专题3.5 第三章：函数的概念与性质-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题3.5第三章：函数的概念与性质一、单选题1．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于()A．－7 B．－2 C．7 D．27【答案】C【分析】根据函数解析式，分别求得、的函数值，再作差就可以.【详解】依题意，，所以，选C.【点睛】本小题考查分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于基础题.2．若，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.【详解】f（1）＝x+，设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．故选：.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.3．已知函数f(x)由下表给出，则等于（

）x1234f(x)2341A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根据表格数据，先求，再求即可.【详解】∵f（3）＝4，∴＝f(4)＝1.故选：.【点睛】本题考查函数值的求解，属简单题.4．设f(x)=，则f(5)的值是（

）A．24 B．21 C．18 D．16【答案】A【分析】利用分段函数的解析式，代入求解即可.【详解】由f(x)=，，，故选：A【点睛】本题考查了分段函数求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】如图，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解．【详解】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．【点睛】本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：因为，函数图象如下所示：由函数图象可知，当时，函数取得最大值故选：C7．已知一个等腰三角形的周长为，底边长关于腰长的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，从而可求得底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形任意两边之和大于第三边可求出的取值范围【详解】解：由题意得，，即，由，得，解得，故选：D8．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接代入化简求解即可.【详解】解：因为，所以．故选：B【点睛】此题考查由已知函数的解析式求复合函数的解析式，属于基础题.9．2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过元32元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元【答案】A【分析】设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入.【详解】设此人的工资为元，纳税额为，则有，当时，，故当（元）时，，令，则（元），故选A.【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题.10．设则函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据定义化简函数解析式，再根据二次函数性质确定对应单调区间.【详解】由得，解得或，当或时，，此时函数的递增区间为，由得，解得，当时，此时函数的递增区间为，综上所述函数的递增区间为.故选：D【点睛】本题考查函数新定义、分段函数单调区间、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，函数的图像如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】先由题意，以及函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果.【详解】当时，由得；由函数图像可知，；由函数是定义在上的奇函数，所以当时，，此时也满足；综上，不等式的解集为.故选A【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.12．已知是定义在上的单调递减函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.【详解】∵是定义在上的单调递减函数，且，则，解得故选：D..13．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，函数，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数满足，所以函数为偶函数，当时，函数为上的单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，为偶函数，当时，函数为单调递减函数，不符合题意，故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】采用排除法，根据函数奇偶性，可知该函数为奇函数，然后取特殊值，可知结果.【详解】由题可知：函数的定义域为由，所以故该函数为奇函数，排除A,C取特殊值，则，故D正确，B错故选：D【点睛】本题考查利用函数的性质判断函数的大致图像，此种题型常考虑：定义域、奇偶性、单调性、对称性、最值、特殊值，考验对问题的分析能力，属基础题.15．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可．【详解】解：①当时，，，解得：，，②当时，，，解得：，，综上所述，实数的取值范围是：，．故选：．16．下列函数中，表示同一个函数的是A．与B．与C．与D．与【答案】D【分析】对于A，B，C三个选项中函数定义域不同，只有D中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论．【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；对于C，定义域为，的定义域为R，定义域不同，故不为同一函数；对于D，与定义域和对应法则完全相同，故选D.【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题．17．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．考点：函数模型的应用．18．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，且，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，又由当时，，则.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.【详解】解：因为函数，若对一切，都成立，所以，对一切成立，令，所以，故选：C【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.20．已知函数，其中表示不超过x的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（

）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M中至少含有8个元素.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先对分两段和化简，再对各项分析判断正误：对①，由，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；对②，由题中的对应法则，求出集合，判断正误；对③，计算得到其周期性，计算得到，判断正误；对④，综合①②③的分析，判断正误.【详解】当时，；当时，，则对①，有，则或，得，即定义域为，故①正确；对②，当时，成立；当时，成立；当时，成立，所以故②项正确。对③，，，，一般地即有故③错误；对④，由①可知,所以则所以，由②知,对恒有所以则，由③知，对恒有所以综上所述,，所以中至少含有8个元素，故④正确。故选：C.【点睛】本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力，难度较大.二、多选题21．若函数的最小值为3，则实数a的值可能为（

）A． B． C．5 D．8【答案】BD【分析】按与的大小分类讨论，分类后再按绝对值定义分类去掉绝对值符号化函数为分段函数形式，求得最小值，从而得出结论．【详解】当，即时，有易得，当时，，可得．当，即时，有易得，当时，，可得．综上可得，所求a的值为或8．故选：BD【点睛】本题考查含绝对值函数的最值问题，解题方法按绝对值定义分类讨论去绝对值符号，化函数为分段函数形式，再求最值．22．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（

