第06讲“SAS”与“ASA”判定三角形全等（2个知识点+4个考点）-新八年级数学暑假自学提升课讲义（人教版）解析版

第第页第06讲“SAS”与“ASA”判定三角形全等（2个知识点+4个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“SAS”，“ASA”．(重点)2．能运用“SAS”“ASA”判定方法解决有关问题．(重点)3．“SAS”和“ASA”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点)知识点1.三角形全等的基本事实：边角边（重点）1.全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点归纳：如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD.证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，))∴△AEF≌△BCD(SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式1-1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式1-2】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，AC=DC∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△DEC（SAS）．【变式1-3】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，BC=DF∠ACB=∠EFD∴△ABC≌△EDF（SAS）．2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【例2】下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．【变式2-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理．【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意；、满足，不能判定，不符合题意；、满足，不能判定，不符合题意；、满足，能判定，符合题意，故选：．知识点2.三角形全等的基本事实：角边角（重点）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.【例3】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))∴△ADF≌△CBE(ASA)．方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【变式3-1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；【详解】∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．【变式3-2】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∵DA平分∠BDE．∴∠ADE＝∠ADB，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，∠ADE=∠BAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式3-3】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA）考点1：利用三角形全等证明线段相等1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，在边BC上顺次取点D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：GB=FC．

【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据BD=CE推出BE=CD，根据FD⊥BC，GE⊥BC，得出∠GEB=∠FDC=90°，结合∠B=∠C，利用ASA证明△BEG≌△CDF，即可得出GB=FC，熟练掌握利用ASA证明三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD，∵FD⊥BC，GE⊥BC，∴∠GEB=∠FDC=90°，在△BEG和△CDF中，∠B=∠CBE=CD∴△BEG≌△CDFASA∴GB=FC．2.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1=∠2，∠E=∠C，AE=AC，求证：AB=AD．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ADE，即可得证．【详解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，∠C=∠EAC=AE∴△ABC≌△ADE(ASA∴AB=AD．3.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF4.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.【答案】证明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN考点2：三角形全等的判定与性质的综合应用5.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．解析：利用已知条件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝BE，,∠ABC＝∠FBE，,AB＝FB，))∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．6.如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，AC=DE，AC∥DE，(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)若BF=20，EC=8，求BE的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：（1）先由平行线的性质得到∠ACB=∠DEF，再利用ASA即可证明△ABC≌△DFE；（2）利用全等三角形的性质得到BC=EF，再根据线段的和差关系求解即可．【详解】（1）证明：∵AC∥∴∠ACB=∠DEF，又∵AC=DE，∠A=∠D，∴△ABC≌△DFEASA（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，即BE=CF，∵BF=20，EC=8，∴BE=CF=BF−CE7.如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE．连接BD,CE．

