专题2.2 基本不等式-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题2.2基本不等式一、单选题1．设，，若，则的最小值为（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：D2．若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（

）A．5 B．10 C．20 D．25【答案】D【分析】设矩形的一边为米，场地面积为,则可得关于的解析式，结合基本不等式可求场地面积的最大值.【详解】设矩形的一边为米，则另一边为米，设场地面积为，∴，当且仅当，即时，．故选：D.3．若一个矩形的对角线长为，则其面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用矩形长和宽表示出对角线长，利用基本不等式可求得结果.【详解】设矩形的长和宽分别为，，（当且仅当时取等号），矩形面积的最大值为.故选：B.4．若为正数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将完全平方式展开，重组，利用基本不等式即可得出结论.【详解】∵，，当且仅当，即时，取等号，此时取最小值，最小值为.故选：C.5．若实数满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】由，得，，再利用均值不等式求得的最小值.【详解】因为，则，且，两边同乘，得，则，所以，当且仅当，即时取等，即的最小值为，故选：A.6．已知、且，下列各式中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性质可得出结果.【详解】因为、，则，所以，，可得在选项ABC中，选项C最大，又因为、，故，所以，故选：D．7．下列结论正确的有（

）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，且，则的最小值是9【答案】AD【解析】利用放缩法以及基本不等式判断A；利用基本不等式等号成立的条件判断B；利用特殊值判断C；利用基本不等式判断D.【详解】当时，，A正确；时取等号，因为，所以等号不成立，的最小值不是2，B不正确；当时，取，，最小值不是5，C不正确；，时等号成立，的最小值是9，D正确，故选：AD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．已知，均为正实数，且，则使得取得最小值的，的值分别是（

）.A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】由，均为正实数，且，结合“1”的应用，原式可变形为，再利用均值不等式求最小值即可.【详解】解：因为，均为正实数，且，所以，当且仅当时，等号成立，解得，.即使得取得最小值的，的值分别是，.故选B.【点睛】本题考查了利用均值不等式求最小值，重点考查了对数据的分析、处理能力，属中档题.9．已知，则下列不等式中不成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】结合基本不等式可证明ABC的正确与否，通过代入特殊值可证明D选项不正确.【详解】解：A：，故A正确；B：，故B正确；C：，故C正确；D：当时，，，此时不成立，故选:D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了几种常见形式的不等式的证明.10．函数在上的最小值是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】，所以选C.11．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A12．若，，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，求得，进而逐项判定，即可求解.【详解】由，，且，可得，当且仅当时，等号成立，对于A中，由，所以A错误；对于B中，，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C错误；对于D中，，所以，所以，所以D正确.故选：D.13．已知，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】将变为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】因为,,当且仅当，即时取得等号，即的最小值为12，故选：C14．已知，则的最小值是A． B．1 C． D．【答案】C【分析】结合条件和基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，故选：C.15．已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用基本不等式求出其最小值.【详解】∵三棱柱内接于球，∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，所以棱柱的侧棱都垂直底面，所以该三棱柱为直三棱柱.设底面三角形的两条直角边长为，，∵三棱柱的高为2，体积是1，∴，即，将直三棱柱补成一个长方体，则直三棱柱与长方体有同一个外接球，所以球的半径为.故选D【点睛】本题主要考查几何体外接球的半径的计算和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知，若，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本不等式求积的最大值．【详解】解：，且根据基本不等式得解得即当且仅当时取等号，故选【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．17．若a，b，k是正实数，a+2b＝1，且k≤2a+4b恒成立，则直线与曲线有公共点的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用均值不等式可得：，继而得到；直线与曲线有公共点可转化为直线和半圆有交点，求出相切时临界状态的k值，得到有公共点时k的范围，由几何概型可得解.【详解】由均值不等式：由于k≤2a+4b恒成立，所以曲线即为：直线可转化为：过定点当直线与圆相切时：若直线和圆有交点：由几何概型，直线与曲线有公共点的概率故选：A【点睛】本题考查了均值不等式，直线和圆，几何概型综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.18．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得恒成立，分、两种情况讨论，运用基本不等式，可得最值，由此可求得实数的取值范围.【详解】由题意可得，且.当时，可得，由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，可得；当时，可得，因为，当且仅当时，等号成立，故，解得.综上所述，.故选：C.19．已知，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察已知等式和所求式子均为非齐次式，考虑等式变形为利用“1”的代换，化分式为齐次式，利用换元法，转化为函数问题求最值或利用基本不等式求最值.【详解】解法一：（转换成函数求最值）由题意，，，，即有且，将代入化简得：，令，∴，则有，当，有，单调递减；当，有单调递增，∴.故选C.解法二：（利用基本不等式求最值）由题意，，，，即有且，将代入化简得：，令，原式，当且仅当，即，等号成立，取到最小值.故选C.20．已知正项等比数列的前项和，满足，则的最小值为（

