【答案】交换；分配【规范解答】解：第一个算式运用了乘法交换律；

第二个算式运用了乘法分配律。

故答案为：交换；分配。【思路点拨】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；

乘法分配律：一个相同的数分别同两个不同的数相乘，积相加，等于这个相同的数乘另外两个不同数的和。考点七：比较分数乘法简便运算算式结果大小【典例精讲】（2023六上·钱塘）在横线上填上“>、<或=”。4.8×（）4.8×【答案】>；>【规范解答】解：因为＜1，所以＞；

4.8×（）=4.8×＋4.8×，因为4.8＞1，所以4.8×（）＞4.8×。

故答案为：＞；＞。

【思路点拨】一个数（0和负数除外）除以小于1的数，所得的商大于原来的数；反之，商小于原来的数；一个数（0和负数除外）乘小于1的数，所得的积小于原来的数，反之，积大于原来的数。

【变式演练】（2023六上·惠阳月考）在横线里填上“>”“<”或“=”。25×（1-）25×1-24×24×（）【答案】>；<；>；＜【规范解答】解：×（1+）=×=＜，＞，所以×（1+）＞；

25×（1-）=25×=10，25×1-=24，所以25×（1-）＜25×1-；

++＞，＜，所以++＞；

24×（+）=24×+24×，所以24×+＜24×（+）。

故答案为：＞；＜；＞；＜。【思路点拨】先计算，再根据计算的结果比较大小。基础达标练1．（2024六上·平湖期末）如下图，要求一共有多少册？列式错误的是（）。A．360÷8 B．360÷5×8 C．x=360 D．360×(1-)【答案】B【规范解答】解：每份是：360÷5=72(册)总册数：72×8=576(册)列成综合算式就是：360÷5×8=576(册)故答案为：B。【思路点拨】由图可知，全部平均分成8份，360册占了其中的5份，因此可以先用除法求出每份是多少册，再乘8就是总册数。2．（2024六上·天台期末）算式：，这一过程运用了（）。A．乘法结合律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．加法分配律【答案】C【规范解答】解：运用了乘法分配律。故答案为：C。【思路点拨】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），据此作答即可。3．（2024六上·坪山期末）下面各式中，与×10的值不相等的是（）。A．（+）×5 B．×5+3C．×9+ D．×9+1【答案】D【规范解答】解：×10=6；A项：（＋）×5=×5=6；B项：×5＋3=3＋3=6；C项：×9＋=×（9＋1）=×10=6；D项：×9＋1=5.4＋1=6.4。故答案为：D。【思路点拨】A项：先算括号里面的，再算括号外面的；B项：先算乘法，再算加法；C项：运用乘法分配律简便运算；D项：先算乘法，再算加法。4．（2023·祁阳）1立方米的水结成冰，体积比水增加，这块冰再融化成水，休粉减小。（）（判断正误）【答案】正确【规范解答】解：水结成冰的体积：1×（1+）=（立方米），冰再融化成水减少的体积：（-1）÷=×=，原题说法正确。故答案为：正确。【思路点拨】求比一个数多几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1+多的几分之几），据此求出冰的体积；求一个数比另一个数少几分之几，方法是：两个数的差÷比后面的数；据此求出冰再融化成水减少的体积。5．（2023六上·汉川期中）一件商品，先涨价，后又降价，价格不变。（）（判断正误）【答案】错误【规范解答】解：1×（1＋）×（1-）=×=＜1，价格降低。故答案为：错误。【思路点拨】把这件商品的原价看作单位“1”，现价=原价×（1＋涨价的分率）×（1-降价的分率），然后和原价比较大小。6．30米剪去它的，又增加剩下的，结果还是30米。（）（判断正误）【答案】错误【规范解答】解：30-30×=30-15=15（米）15＋15×=15＋7.5=22.5（米）。故答案为：错误。【思路点拨】结果还剩下的米数=第一次剩下的米数＋第一次剩下的米数×增加的分率；其中，第一次剩下的米数=30米-30×剪去的分率。7．