第15讲 轴对称-最短路线问题（2个知识点+4个考点）-新八年级数学暑假自学提升课讲义（人教版）解析版

第第页第15讲轴对称-最短路线问题（2个知识点+4个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)知识点1.最短路径问题（重点）1.垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。2.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动③两定两动知识点2.“造桥选址”问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．AMMNN考点1.两点的所有连线中，线段最短【例1】如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【变式1-1】．（2024•凤城市二模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是A． B． C． D．【分析】连接甲乙，交于点，点就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．【解答】解：根据线段的性质可知，点即为所求作的位置．符合题意的画法是．故选：．【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．【变式1-2】如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．考点2.运用轴对称解决距离最短问题【例2】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【变式2-1】小颖的爸爸要在某条街道上修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，要使点到，的距离之和最短，则下列作法正确的是A． B． C． D．【分析】作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，进而根据轴对称性质解答即可．【解答】解：作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，即为所求；故选：．【点评】此题考查轴对称中的最短路线问题，关键是作点关于直线的对称点．【变式2-2】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．【分析】作点A关于l的对出现A′，则OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．故选：D．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握轴对称相关的知识是解题的关键．【变式2-3】.如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是；（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB＋PC与AC的关系．．【详解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°-70°-70°=40°∵的垂直平分线交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°-∠A=50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P点为所求，的最小值是8cm．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．考点3.最短路径选址问题【例3】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．【变式3-1】如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．故选：C．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．【变式3-2】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即P【详解】解：作PP'垂直于河岸l2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l则EF∥PP'且∴四边形EFP∴P'根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．【变式3-3】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.考点4.运用轴对称解决距离之差最大问题【例4】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．【变式4-1】已知直线及位于其两侧的两点，，如图（1）在图①中的直线上求一点，使；（2）在图②中的直线上求一点，使直线平分；（3）能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为所求．（2）作点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求．（3）图2中的点即为所求．【解答】解：（1）连接作线段的垂直平分线，直线和直线的交点为，点即为所求，见图①．（2）作点关于直线的对称点，连接且延长交直线于点，点即为所求，见图②．（3）图②中的点即为所求，见图③．理由如下：在直线上任意取一点，连接，，，、关于直线对称，，（当与重合时等号成立），，与重合时，，故点即为所求的点．【点评】本题考查线段的垂直平分线性质、轴对称的性质以及三角形三边关系等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•任泽区校级月考）现需要在某条街道上修建一个核酸检测点，向居住在，小区的居民提供核酸检测服务，要使到，的距离之和最短，则核酸检测点符合题意的是A． B． C． D．【分析】作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，进而根据轴对称性质解答即可．【解答】解：作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，即为所求．故选：．【点评】此题考查轴对称中的最短路线问题，作点关于直线的对称点是解题的关键．2．（2021秋•浏阳市期中）如图，王大爷从王村出发，先把牛送到河边草地吃草，再去李村走访亲戚，则按图中所示的哪条路线走，路程最短A． B． C． D．【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：按图中所示的哪条路线走，路程最短是选项，故选：．【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．3．（2023秋•下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为A．7 B．8 C．9 D．10【分析】作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，可求．【解答】解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，，，此时的值最小，是正三角形，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．4．（2023秋•嵩县期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值为A．5 B．6 C．7 D．8【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接，由题意可得，将转化为，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小，此时的长度为的最小值．【解答】解：如图：连接，是等边三角形，是中线，垂直平分，，，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小．此时：是等边三角形，，，，即的最小值是6，故选：．【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．5．（2024春•兰州期中）如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，，点是边的中点，点是线段上一动点，则的最小值为A．6 B．7 C．8 D．9【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接，，，点是边的中点，，，解得，是的垂直平分线，，，当点在线段上时，的值最小，的最小值为6．故选：．【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．二．填空题（共2小题）6．（2024春•仓山区校级月考）如图，，点是内的定点，且．若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是4．【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知△是等边三角形．【解答】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，，，，的长就是周长的最小值；在△中，，，，，；故答案为：4．【点评】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键．7．（2024•武威三模）如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是．【分析】过点作，交于点，过点作于点，此时取最小值，根据角平分线的性质，利用三角形面积公式得出，此题得解．【解答】解：过点作，交于点，过点作于点，此时取最小值，如图所示．是的平分线，，，，，，．的最小值是，故答案为．【点评】本题考查了轴对称最短路线问题以及角平分线的性质，三角形面积公式的应用，找出点、的位置是解题的关键．三．解答题8．（2023秋•凉州区期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．【分析】作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可．【解答】解：如图，点即为所求；沿路线铺设管道，管道长度最短；【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，作图应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．9．（2023秋•靖江市期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知的三个顶点均在格点上，且、两点的坐标分别为、．（1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标为；（2）已知点在轴上，且，则点的坐标为；（3）若点在轴上，且使得最小，则点的坐标为．【分析】（1）根据、两点的坐标分别为、，可找出原点，即可求出点坐标；（2）作线段的线段垂直平分线即可找出的坐标；（3）作点的对称点，连接，即可找出点坐标．【解答】解：（1）、两点的坐标分别为、；即可找出原点的位置并建立直角坐标系，如图所示；点的坐标为：，故答案为：；（2）在轴上，且；作线段的垂直平分线，交轴于点，如图，此时点即为所求，坐标为，故答案为：；（3）作点的对称点，连接交轴于点，如图，此时点即为所求；此时点坐标为．【点评】本题主要考查平面直角坐标系，线段垂直平分线，路径最短问题等，熟练掌握相关的知识是解题的关键．10．（2023秋•信州区期末）如图，等边三角形，，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点是线段上一动点，当的直最小时，求的值？【分析】作点关于的对称点，作于，交于，则最小，最小值是的长，可求得，．进一步得出结果．【解答】解：如图，作点关于的对称点，作于，交于，则最小，最小值是的长，是等边三角形，，，，，，，．【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马“等模型．11．（2022秋•富县期末）问题提出：某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．（1）如图2，在等边中，是上的点，是的平分线，是上的点，若，则的最小值为6．问题解决：（2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．【分析】（1）如图，连接，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得；（2）分别作出点关于、的对称点，，连接分别交、于点，，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．【解答】解：（1）如图，由题意可知：点关于直线的对称点为，连接，设与直线的交点为，则，即当时取得最小值，是等边三角形，，故答案为：6；（2）分别作出点关于、的对称点，，连接分别交、于点，，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．由题意，得，，，，，为等边三角形，，，整个过程所行的路程为．【点评】本题考查了最短路径的实际应用；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．12．（2023秋•昌吉州期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、．（1）若，求的度数；（2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数．【分析】（1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么；（2）作点关于、的对称点和，连接、、、．那么的周长最小值即为的长，易得△为等边三角形，那么，所以．【解答】解：（1）点关于射线的对称点是，．点关于射线的对称点是，．，；（2）作点关于、的对称点和，连接、、、．，，，，，．的周长最小值为6，，．△为等边三角形．．，．【点评】本题考查轴对称的综合应用．根据轴对称的性质可得关于轴对称的两个图形，对称轴两边的对应角相等，对应边相等是解决本题的关键．13．（2023秋•宣化区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是．（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得点与点的关系，可得与的关系．【解答】解：（1）若，则的度数是，故答案为：；（2）如图：①垂直平分．，又的周长是，，．②当点与点重合时，的值最小，周长的最小值是，【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出．14．（2023•老河口市一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝40°，∴∠MBC＝30°，故答案为：30；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要