(1)若∠ABC=40°，∠DAC=50°，求∠AED的度数．(2)若AB=AC，求证△ABD≌△ACE．【答案】(1)∠AED=60°(2)见详解【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；（1）由旋转可知∠BAD=30°，则有∠BAC=80°，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解；（2）由旋转可知AB=AD,AC=AE，∠BAD=∠CAE=30°，然后问题可求证．【详解】（1）解：由旋转可知：∠BAD=30°，∠ACB=∠AED，∵∠DAC=50°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=80°，∵∠ABC=40°，∴∠AED=∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=60°；（2）证明：由旋转可知AB=AD,AC=AE，∠BAD=∠CAE=30°，∵AB=AC，∴AD=AE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS8.如图，在△ABD中，∠D=90°，延长AB至点C，使BC=AD，过点B作BE⊥BD，使BE=AB，连接EC．(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若AD=6，AC=16，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，（1）首先根据题意得到∠A=CBE，然后利用SAS证明△ABD≌△BEC即可；（2）根据全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）∵∠D=90°，BE⊥BD，∴∠A+∠ABD=∠CBE+∠ABD=90°，∴∠A=CBE，∵BC=AD，BE=AB，∴△ABD≌△BECSAS（2）∵△ABD≌△BEC，∴BC=AD=6，∵AC=16，∴AB=AC−BC=16−6=10，∵△ABD≌△BEC，∴BE=AB=10．9.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且AB>AD，∠BAC=∠DAE，BD的延长线交CE于点F．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)写出∠BFC与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)∠BAC=∠BFC，见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键；（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明两个三角形全等即可；（2）先证明∠ABD=∠ACE，再结合∠AOB=∠FOC，从而可得结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE（2）∠BAC=∠BFC，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．设AC、BF相交于点O，则∠AOB=∠FOC．∴180即∠BAC=∠BFC．考点3：全等三角形与其他图形的综合10.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE和△CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDG，,DE＝GD，))∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；(2)设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.11.如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连接CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG．求证：(1)△CBE≌(2)AB=AE+DG．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质：（1）根据四边形ABCD，CEFG均为正方形，可得CD=CB，CG=CE，∠DCB=90°=∠GCE，进而可得∠ECB=∠GCD，即可证明△CBE≌（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=DG，等量代换可得AB=AE+BE=AE+DG．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，∴CD=CB，CG=CE，∠DCB=90°=∠GCE，∴∠DCB−∠DCE=∠GCE−∠DCE，∴∠ECB=∠GCD，在△CBE和△CDG中，CB=CD∠ECB=∠GCD∴△CBE≌（2）证明：由（1）得△CBE≌∴BE=DG，∴AB=AE+BE=AE+DG．12.如图，某村庄有一块五边形的田地，AB=AE=CD=60m，∠ABC=∠AED=90°，连接对角线AC，AD，∠BAE=2∠CAD(1)∠BAC，∠DAE与∠CAD之间的数量关系是____________．(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长CB至点G，使BG=DE）(3)在△ADE和△ABC区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为11.25克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．【答案】(1)∠BAC+∠DAE=∠CAD(2)12000元(3)20.25千克【分析】（1）由∠BAE=2∠CAD直接可以得到∠BAC+∠DAE=∠CAD；（2）延长CB至点G，使BG=DE，证得△AGB≌△ADE，得到AG=AD，∠GAB=∠DAE，进而证明△AGC≌△ADC解题；（3）利用（2）中结论△AGB≌△ADE可得S△ADE【详解】（1）∵∠BAE=∠BAC+∴∠∴∠BAC+∠DAE=∠CAD故答案为：∠BAC+∠DAE=∠CAD；（2）如图，延长CB至点G，使GB=ED，连接AG．∴BC+DE=BC+BG=GC.在△AGB与△ADE中，AB=AE∴△AGB≌△ADE(SAS∴∠GAB=∠DAE，AG=AD.∵∠BAC+∠DAE=∠CAD∴∠BAC+∠GAB=∠CAD，即∠GAC=∠CAD.在△AGC与△ADC中，AC=AC∴△AGC≌△ADCSAS∴GC=CD，∴BC+ED=CD=60（米）．五边形ABCDE的周长为AB+BC+CD+DE+AE=240（米），240×50=12000（元）．答：建造木栅栏共需花费12000元.（3）20.25千克S△ADE需小麦种数量为：11.25×1800÷1000=20.25(千克）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”．考点4：添加辅助线证明与计算13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD，△ABD的面积为9，△BCD的面积为4，则△ACD的面积等于．【答案】5【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长CD交AB于E，根据已知条件证得△AED≌△ACDASA，推出DE=DC，得出S【详解】解：如图，延长CD交AB于E，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD⊥CD，∴∠ADE=∠ADC=90°，在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CADAD=AD∴△AED≌△ACDASA∴DE=DC，∵△BCD的面积为4，∴S△BED∵△ABD的面积为9，∴S△ACD∴△ACD的面积等于5．故答案为：5．14.在△ABC中，AC=4，中线AD=5，则边AB的取值范围是．【答案】6<AB<14【分析】作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△【详解】如图，延长AD至E，使DE=∵AD是△∴BD在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△∴AB∵AD∴AE∵10+4=14，10−4=6，∴6<CE即6<AB故答案为6<AB【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．15.如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD=.【答案】3.2【详解】如图，在BC上截取BE=AB，则CE=BC−BE=7.6−4.4=3.2，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBD中,{AB=BE∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴AD=DE，∠BED=∠A，∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE，∴∠C=∠CDE，∴CE=DE=BC−AB=3.2，∴AD=DE=3.2，故答案为3.2.点睛：证明或求线段相等的方法通常有：全等三角形的对应边相等；等腰三角形中等角对等边；角平分线上的点到角的两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；根据题目条件选择适当方法解决.16.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见解析．【分析】连接AC，证明△ABC≌△DCB(SAS)，得出BD=AC，再证，即可△ABD≌△DCA(SSS)．【详解】连接AC，BD在△ABC与△DCB中，{AB=CD∴△ABC≌△DCB(SAS)，BD=AC，在△ABD与△DCA中，{AB=DC∴△ABD≌△DCA(SSS)，∴∠BAD=∠CDA．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．17.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，证明△BCE【详解】证明：如图所示，延长CE、BA相交于点F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12一、单选题1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（