）A． B．y=1-x2 C． D．【答案】AD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；故选：AD．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．23．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为（

）A． B．1C．2 D．3【答案】BD【分析】根据常见幂函数奇偶性逐一判断选择.【详解】当α＝时，幂函数y＝的定义域为[0，＋∞)，A不符合题意；当α＝1时，幂函数y＝x的定义域为R且为奇函数，B符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选：B、D．【点睛】本题考查常见幂函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.24．函数(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是（

）A．最小值为 B．最大值为4C．无最大值 D．无最小值【答案】BD【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到．故选：BD25．关于函数，下列结论正确的是（

）A．的图象过原点 B．是奇函数C．在区间上单调递减 D．是定义域上的增函数【答案】AC【分析】作出的图像，根据图像逐一判断即可.【详解】解：，将的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到，图像如下：观察图像可得A,C正确，故选:AC.【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质的判断，如果能画出函数图像，根据图像观察则快速而准确.26．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是（

）A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)<g(a)－g(b)C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)D．f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)【答案】AC【分析】根据的单调性和奇偶性，结合题意，即可比较大小，从而判断结果.【详解】∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)．∵a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>0，且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴A正确，B不正确．又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，而f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)>0，∴C正确，D不正确．故选：.【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，属综合基础题..27．函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【分析】根据幂函数单调性，以及做差法比较大小，结合反例，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，因为在上递增，若，则，故A正确；B选项，时等价于，取，则，故B错，C选项，时等价于，取，故C错，D选项，，，，即故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查幂函数图像的性质，作差法比较大小，属于常考题型.28．下列命题正确的有（

