专题4.1 指数-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题4.1指数一、单选题1．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2560元的手机，两年后价格可降为（

）A．1440元 B．900元 C．1040元 D．810元【答案】D【分析】两年后计算机的价格降了4次，降一次后价格变为价格不变前的，进而可得的关系式，求解可得答案．【详解】根据题意，计算机的价格降了4次，每次价格降低，即降一次后价格变为价格不变前的，故降价4次以后的价格为2560×=810元，即两年后价格可降为810元．故选：D．2．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（

）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【分析】令，即可求出定点坐标；【详解】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.【点睛】本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：函数，，．故选：．4．化简的值是（

）A． B．－C．± D．－【答案】B【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果.【详解】＝＝－.故选：B.【点睛】本题考查根式的运算，属简单题.5．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数幂和根式的关系即可得到结论．【详解】解：因为，所以故选：C6．已知,将表示成分数指数幂,其结果是A． B． C． D．【答案】C【解析】由根式与分数指数幂的互化规则对所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项.【详解】因为,所以.故选：C.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则.7．已知，则的值为（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式进行计算.【详解】，所以.故选：D8．若，则的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果.【详解】，而，故选：.9．银行贷款年还款，其中A是贷款额度，r是年利率，n是贷款年数.小李在某银行贷款100000元用于买房，年利率是5%，每年需归还23098元，则小李的贷款年数为（

）（参考数据：，，）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】先将已知数据代入题设公式化简得到，最后与参考数据比较即可得解.【详解】由题意得：，化简得，∴由参考数据可得：.故选：D.10．在下面四个等式运算中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数幂的运算法则依次计算判断得到答案.【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误.故选：B.11．已知，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意判断的符号，再由即可得解.【详解】当时，，，此时；当时，，，此时.，因此.故选：C.【点睛】本题考查了分数指数幂运算法则的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12．方程的解为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】设，转化为求一元二次方程的正实数根，先求出的值，进而得出方程的解．【详解】设，即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的解，考查换元法求方程根，考查指数的运算，属于基础题．13．设实数，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】和中间值和1比较，得到大小关系.【详解】，，，且，，故选C.【点睛】本题考查指数和对数化简，以及比较大小，一般指对幂函数比较大小，可以根据单调性比较，也可以根据中间值比较大小.14．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数幂运算，化简后结合指数函数性质可比较大小；结合中间值法可比较大小，进而得解.【详解】，，所以，即，而，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查了指数幂的化简运算，指数函数的性质比较大小，属于基础题.15．已知，，则写成负分数指数幂的形式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】两边幂指数都乘以并化简．【详解】由，可得.故选：A．16．下列各式计算正确的是()A．(－1)0＝1 B． C． D．a6÷a2=a3【答案】A【分析】根据指数幂的运算公式依次判断即可.【详解】A.(－1)0＝1正确；故原式不正确；C.D.a6÷a2=a4故答案为A.【点睛】这个题目考查了指数幂的运算以及化简，较为简单.17．已知是偶函数，且当时，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．【详解】是偶函数，且当当时．若，，故选：B18．若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将都化为的形式，利用在上单调递增，判断的大小关系可得结果.【详解】解：，，，令，则在上单调递增，所以.故选：A19．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合已知条件，可以得到函数的周期性，再结合奇偶性可以将缩小到的区间内，从而求出函数值【详解】因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以，所以故选：C20．若实数x，y满足，则的值可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】令，由条件用表示，结合基本不等式求的取值范围即可.【详解】因为，又，所以，设，则，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，，所以的取值范围是故选：C.二、多选题21．下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用根式的运算直接求解.【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.22．下列各式的值相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】BC【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系，以及负分数指数幂与正分数指数幂的关系即可求解.【详解】对于A，，，不符合题意；对于B，，符合题意；对于C，，符合题意；对于D，，，不符合题意．故选:BC．23．下列判断正确的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）【答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.【详解】对于选项A，，A错误；对于选项B，因为，所以，B正确；对于选项C，，C正确；对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.24．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断【详解】易知x>0，A正确；，B正确；，C错误；,D错误故选：AB25．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断．【详解】，故A错；，故B正确；与不同，故C错；，故D正确.故选：BD.26．[多选题]若（），则下列说法中正确的是（

