专题3.3 幂函数-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题3.3幂函数一、单选题1．下列命题中正确的是（

）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象不可能出现在第四象限C．幂函数的图象都经过和D．若幂函数的图象关于原点对称，则是定义域上的减函数【答案】B【解析】根据幂函数的图象及性质即可判断各选项的正误.【详解】A：函数的定义域是，故是去掉点的直线，错误.B：由幂函数图象知：不可能出现在第四象限，正确.C：函数不过，错误.D：幂函数的图象关于原点对称，则是定义域上的增函数，错误.故选：B2．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】A【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意.当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意.所以的值为.故选：A3．已知幂函数在内单调递增，则的值为（

）A．3 B． C．3或 D．-2【答案】A【分析】由幂函数的定义及幂函数的图象与性质即可求解.【详解】解：因为幂函数在内单调递增，所以，解得，故选：A.4．已知幂函数在上是减函数，则的值为（

）A．1或 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的定义和单调性求得的值.【详解】依题意是幂函数，所以，解得或.当时，在递增，不符合题意.当时，在递减，符合题意.故选：D5．已知幂函数的图象不过原点，则的值为A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【分析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值.【详解】函数是幂函数，，解得：或，当时，，过原点，不满足条件；当时，，不过原点，满足条件，.故选:A.【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.6．下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指数函数的单调性可判断A；由对数函数的单调性可判断B；由幂函数的单调性可判断C；由余弦函数值可判断D.【详解】由在上是增函数，知，故A错误；由在上是减函数，知，故B错误；由在上是减函数，知，故C正确；由，知，故D错误.故选：C【点睛】本题考查比较大小的问题，涉及到指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及余弦函数，是一道容易题.7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，幂函数的单调性求解即可.【详解】因为，，所以．故选：B8．下列四个函数中，在区间上是减函数的是A． B． C． D．【答案】B【详解】A.在上是增函数，在上是增函数，故错；B.在上是减函数，在上是减函数，故对；C.在上是增函数，在上是增函数，故错；D.在上是增函数，在上是增函数，故错；故选B.9．已知则a，b，c的大小关系是（

）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a【答案】D【解析】利用指数函数的性质，中间数0、幂函数、对数函数的单调性可得的大小关系.【详解】由指数函数性质知又为单调减函数，知又且为增函数，所以，即，故，故选：D.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于基础题.10．如果幂函数的图象经过点，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将点代入即可求解.【详解】将点代入可得，即，可得：，解得：，故选：D11．若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】本题首先可根据幂函数在上单调递减得出，然后根据奇函数性质依次判断即可.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，因为幂函数为奇函数，所以且定义域关于轴对称，若，则，不满足；若，则，满足；若，此时，，不满足，综上所述，，故选：A.12．设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.故选：C13．函数与在同一坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一次函数和幂函数的图象，依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；对选项B，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；对选项C，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；对选项D，由一次函数的图象，可得，函数的图象符合.故选：D【点睛】本题主要考查一次函数和幂函数的图象，属于简单题.14．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（

）A． B．C．或 D．以上都不正确【答案】B【分析】根据幂函数的定义和单调性即得.【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以，解得：.故选：B.15．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，解得，从而得出函数解析式，再根据幂函数的单调性即可得出结论．【详解】解：点在幂函数的图象上，∴，解得，，∴在上单调递增，又，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查幂函数的定义及其单调性的应用，属于基础题．16．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：A中函数不具有单调性；B中函数为减函数；C中函数为增函数；D中函数为增函数考点：函数单调性17．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（-2）=0，则关于x的不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为不等式组进行求解即可．【详解】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（-2）=0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0等价为或即x-1＞2或-2＜x-1＜0，得x＞3或-1＜x＜1，即不等式的解集为（-1，1）∪（3，+∞），故选D．【点睛】本题考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．18．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D19．幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（

）A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅷ D．Ⅲ和Ⅶ【答案】D【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出的图像在第一象限中经过的“卦限”【详解】在直线左侧,幂函数的指数越大月接近轴.因为,所以在左侧部分位于的右侧,即Ⅲ内;在直线右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,所以在右侧部分位于的下方侧,即Ⅶ内;综上可知,函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ和Ⅶ故选:D【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.20．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.【详解】由题意得，，故；，因，根据对勾函数得，因此；由勾股数可知，又因且，故；因此.故选：C.【点睛】指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.二、多选题21．下列四个命题中不正确的是（