）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【分析】由等比数列性质把和式用和表示，求比值后用基本不等式可得最小值．【详解】∵是正项等比数列，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为．故选：A.【点睛】本题考查等比数列的前项和，考查基本不等式求最值，解题时可把作为一个整体，表示出后容易观察到用基本不等式求最小值．二、多选题21．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性质及其基本不等即可求解.【详解】对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，则正确；对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，则正确．故选：.22．下列推导过程，正确的为（

）A．因为a，b为正实数，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以，当且仅当时，等号成立【答案】AD【分析】结合基本不等式“一正、二定、三相等原则”判断即可.【详解】对A，因为a，b为正实数，所以均大于零，，故A正确；对B，，故，B错误；对C，，，故C错误；对D，结合基本不等式推导过程判断完全正确，故D正确.故选：AD23．下列说法错误的有（

）.A．，是，的必要不充分条件B．的最小值为2C．语句“”是命题D．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”【答案】BD【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】A选项，若，，则，，但，时，如，，无法保证，，故A正确；B选项，，当且仅当时，即取等号，不成立，故B错误；C选项，这是一个假命题，故C正确；D选项，否定应为“存在实数小于或等于0”，故D错误.故选：BD.24．当时，下列函数中最小值不是2的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A，利用二次函数的性质判断，对于BCD，利用基本不等式判断.【详解】对于A，因为，所以当时，取得最小值3，所以A符合题意，对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，所以B符合题意，对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以C不符合题，对于D，因为，当且仅当，取等号，而无解，所以取不到等号，所以的最小值不是2，所以D符合题意，故选：ABD25．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：对A选项：，，，，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确；对B选项：，而成立，成立，故B选项正确；对C选项：，（当且仅当时等号成立），故C选项正确；对D选项：，（当且仅当时等号成立），，故D选项错误.故选：ABC.26．已知正数满足，则下列选项正确的是（）A．的最小值是4 B．最小值为1C．的最小值是2 D．的最大值是【答案】CD【分析】A利用“1”代换求最值，B因为，所以，且，代入中化简构造基本不等式验证即可，C先把式子变形，再运用基本不等式，D先构造，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数满足，即所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A不正确.B.因为，所以，且，所以，当且仅当或，不满足故取不到最小值，故B选项不正确.C.，当且仅当时等号成立，故选项C正确.D.因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故选项D正确.故选：CD.27．已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最大值为1【答案】BCD【分析】利用基本不等式解决最大最小值问题.【详解】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确；当，时，，故B错误；因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误；当时，故D错误.故选：BCD．28．已知，，，下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BC【分析】对A，可将转化为关于的二次函数求解；对B，利用常数代换，将化为，再利用基本不等式求解；对C，与乘积为定值，可以直接运用基本不等式；对D，只需运用基本不等式求出最值即可.【详解】对A，，当时，最小为.故A错误.对B，，等号成立时，.故B正确.对C，，等号成立时，.故C正确.对D，，所以，等号成立时，.故.故D错误.故选：BC.29．下列命题中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】CD【解析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案【详解】对选项A，因为，，当且仅当，即时取等号，故，A错误.对选项B，因为，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，当且仅当，即时取等号，故B错误.对选项C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确.对选项D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：CD【点睛】本题主要考查利用基本不等式求值，30．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（