）A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为xC．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为【答案】BD【分析】根据分数指数幂与根式的转化，分n为奇数，偶数讨论可得解.【详解】当n为奇数时，a的n此方根只有x；当n为偶数时，由于，所以a的n次方根有2个，为．故选：BD27．已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由，可得：；；；，即可判断出正误．【详解】解：，，因此A正确；，因此B不正确；，，解得，因此C不正确；，因此D正确．故选：AD．28．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C．为定值 D．【答案】ACD【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析f(x)正负情况，化简求解.【详解】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.对于A，，故为偶函数，A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当时，，；当时，，，所以，故D正确.故选：ACD.29．已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据各选项式子的结构变形求解即可．【详解】解：，；，；故A正确，B错误；；，，故C正确，D错误．故选：AC．30．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.【详解】对于A，，A正确；对于B，令，，则，，，，B错误；对于C，为定义在上的增函数，，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.三、填空题31．碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的________.【答案】/0.25【分析】根据半衰期的定义求解即可.【详解】根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的.故答案为：.32．计算________.【答案】【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】，故答案为：.33．若，，则____.【答案】/【分析】直接根据指数幂的运算即可求出答案.【详解】解：，，.故答案为：.34．计算：(1)()2＝____；(2)()3＝___；(3)＝____;

(4)＝___；(5)＝_____

(6)＝____；(7)＝____;

(8)＝____.【答案】11-82/3/1.5【分析】（1）当n为偶数时，；（2）当n为奇数时，；（3）化为分数指数幂进行计算；（4）当n为偶数时，；（5）当n为偶数时，；（6）化为分数指数幂进行计算；（7）化为分数指数幂进行计算；（8）化为分数指数幂进行计算.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.故答案为：11；-8；；2；；3；；35．________.【答案】【分析】利用分母有理化化简即得解.【详解】解：原式=.故答案为：.36．,则的最小值是________.【答案】【分析】首先根据分数指数幂的性质得到,再利用二次函数求解即可.【详解】由已知得,,所以,所以的最小值是.故答案为:.37．化简的结果是________．【答案】0【分析】根据指数幂的运算性质可得解【详解】解：，故答案为：038．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）.若f（x）为奇函数，则f（x）=________【答案】【分析】利用列方程，化简求得，从而求得.【详解】若函数为奇函数，则，对任意的恒成立，.所以.故答案为：39．已知，则_________.【答案】9【分析】先由根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算可得，再将代入运算即可得解.【详解】解：，，故答案为9．【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.40．若=1-2a，则a的取值范围是_____.【答案】【分析】先利用二次根式的性质得到，再利用绝对值的几何意义求解.【详解】因为=1-2a，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简以及绝对值的几何意义，属于基础题.四、解答题41．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】直接计算根式的值即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.42．（1）求值：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）18.【分析】(1)根据指数幂的运算公式进行计算即可；（2）根据立方和公式和完全平方公式进行化简.【详解】（1）原式=；（2）已知,，而,代入上式得到：.43．化简（1）（2）【答案】（1）；（2）-2.【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.（2）利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式．（2）原式．44．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.【答案】－.【分析】先把分母有理化化简，然后由根与系数的关系求出a＋b＝12，ab＝9，再计算出a－b的值，代入化简后的式子中可得结果.【详解】解：＝＝.①∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，∴a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6.③将②③代入①，得＝＝－.【点睛】此题考查分数指数幂的化简求值，考查了根与系数的关系，属于基础题.45．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）【分析】先将指数幂形式转化为根式，依次计算即可【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）46．计算：(1)；(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可；(2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解.【详解】（1）（2），，，，.47．计算下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）