专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、单选题1．不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】对一元二次不等式进行因式分解，即可求得不等式的解集.【详解】对进行因式分解可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，属基础题.2．关于的一元二次不等式的解集为（）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】不等式可化为，解得，所以，不等式的解集为.故选：B．3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出集合中的不等式即可【详解】因为所以故选：D【点睛】本题考查的是集合的基本运算，较简单.4．若0<a<1，则不等式(x－a)(x－)<0的解是（）A．（a，） B．<x<a C．x>或x<a D．x<或x>a【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为0<a<1，所以，所以不等式(x－a)(x－)<0的解为（a，），故选：A【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对基础知识的灵活运用，属于基础题.5．若，则不等式的解是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据,比较与的大小关系,即可得不等式的解集.【详解】因为所以所以不等式的解集为故选:A【点睛】本题考查了含参数的一元二次不等式的解法,属于基础题.6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果.【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，所以，因为，所以，即，解得.故选:C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.7．不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得到答案【详解】解：由可得即，所以，解得或，所以不等式的解集是或，故选：D8．在R上定义运算⊙：⊙，则满足⊙<0的实数的取值范围为A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)【答案】B【详解】根据定义⊙，解得，所以所求的实数的取值范围为(-2，1)，故选B．9．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值.【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，则，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为2.故选：C.10．函数是单调函数的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为函数在上单调递增，且在上是单调函数，比较即可求解参数范围．【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，又在区间上是单调函数，所以，解得，故选：A11．下列不等式中，解集为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于ABD，举反例排除即可；对于C，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误；对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误；对于C，由得，即，解得，故其解集为，故C正确.故选：C.12．某商品在最近天内的价格与时间(单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意列式，解一元二次不等式可得结果.【详解】由日销售金额为，即，解得.故选：B13．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得或，即或.所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.14．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】，解得，故，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.15．使不等式成立的正整数的最大值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】将不等式，转化为再求解.【详解】∵，∴，∴，故不等式成立的正整数的最大值是.故选：C【点睛】本题主要考查根式不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.16．若，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】对不等式变形后，直接解一元二次不等式即可.【详解】因为，所以，由，得，解得或，所以不等式的解集为或，故选：C17．不等式的解集为（

）.A．或 B．或C．或 D．【答案】C【解析】先分解因式再解不等式.【详解】因为，所以，或，故选：C18．设集合,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再进行交集运算【详解】,故选：B【点睛】本题考查集合的运算，熟练解二次不等式是关键，是基础题19．已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．【答案】D【分析】将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答.【详解】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D20．已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用基本不等式求得的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.【详解】∵，当且仅当时等号成立，∴，即，∴.故选：D【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.二、多选题21．若对于任意，不等式恒成立，则实数a的值可能是（

）A．2 B．4 C． D．5【答案】BCD【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解.【详解】由得，解得，故不等式对于任意恒成立，则且，进而得故均符合，故选:BCD22．已知=min{，}，下列说法正确的是（

）A．在区间单调递增B．在区间单调递减C．有最小值1D．有最大值1【答案】BD【分析】作出函数的大致图象，结合图象即可求解.【详解】画出的大致图象，如图所示：由图象可知，在区间上不单调，在区间单调递减，故错误，正确，当或时，取得最大值1，无最小值，故错误，正确，故选：.23．已知不等式，下列说法正确的是（