）A．xy的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的最小值为1【答案】ABD【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以xy的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为2，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，当且仅当且，即，即时，等号成立，所以的最小值为1，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、填空题31．函数的最小值是_________.【答案】5【详解】试题分析：由题将所给函数配成，然后应用均值不等式求解即可..当且仅当x=3时，等号成立.考点：均值不等式32．当时，的最小值为______.【答案】【解析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】当时，，当且仅当时等号成立.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.33．已知，且.则的最大值是_________.【答案】10【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】当且仅当，即时，等号成立则，即的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和为定值时，积的最大值，属于基础题.34．已知两地的距离是．按交通法规规定，两地之间的公路车速应限制在到．假设汽油的价格是元/升，以速度行驶，汽车的油耗率为升，其他运营成本每小时元，则最经济的车速是________．【答案】【分析】求得总的费用的表达式，结合基本不等式求得最经济的车速.【详解】.依题意，总的费用为，当且仅当时等号成立.故答案为：35．设，，若，则的最小值为_____________.【答案】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.36．若，，，，则的最小值为______．【答案】/【分析】令，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。【详解】由题意，，，，得：，设，则，故，当且仅当，即时取得等号，故的最小值为，故答案为：37．已知函数的值域是，则的取值范围是________.【答案】【分析】由题意得出，然后利用基本不等式可求出的取值范围.【详解】由于函数的值域是，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的基本性质和利用基本不等式求代数式的取值范围，属于中档题．38．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为_________．【答案】1【分析】由得，代入，变形后根据基本不等式即可求的最大值以及此时的条件，根据此条件即可求的最大值.【详解】由得，故，当且仅当，即时取得最大值，此时，则，当时取得最大值故答案为：1.39．有一块直角三角形空地，，米，米，现欲建一矩形停车场，点、、分别在边、、上，则停车场面积的最大值为________平方米.【答案】【解析】设米，米，根据可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即为所求.【详解】设米，米，则，，，即，整理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，停车场面积的最大值为平方米.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.40．已知实数a，b满足，则最大值为______.【答案】.【分析】将，变形为，再利用基本不等式得到，然后用一元二次不等式的解法求解.【详解】由，得，由基本不等式得，当且仅当取等号，所以，所以，解得，所以最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式和一元二次不等式的解法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题41．学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示），问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值.【答案】长28m，宽为m时，占地面积最小为648m2【分析】先设游泳池的长为xm,则游泳池的宽为,又设占地面积为,依题意,写出函数y的解析式,再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时,占地面积最小.【详解】设游泳池的长为xm,则游泳池的宽为,又设占地面积为,依题意,得,当且仅当,即时,取“=”.答:游泳池的长为,宽为时,占地面积最小为【点睛】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力.42．设直线l的方程为（）（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；（3）已知a为整数且直线l在两坐标轴上的截距也均为整数，求此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，，，.【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解；（2）由直线方程，分别令x=0，y=0得A，B两点的坐标和a的取值范围，由直角三角形得到面积，再由均值不等式可得面积的最小值时a的值，即求出点A、B的坐标，进而求出三角形的周长；（3）分截距是否为0，由（2）可得在x，y上的截距，根据截距为整数时得a的值即可.【详解】（1）直线l的方程为（），整理可得：，当时不论a为何值，，即，，可证当不论a为何值，直线恒过定点；（2）时，，即，因为时，直线与x轴无交点，所以，令时，，即，，因为这两个点分别在x轴正半轴，y轴正半轴，所以，且，所以，所以，当且仅当，即时，面积最小，此时，，所以这时周长为；（3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数，即，都是整数，而，所以，，0，2，又当，直线过原点也符合题意，所以直线方程分别为：，，，，．43．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区南北长x.（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为南北长x的函数，并写出x的取值范围；（2）应该如何设计该隔离病区的边长，才能使工作区域的总占地面积最大？（结果精确到0.1）【答案】(1)=，；(2)隔离病区的边长为19.4m时，工作区域的总占地面积最大值.【分析】(1)根据长方形面积计算公式，求出各边边长，然后用总面积减去内部通过到面积和半污染缓冲区面积即可；(2)根据第一问表达式，结合基本不等式求最值即可.【详解】(1)南北长x，则东西长，=，.(2)由(1)可得：当且仅当时取得等号.此时工作区域面积达到最大，故隔离病区的边长为19.4m时，工作区域的总占地面积最大值.44．已知为实数，且满足.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）结合基本不等式得，化简即可求证；（2）由柯西不等式拼凑得，代值化简即可求证.【详解】（1）因为,故.（2）由题可得，故，，.【点睛】方法点睛：本题考查由基本不等式与柯西不等式求证不等式成立，常用以下方法：（1）基本不等式的使用要注意理解和的区别，应用时重在寻找和与积的联系；（2）柯西不等式重在拼凑法的使用，如本题中与的联系，一次与二次的联系，拼凑的目的在于建立条件与所求不等式的统一.45．请解决下列问题：（1）比较与的大小；（2）已知，利用（1）的结论，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用作差、因式分解，再判断符号，从而证得不等式；（2）利用构造法求得，从而求得的最小值．【详解】（1）（当且仅当时等号成立）（2），即，所以，当且仅当，即，所以的最小值为.【点睛】本题考查作差法比较大小、利用柯西不等式求最小值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造法的应用.46．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围.【答案】【分析】根据不等式的解集先求出的值，再利用基本不等式中“1”的代换将恒成立等价转化成关于的一元二次不等式，解之即可.【详解】因为关于的不等式的解集为或，所以和1是方程的两根，则有，解得：，所以，则（当且仅当，也即时取等号）因为恒成立，也即，解得：，所以实数的取值范围为.47．中，分别是角所对的边且.（1）求的值；（2）若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）4；（2）.【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A最大时，，再求出b,c和sinA，再求的面积．【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）时，，∵且，∴，∴当角最大时，，此时，，∴.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.48．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为，竖直方向的连结木条长均为，内框矩形的面积为．（不计木料的粗细与接头处损耗）(1)如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？(2)如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？【答案】(1)外框的长与宽分别是，；(2)外框的长与宽分别是，【分析】（1）设展示框外框的长为，宽为，结合