第09讲 专题拓展：“一线三等角全等模型”四种常见题型解题技巧-新八年级数学暑假自学提升课讲义（人教版）解析版

第第页第09讲专题拓展：“一线三等角全等模型”四种常见题型解题技巧题型一：同侧型锐角一线三等角题型二：同侧型直角一线三等角题型三：同侧型钝角一线三等角题型四：异侧型一线三等角“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：，CE=DE证明思路：，任一边相等异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：，任意一边相等证明思路：，任一边相等题型归纳题型一：同侧型锐角一线三等角【例1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．【变式2】（2023秋•龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为．【分析】根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用一线三等角构造全等，从而利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：，，，，，，，，，，，，，，故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是．（用含的代数式表示）【分析】根据已知条件可推出，从而可知，则．【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．【变式4】如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．【答案】3.5【详解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°，在与中，

．题型二：同侧型直角一线三等角【例2】（2023春•紫金县期末）为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，测得旗杆顶的视线与地面的夹角，楼顶的视线与地面的夹角，点到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度．【分析】根据题意可得：，，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，，，，，，，在和中，，，，，，，楼的高度是．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式1】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为两个排污口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．【分析】根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：，，，，，，，，，在与中，．，，，又米，米，（米．答：两个排污口之间的水平距离为500米．【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据证明与全等．【变式2】．已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC．（1）求证:△ABP≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长．【详解】（1）证明：；（2）连接AC，在.【变式3】如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）求证：≌；（2）若CD＝10，求的面积．【详解】（1）∵，∴，∵∠A＝∠B＝90°，在和中，，∴≌；（2）∵≌，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴其斜边上的高为5，∴．题型三：同侧型钝角一线三等角【例3】如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．【分析】由，推出，再根据证明得，，即可得出结果．【解答】解：，，，，在与中，，，，，，．．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．【变式1】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证；（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【变式2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，（1）如图①，若，则与的数量关系为，与的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；（3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，；（2）由（1）同理可得，得，，可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解答】解：（1），，，，，，，，故答案为：，；（2），由（1）同理可得，，，；（3）存在，当时，，，；当时，，，，综上：或．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．【变式3】（2023秋•浉河区期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；（2）根据补角的概念、三角形内角和定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；（3）证明，得到，，进而得出，根据等边三角形的判定定理证明结论．【解答】解：（1），理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，；（2）结论成立，理由如下：，，，，在和中，，，，，；（3）为等边三角形，理由如下：由（2）得，，，，，即，在和中，，，，，，为等边三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．题型四：异侧型一线三等角【例5】（2023秋•湖南期末）在中，，，过点作直线，于点，于点．（1）若在外（如图，求证：；（2）若与线段相交（如图，且，，则．【分析】（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论；（2）类似于（1）可证，得，，即可得出结论．【解答】（1）证明：，，．，，，，．在和中，，，，．，．（2）解：于，，，，，，，在和中，，，，，，故答案为：1.5．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式1】（2023秋•邓州市期中）已知，是直线上的点，，作于点，且，连结、．（1）自主探究：如图1，当点在线段上，点在点右侧时，与的数量关系为，位置关系为；（2）思考拓展：如图2，当点在线段的延长线上，点在点的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）能力提升：当点在线段的延长线上，点在点的侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时，，则的长度为．【分析】（1）证，得，，再证，则；（2）同（1）得，则，，再证，则；（3）同（1）得：，得，，，再证，则，然后求出，得即可．【解答】解：（1），，，在和中，，，，，，，，，故答案为：，；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：，，同（1）得：，，，，，即，；（3）如图3，当点在线段的延长线上，点在点的左侧时，（1）中的两个结论依然成立，理由如下：同（1）得：，，，，，，即，，，，，，故答案为：左，3．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．【变式2】（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积，∵，△ABD与△ACD的高相同则=5故与的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式3】（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．

（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可．【详解】（1），证明：四边形是正方形，又，∴在和中，（2），理由是：四边形是正方形，又，∴在和中，∴EF=AF-AE=BE-DF（3），理由是：四边形是正方形，又，∴在和中，EF=AE-AF=DF-BE【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明是关键．过关检测1．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据可证明；（2）得出，，求出，则可求出．【解答】（1）证明：，，在与中，，；（2）解：，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2.如图，，，，，垂足分别为，．（1）求证：；（2）试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，可证，再利用证明；（2）由，得，，即可得出结论．【解答】（1）证明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：，理由如下：，，，，．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键．3．直线经过点，在直线上方，．（1）如图1，，过点，作直线的垂线，垂足分别为、．求证：；（2）如图2，，，三点在直线上，若为任意锐角或钝角），猜想线段、、有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，过点作直线上的垂线，垂足为，点是延长线上的一个动点，连结，作，使得，连结，．直线与交于点．求证：是的中点．【分析】（1）由直角三角形的性质证出，可证明；（2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；（3）分别过点、作，，由（1）可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．【解答】（1）证明：，，，，，，，在与中，，；（2）解：猜想：，，，，，在与中，，，，，；（3）证明：分别过点、作，，由（1）可知，，，，，，，，在与中，，，，为的中点．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4.（2023秋•雨湖区期末）已知，在中，，，，三点都在直线上，．（1）如图①，若，则与的数量关系为，，与的数量关系为．（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由平角的定义和三角形内