）已知：，且．求证：证明：又，∴（◎）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是.【详解】证明：，，∵，∴，又，，故选：D2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，AD和BC相交于O点，若OA=OC，用ASA证明△AOB≌△COD还需增加条件（）

A．AB=CD B．∠A=∠C C．OB=OD D．∠AOB=∠COD【答案】B【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用ASA证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知OA=OC，∠AOB=∠COD，那么添加条件∠A=∠C即可．【详解】解：由题意可得：∠AOB=∠COD，OA=OC，∴当∠A=∠C时，可根据ASA可证△AOB≌△COD，故选：B．3．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【详解】解：∵在△ABC和△ADC中AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADCSSS∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∵在△ABO和△ADO中AB=AD∠BAO=∠DAO∴△ABO≌△ADOSAS∵在△BOC和△DOC中BC=DC∠BCO=∠DCO∴△BOC≌△DOCSAS综上，图中全等三角形共有3对，故选：C．4．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE，连接BE、CD，则BE与CD之间的大小关系是（

）A．BE=CD B．BE>CD C．BE<CD D．大小关系不确定【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAE≌△DAC是解题的关键．先证明∠BAE=∠DAC，根据SAS可得△BAE≌△DAC，进而根据全等三角形的性质可得答案．【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=CD．故选A．二、填空题5．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为．【答案】110【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可．【详解】解：∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．故答案为：110．6．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，和分别在线段的两侧，点C，D在线段上，，，则．【答案】4【分析】通过证明，进而解答即可．本题考查了全等三角形的性质与判定．【详解】解：∵∴∴则故答案为：47．（2023八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，则线段BC【答案】5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，证明△EAD≌△CADSAS，即可得到ED=CD【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，在△EAD与△CAD中，EA=CA∠EAD=∠CAD∴△EAD≌△CADSAS∴ED=CD=2cm∴BC=BD+CD=5cm故答案为：5cm8．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于．【答案】3；【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据AB∥CD得到∠D=∠FEB，结合角边角判定即可得到答案；【详解】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠FEB，在△DFC与△EFB中，∵∠D=∠FEBDF=EF∴△DFC≌△EFB(ASA∴CD=BE，∵AB=12，CD=9，∴AE=AB−BE=12−9=3，故答案为：3．9．（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DN⊥AB于D，DN=AC，DN交AC于M，过点N作NF∥BC交AB于F，交AC于H．与△ABC

【答案】△NFD【分析】根据平行线的性质得到∠NFD=∠B，由直角三角形两锐角互余推出∠A=∠N，即可证明△ABC≌【详解】解：与△ABC全等的三角形为△NFD∵NF∥∴∠NFD=∠B∵DN⊥AB∴∠NDF=90°=∠C∴∠N=∠NFD=90°，∠A=∠B=90°∴∠A=∠N在△ABC和△NFD中∠N=∠A∴△ABC≌故答案为：△NFD．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为.【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】延长至E，使得，连接，如图，∵点D是BC的中点，∴，又∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题11．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．(1)求证：；(2)若，连接，平分，平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．（1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：证明：∵E为中点，∴，∵在和中，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．12．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知中，，平分，请补充完整过程，说明的理由．

平分____________（角平分线的定义）在和中______．【答案】，，，已知，，已证，，公共边，．【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定．根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可．【详解】解：依题得：平分，角平分线的定义，在和中，，．故答案为：，；，已知；，已证；，公共边；．13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分．求证：．【答案】证明见详解【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，由平分，得出，利用证明，由全等三角形的性质即可证明．【详解】证明∵平分，，在和中，，，．14．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．

【答案】见详解【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明，推出，再根据可以证明．【详解】证明：在和中，，，，，，，在和中，，．15．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知连接．(1)求证：；(2)若求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；（1）根据题意由，可得，即可求证；（2）由，可得，再由内角和为即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．16．（2023·陕西西安·模