）A．B．是定义域上的减函数C．和表示同一个函数D．幂函数的图象都过点（1，1）【答案】ABC【分析】根据空集，函数的单调性，以及相等函数的定义，幂函数的性质，判断选项.【详解】A.不含任何元素，所以，故A错误；B.的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误；C.的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误；D.根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确.故选：ABC22．下列关于幂函数描述正确的有（

）A．幂函数的图象必定过定点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当幂指数时，幂函数是奇函数D．当幂指数时，幂函数是增函数【答案】BD【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可．【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；故选：BD23．已知函数是幂函数，则m的值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】AC【分析】由幂函数的定义可得，且，解方程求出的值.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或.故选：AC.24．下列函数f(x)中，满足对任意有的是（

）A． B． C． D．f(x)=|x-1|【答案】ABD【解析】由题意可得只需满足函数在区间上单调递增即可.【详解】对任意有，则函数在区间上为增函数，对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选；对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选；对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选；对于D，，显然函数在区间上为增函数，故D可选；故选：ABD【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.25．下列说法正确的是（

）．A．命题“，有”的否定是“，使得”B．幂函数为偶函数C．的单调减区间为D．函数的图象与y轴的交点至多有1个【答案】AD【分析】对于A，由全称命题的否定的方法即可判断其说法正确；对于B，先由幂函数的概念化简，再利用奇偶性的判断方法判断的奇偶性；对于C，化简易得其单调递减区间；对于D，利用函数的概念即可判断其说法正确.【详解】对于A，全称命题的否定的方法：改符号，否结论，故A说法正确；对于B，因为为幂函数，所以，解得或，当时，，则，显然，故为奇函数，故B说法错误；注：此时已经判断得B错误，故不再讨论的情况；对于C，因为，由反比例函数易知的单调递减区间为，，注意两区间是分开的，不能用并集符号，故C错误；对于D，由函数的概念可知，一个自变量对应至多一个因变量，因此当时，可能没有取值，也可能只有一个取值，故的图象与y轴的交点至多有1个，故D正确.故选：AD.26．若函数是幂函数，则一定（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】BD【解析】根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，所以或，由幂函数性质知是奇函数且单调递增，故选：BD.27．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解.【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以为偶函数，且时，，由幂函数的性质知函数在上单调递增，故选项A正确；对B：，定义域为R，因为，所以为奇函数，故选项B错误；对C：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，且时，，由指数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C正确；对D：，定义域为R，因为，且，所以函数不具有奇偶性，故选项D错误.故选：AC.28．幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；【详解】解：因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD29．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据条件表示出，即可分别判断各个选项的正误.【详解】，又，即，由得，则，得，则，所以A正确；可知，，则，故C正确；对于B：∵B错；对于D：由和知与均递减，再由，的大小关系知D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查指数式和对数式的互换，考查大小的判断，属于基础题.30．已知点在幂函数的图像上，则函数是（