）A．若，则不等式的解集为B．若，则不等式的解集为C．若，则不等式的解集为或D．若，则不等式的解集为【答案】BD【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．【详解】不等式，整理得，即，若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确．故选：BD．24．下列说法错误的是（）A．是的充分不必要条件B．命题“钝角比锐角大”是存在量词命题C．不等式的解集是RD．若二次函数的图象关于直线对称，则【答案】ABD【分析】对A根据与的推出关系判断；对B根据命题中的量词判断；对C根据二次函数判别式判断；对D根据二次函数对称轴公式求解.【详解】A中说法错误，是的必要不充分条件；B中说法错误，命题“钝角比锐角大”是全称量词命题；C中故说法正确；D中说法错误，若二次函数的图象关于直线对称，则.故选：ABD.25．对于函数，若存在集合，且在集合，上的值域相同，则称集合，为函数的“同族等值集合”，若，则下列集合是函数的“同族等值集合”的有（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用“同族等值集合”的定义判断.【详解】A.因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；B.因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；C.因为，对于所对应的值域分别为，故不是“同族等值集合”；D.因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；故选：ABD26．已知关于x的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是RC．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】BD【分析】运用特例法，结合一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质逐一判断即可.【详解】在A中，依题意得，且，解得，此时不等式为，解得，所以不等式的解集可以是，选项A错误；在B中，取，，得，不等式的解集是R，所以选项B正确；在C中，当时，，所以不等式的解集不能为，选项C错误；在D中，，时，不等式可化为，解得，其解集是，选项D正确；故选：BD27．已知不等式的解集为,则下列结论正确的是A． B．C． D．E．【答案】BCD【解析】根据不等式的解集，结合函数图象以及根与系数的关系进行辨析.【详解】因为不等式的解集为,故相应的二次函数的图象开口向下,所以,故A错误；易知2和是方程的两个根,则有,,又,故,,故BC正确；由二次函数的图象可知,，故D正确E错误.故选：BCD.【点睛】此题考查二次不等式与二次方程和二次函数的关系，结合根与系数的关系和根的分布相关处理办法求解.28．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】AB【分析】把的值代入不等式中求出解集，判断解集中是否有且仅有3个整数即可．【详解】解：不等式的解集中有且仅有3个整数，所以，解得；对于A，时，不等式为，求得不等式解集为，，解集中有3个整数是2、3、4，满足题意；对于B，时，不等式为，求得不等式解集为，解集中有3个整数是2、3、4，满足题意；对于C，时，不等式为，求得不等式解集为，解集中有1个整数是3，不满足题意；对于D，时，不等式为，不等式解集为，不满足题意.故选：AB29．已知方程有且只有一个实数根，则（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，则【答案】ABD【分析】由判别式等于0得，代入选项A中式子后由二次函数知识判断，代入B中式子后由基本不等式判断，再根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合韦达定理判断CD．【详解】由题意，，，时取等号．A正确；，当且仅当，即时等号成立，B正确；不等式的解集为，则是方程的解，所以，D正确，C错误．故选：ABD．30．已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】ABD【分析】由二次函数的系数与判别式判断是否存在使不等式得到对应解集，即可知A、C的正误；令、验证B、D的正误.【详解】A：当且时，解集是，正确；B：当时，有，则解集是，正确；C：当：解集不可能为空集；当：，解集不可能为空集，错误；D：当时，有，则解集是，正确.故选：ABD三、填空题31．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据题意列式，解不等式可得结果.【详解】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元，则，令，即，解得.故答案为：32．一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.【详解】因为方程有两个不相等的实数根，则，解得：且故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况，属于简单题.33．不等式x2-5x+6≤0的解集为______.【答案】【分析】根据二次函数的特点即可求解.【详解】由x2-5x+6≤0，可以看作抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为，∴，即原不等式的解集为.34．设不等式对任意正整数都成立，则实数的取值范围是_____．【答案】1-p1+【详解】令，①若△，即，不等式对任意正整数都成立；②若△，则，即或，，，，．实数的取值范围是，．故答案为：，．35．不等式的解集为________．【答案】或.【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为，由此能求出不等式的解集．【详解】解：，，解得或，∴不等式的解集为或.故答案为：或．【点睛】本题考查一元二次不等不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．36．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次不等式－x2＋2x＋m＜0的解集为____.【答案】.【分析】根据函数的图象，得到函数的对称轴和一个抛物线与轴交点坐标，计算出另一个抛物线与轴的交点坐标，得出函数值大于0的的取值范围，即可得到答案.【详解】由图可知，对称轴为直线x＝1.所以此二次函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，所以－x2＋2x＋m＜0的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数与不等式，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键，属于基础题.37．不等式的解集是，则不等式的解集为___________【答案】{x|﹣2＜x}．【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得a＜0，且3，×3，由此化简要求的不等式为3x2+5x﹣2＜0，从而求出它的解集．【详解】∵不等式ax2+bx+c＞0的解集是，∴a＜0，且3，×3，∴b＞0，c＞0，，，∴不等式cx2+bx+a＜0，即x20，即