（2024六上·萧山月考）小明一家都很喜欢吃糍粑，小明吃了千克的糍粑，妈妈比小明多吃了，爸爸比小明多吃了千克，妈妈吃了千克，爸爸吃了千克。【答案】；【规范解答】解：×（1+）=×=（千克）；+=（千克）。故答案为：；。【思路点拨】妈妈吃的质量=小明吃的质量×（1+妈妈比小明多吃几分之几）；爸爸吃的质量=小明吃的质量+爸爸比小明多吃的质量。8．（2024六上·天台期末）一项工程，如果甲队单独做，10天完成；如果乙队单独做，15天完成，甲乙两队合做3天后，还剩下这项工程的；在这里，算式能解决的问题是。【答案】；甲乙两人合作完成这项工程的需要的天数【规范解答】解：1-（+）×3=1-=；算式能解决的问题是：甲乙两人合作完成这项工程的需要的天数。故答案为：；甲乙两人合作完成这项工程的需要的天数。【思路点拨】把这项工程看成单位“1”，那么甲乙两队合做3天后，还剩下这项工程的几分之几=1-两队每天一共完成这项工程的几分之几×3；+表示两队每天一共完成这项工程的几分之几，那么能解决的问题是：甲乙两人合作完成这项工程的需要的天数。9．（2023六上·如皋月考）一块长方形菜地，宽是3米，长比宽多，长是米。若长增加，宽增加，则现在的面积是原来菜地面积的；若长增加，宽减少。则现在的面积与原来菜地的面积的比是。【答案】4；；1：1【规范解答】解：3×（1＋）=3×=4（米）；4×3=12（平方米）4×（1＋）=4×=5（米）3×（1＋）×5=3××5=20（米）20÷12=；4×（1＋）=4×=6（米）3×（1-）=3×=2（米）（6×2）：12=1：1。故答案为：4；；1：1。【思路点拨】求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算；分别计算出变化后长方形的长、宽，长方形的面积=长×宽，然后求出面积，再写出比。10．（2024六上·深圳期末）学校的阅读角准备补充一些书籍，其中科普类书籍购买了240本，文学类书籍的数量比科普类多，学校采购了多少本文学类书籍？【答案】解：240×（1+）=240×=336（本）答：学校采购了336本文学类书籍。【思路点拨】根据条件可知，把科普类的数量看作单位“1”，科普类的数量×（1+）=文学类的书籍数量。11．（2024六上·亭湖期末）中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108将，其中正将占总数的，其余是副将。这108将中男将105员，女将3员。（1）副将有多少员?（2）小莉根据上面的信息，解决了一个问题，下面虚线方框里是她列的算式：根据这道算式，你认为小莉解决了什么问题？写在下面的横线上。【答案】（1）解：108×（1－）=108×=72（员）答：副将有72员。（2）女将比男将少几分之几或女将比男将少百分之几？【规范解答】解：（2）105-3表示女将比男将少的部分，然后除以105，表示女将比男将少几分之几或女将比男将少百分之几？故答案为：女将比男将少几分之几或女将比男将少百分之几？【思路点拨】（1）副将的人数=梁山好汉×（1-正将占总数的几分之几），据此代入数值作答即可；（2）105表示男将，3表示女将，105-3表示男将比女将多的人数，所以（105-3）÷105解决的问题是女将比男将少几分之几或女将比男将少百分之几？能力拔高练1．（2024六上·连南期末）学校合唱队有男生24人，女生人数比男生多。女生有（）人。A．32 B．30 C．16 D．8【答案】A【规范解答】解：24×(1+)=24×=32(人)故答案为：A。【思路点拨】女生人数比男生人数多，是把男生人数看作单位“1”，那么女生人数就是男生人数的(1+)，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。2．（2023六上·钱塘期末）笑笑同学在计算20-n×时，错误地计算成了(20-n)×，比正确的得数少（）A．10 B．8 C．15 D．4【答案】B【规范解答】解：20-n×-（20-n）×=20-n×-20×＋n×=20-12=8。故答案为：B。【思路点拨】计算（20-n）×时，运用乘法分配律，（20-n）×=20×＋n×，然后再相减。3.（2023六上·增城期末）一双鞋的原价是200元，先将它的价格涨价，然后又降低，