）A．函数在其定义域上是增函数；B．函数是奇函数；C．函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；D．若，则【答案】CD【分析】根据反比例函数的单调性，可判定A；根据函数的奇偶性的定义，可判定B；根据函数的图象的平移变换，可判定C；根据指数函数的图象与性质，可判定D.【详解】对于A中，根据反比例函数的性质，可得函数的单调递增区间为，所以函数在其定义域上是增函数是不正确的；对于B中，由函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以不正确；对于C中，函数向右平移2个单位，可得，所以是正确的；对于D中，根据指数函数的图象与性质，若，则，所以是正确的.故选：CD.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性、奇偶性，函数的图象的平移变换，以及指数函数的图象与性质等知识点的应用，属于基础题.29．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③.则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．，，使得【答案】CD【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.【详解】根据题中条件知，函数为R上的偶函数；根据题中条件知，函数在上单调递增.根据函数的单调性得，，选项A错误；是R上的偶函数，且在上单调递增时，，解得，选项B错误；或解得或，即时，，选项C正确；根据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减在R上有最小值，故选项D正确.故选：CD.30．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BC【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，结合a是正整数，所以BC正确.故选：BC.三、填空题31．已知函数，若，则___________．【答案】0或2【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，∴m＝0或m＝2,故答案为：0或2.【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.32．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为________．【答案】－3或【分析】根据二次函数的对称轴，结合参数的取值对单调性的影响，即可容易由最值求参数值.【详解】f(x)的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，f(x)max＝f（2）＝4，解得a＝；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.综上，得a＝或a＝－3.故答案为：或.【点睛】本题考查由二次函数的最值求参数值，属基础题.33．若函数是奇函数，则______．【答案】【解析】由函数是奇函数，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是奇函数，所以，解得，当时，函数满足，所以.故答案为:.34．函数的定义域为，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得答案.【详解】的定义域为是使在实数集上恒成立.若时，恒成立，所以满足题意，若时,要使恒成立,则有解得.综上,即实数a的取值范围是.故答案为:.35．若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．【答案】【分析】先利用奇函数的定义求出时的解析式，再结合二次函数的性质求解即可【详解】当时，，∵时，，∴，又为奇函数，∴，∴，因为时，，所以当时，取得最大值.故答案为：36．函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是________.【答案】【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果.【详解】解:函数的图像如图.由图像可知要使函数是区间上的增函数，则.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.37．已知定义在上的函数满足，且当时，．若对定义域上任意都有成立，则的最小值是_______．【答案】2【分析】由题意可先算出定义在中的函数表达式,再由求的最大值即可.【详解】由题意,当时,,故由且当时，有,即,即.又当时为减函数,故当,,又当时,为增函数,故当时,,故在上,,又对定义域上任意都有成立,故的最小值是2.故答案为2【点睛】本题主要考查根据不同区间上的函数之间的关系,求解不同区间上的函数表达式问题.方法是将所求的区间上的定义域凑到满足区间条件的定义域中去,从而利用已知的函数表达式求所求区间的函数表达式.38．设偶函数f(x)满足：，且当时时，，则______．【答案】【解析】利用初始值和递推关系，逐渐求得，，，，，最后求得再利用偶函数的性质得出所求.【详解】解：，，,,,,∵f(x)是偶函数，．故答案为：．【点睛】本题考查利用抽象函数的解析式求函数值，涉及偶函数的性质，属中高档题，关键在于利用初始值和递推关系，逐渐递推计算.39．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，恒有成立，当时，，则______.【答案】【解析】由成立，得到是周期为4的函数，得到，结合函数的奇偶性和函数的解析式，分别求得的值，即可求解.【详解】由题意，函数对任意，恒有成立，所以函数是以4为周期的周期函数，所以，又由函数是定义在的奇函数，且时，，，因为，令，可得，解得，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的应用，其中解答中根据题意求得函数是以4为周期的周期函数，在结合函数的奇偶性和函数的解析式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.40．记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．【答案】【分析】由题意有解，即有交点，画出函数的简图，数形结合即得解【详解】由题意有解，即有交点令当当故画出函数的简图，如下图所示：数形结合可知，当时，故若有交点，则实数m的取值范围是故答案为：四、解答题41．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为，，（2）9千万元【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用，所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元42．已知函数（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据分段函数的表达式，即可得到函数值；（2）根据函数的表达式及，即可得到.【详解】（1），，，；（2）当时，，；当时，，；当时，，（舍去）．综上，或.【点睛】本题考查分段函数，解题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．43．已知函数．（1）若为偶函数，且，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）要使函数在区间上单调，求实数的取值范围．【答案】(1)的最小值为，最大值为．;(2)【分析】（1）先由函数为偶函数，得到，由，得到，根据二次函数单调性，即可求结果；（2）根据函数解析式，得到对称轴为直线，分别讨论函数在给定区间单调递增和单调递减两种情况，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）由为偶函数，偶函数奇次项不存在，可得，即．由，可得，即．由的图象开口向上，且对称轴为直线，可得在上单调递减，在上单调递增，可得的最小值为，最大值为．（2）函数的图象的对称轴为直线，若在上单调递增，则，解得；若在上单调递减，则，解得．综上，可得实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查函数奇偶性求参数，以及求二次函数的最值等问题，熟记二次函数的性质，以及偶函数的概念与性质即可，属于常考题型.44．求下列函数的解析式：（1）已知二次函数满足，且；（2）已知函数满足：；（3）已知函数满足：.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；（2）设，代入化简可得函数的解析式；（3）由已知可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式.【详解】（1）设，，因为，所以，，解得，因此，；（2）令，则，，代入有，因此，；（3）由可得，解得.45．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.【答案】，函数的图象见解析，既不是奇函数也不是偶函数，在上递减.【分析】设，代入点得到函数解析式，再画出图像，判断奇偶性和单调性得到答案.【详解】依题意设，则，解得，所以.函数的图像如图，既不是奇函数也不是偶函数，函数在上递减.【点睛】本题考查了幂函数的解析式，图像，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数知识的综合应用.46．已知y=f(x)是偶函数，定义x≥0时，，（1）求f(-2)；（2）当x＜-3时，求f(x)的解析式；（3）设函数y=f(x)在区间[-5，5]上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式．【答案】（1）2；（2）；（3）=.【分析】根据偶函数定义，可得f（-2）=f（2），代入解析式即可求解．根据偶函数定义，可得f（x）=f（-x），代入即可求得x＜-3时的解析式．（3）由偶函数可得函数在[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值；对a分类讨论，讨论在对称轴两侧的单调情况及最值即可．【详解】（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；（2）当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），所以，当x＜-3时，f（x）的解析式为f（x）=-（x+3）（a+x）（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，①当a≤3时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以，②当3＜a≤7时，f（x）在与上单调递增，在与上单调递减，所以此时只需比较与的大小．（A）当3＜a≤6时，≥，所以（B）当6＜a≤7时，＜，所以g（a）=③当a＞7时，f（x）在与[3，5]上单调递增，在上单调递减，且＜f（5）=2（a-5），所以g