x20，即

3x2+5x﹣2＜0，求得它的解集为{x|﹣2＜x}，故答案为{x|﹣2＜x}．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．38．已知关于的方程有两个正根，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】结合一元二次方程、判别式、根与系数关系求得正确答案.【详解】由于关于的方程有两个正根，所以，解得.故答案为：39．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____.【答案】（﹣2，3）【分析】由于不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|}，可得，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数关系可得a，b，即可得出.【详解】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|}，∴，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根，∴，解得a＝﹣12，b＝﹣2.则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3.∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）.故答案为：（﹣2，3）.40．有这样一个问题：已知函数的值恒小于，实数的取值范围是_________．【答案】【分析】将目标问题，转化为二次不等式恒成立的问题，再根据恒成立问题，求解参数的范围.【详解】因为函数的值恒小于，故恒成立，或恒成立；对等价于恒成立，显然不可能；对等价于恒成立，故只需即可，解得.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，本题的主要难点在于将原问题进行合理的转化.四、解答题41．已知函数，其中，.(1)若，求实数的值；(2)若时，求不等式的解集；【答案】(1)(2)【分析】（1）代入数值即可求解；（2）代入后解一元二次不等式即可；【详解】（1）因为，所以；（2）若时，，即，解得，不等式的解集为；42．若x满足，且__________，从以下三个条件中选一个合适的条件，补充在问题中，（①，②，③；）并求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)若选择条件②，的值为；若选择条件③，的值为(2)若选择条件②，的值为；若选择条件③，的值为.【分析】解出方程的根，确定范围，选择合适的条件，代入计算.【详解】（1）x满足，解得，，，若选择①，没有x满足，故①不合适；若选择②，则满足，此时；若选择③，则满足，此时.综上，若选择条件②，的值为；若选择条件③，的值为.（2）由，有，，若选择①，没有x满足，故①不合适；若选择②，则满足，此时；若选择③，则满足，此时.综上，若选择条件②，的值为；若选择条件③，的值为.43．解下列不等式（1）；

（2）【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由一元二次不等式的解法运算即可得解；（2）转化不等式为，按照、、分类，结合一元二次不等式的解法即可得解.【详解】（1）令，解得，所以不等式的解集为；（2）不等式即为，若时，不等式的解集为；若时，不等式的解集为；若时，不等式的解集为.44．求下列方程或方程组的解集.（1）.（2）.（3）.（4）.【答案】（1）;（2）;（3）;(4).【分析】利用代入消元法和换元法分别解方程即可.【详解】（1）化简方程可得：得：，把代入①得：解得：∴方程组的解集为：；（2）.①+②得：①+③得：④+⑤得：把代入⑤可得：，再把，代入①得：∴方程组的解集为：；（3）.把②代入①可得：解得：把代入②可得：∴方程组的解集为：（4）.令，则∴，即∴，或（舍去）∴，即∴方程组的解集为：【点睛】本题考查方程与方程组的解法，考查学生的计算能力，属于基础题.45．已知函数，若的解集为．(1)求；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）把不等式变形，利用韦达定理，求得的值．（2）把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论的值，求得它的解集．（1）因为函数，所以不等式，即为，由于不等式的解集为可得，，且，求得．（2）关于的不等式，即，即．当时，不等式即，它的解集为；当时，不等式的解集为；当c＞2时，不等式的解集为．46．解下列不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）由化为，即可求解；（2）由，即可求解；（3）把不等式化为，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式，可化为，所以不不等式的解集为；（2）由题意，可得，所以不等式的解集为；（3）由不等式，可化为，即，所以不等式的解集为或.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，合理化简、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.47．已知函数，求函数在区间上的最小值；【答案】当时，；当时，.【分析】由题意先求二次函数的对称轴，讨论当时，即时；当时，即时，结合函数单调性求出最小值.【详解