）A．奇函数 B．上的增函数C．偶函数 D．上的减函数【答案】BC【分析】由幂函数定义可得，将代入解析式可得，后可判断奇偶性与单调性.【详解】由题意得，因此，则点在幂函数的图像上，，则，故.则是偶函数，且在上是增函数.故选：BC三、填空题31．函数的定义域为__________.【答案】【分析】依照偶次根式大于等于0，分母不为0，列出关系式求解即可.【详解】函数解析式为，则，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，熟悉各类函数定义域的要求是解题的关键，属于基础题.32．若幂函数的图像过点，则______.【答案】【分析】设出，代入点，求出，从而求出解析式，从而求出.【详解】设，将代入，，解得：，故，.故答案为：-133．函数恒过定点______．【答案】【分析】令即可求得定点坐标.【详解】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.34．已知函数在实数集上是奇函数，且当时，，则__________．【答案】1【详解】根据题意知函数在实数集上是奇函数，则∵当当时，．∵函数在实数集上是奇函数，，．即答案为135．幂函数的单调增区间是___________【答案】【详解】由题意得单调增区间是36．幂函数在区间上是减函数，则__________.【答案】0【分析】由幂函数在上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.【详解】因幂函数在区间上是减函数，则，解得，而，则0.故答案为：037．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.【答案】0【详解】分析：由函数的奇偶性分别得，，从而得，进而得解.详解：，.由是定义在上的奇函数，可得.又是定义在上的偶函数，所以.综上可得.所以.故答案为0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：是偶函数，则，是奇函数，则，是偶函数，则，是奇函数，则.38．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么_____．【答案】【分析】根据奇函数f（0）=0，求出m的值，利用f(-1)=-f(1)即可得到答案.【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴m=-1，,∴f（-1）=-f（1）=-（-1+）=故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出m值，是解决该类问题的关键．39．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.【答案】【分析】分别计算f()和f()，解方程求出m.【详解】由f()=f()可得：，解得：故答案为：140．已知，则________．【答案】-4.【分析】根据题意，平方求得，进而得到，再根据幂函数的单调性，得到，即可求解．【详解】由，则，解得，又由因为，根据幂函数的单调性，可得，即，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查了幂函数的性质及其应用，其中解答中根据题意，求得，进而得到，再利用幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．四、解答题41．作出函数的图像.【答案】图像见解析【分析】根据幂函数的性质，作图即可.【详解】解：图像如下．42．已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)(2)．【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.（2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可.【详解】（1）因为幂函数为偶函数，所以，解得或.当时，，定义域为R，，所以为偶函数，符合条件.当时，，定义域为R，，所以为奇函数，舍去.所以.（2）因为，所以对于恒成立，等价于对于恒成立，①，②，③，综上：43．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数a的值；(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【答案】(1)；(2)在（-1，1）上单调递增，证明见解析【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证；（2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性.【详解】（1）由条件可知，所以，即，，因为是奇函数，所以，即，满足是奇函数，所以成立；（2）由（1）可知，在区间上任意取值，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.44．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由单调性确定的范围，再由奇偶性确定值；（2）由二次函数性质求解．【详解】（1）在区间上是单调增函数，即，解得.又，.当时，不是偶函数；当时，是偶函数.故函数的解析式为.（2）由（1）知，则.对任意的恒成立，，且.又，，解得.故实数c的取值范围是.【点睛】本题考查幂函数的奇偶性与单调性，考查二次函数恒成立问题．属于中档题45．在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图像，总结出一般规律：（1）和；（2）和.【答案】见解析.【分析】（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数的图像；（2）在同一平面直角坐标系中，作出函数的图像，对比两组函数解析式的特点和函数函数的图像的特征写出一般规律.【详解】解：（1）图像如图.（2）图像如下：一般规律：①幂函数图像都过点；②幂函数中，当时，它在第一象限内图像上升，是增函数；当时，它在第一象限内图像下降，是减函数.【点睛】本题考查了画幂函数的图像，考查了幂函数的性质，考查了数形结合思想.46．已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性并证明；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）减函数，证明见详解；（2）的最大值为；最小值为【分析】（1）函数在区间上是减函数，在上任取两个实数，且，最后判定的符号，得出结论；（2）利用函数在区间上的单调性可求出函数最大值和最小值；【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下：设是区间上任意两个实数，且，则，，、，，，即所以函数在区间上是减函数.（2）由（1）可知函数在区间上是减函数，所以当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为.【点睛】本题主要考查利用定义证明函数的单调性、根据函数的单调性求最值，用定义证明单调性步骤：“，任取、作差、变形、定号”，属于基础题.47．已知函数是幂函数.(1)求函数的解析式;(2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1);(2)函数为偶函数;(3)在上单调递减,证明见解析.【解析】（1）根据幂函数定义即可得的值，可得函数的解析式；（2）利用奇偶性定义即可知函数的奇偶性；（3）利用函数单调性定义即可证明函数在上的单调性.【详解】（1）因为函数是幂函数，则，解得，故．（2）函数为偶函数．证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，因为对于定义域内的任意，都有，故函数为偶函数．（3）在上单调递减．证明如下：在上任取，，不妨设，则，且，，在上单调递减.【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.48．已知函数．（1）若函数为奇函数，求实数a的值；（2）若对任意的[﹣1，1]，不等式在[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若在处取得极小值，且(0，3)，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=0.（2）m＞17（3）【分析】（1）根据函数的奇偶性的概念得到参数值；（2）原题转化为，对恒成立，对函数求导研究函数的单调性得到函数的最值进而