专题02 实际问题与二元一次方程组14种常见题型解题技巧-新八年级《数学》暑假自学提升讲义（人教版）解析版

第第页专题02实际问题与二元一次方程组14种常见题型解题技巧题型一：二元一次方程组的错解复原问题题型二：构造二元一次方程组求解题型三：已知二元一次方程组的解的情况求参数题型四：方案问题题型五：行程问题题型六：工程问题题型七：数字问题题型八：年龄问题题型九：分配问题题型十：销售、利润问题题型十一：和差倍分问题题型十二：几何问题题型十三：图表信息题题型十四：古代问题一、方案问题解题技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．二、行程问题解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；追击问题：快的路程－慢的路程=路程差流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速三、工程问题解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。四、数字问题解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．五、年龄问题解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。六、销售、利润问题解题技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。七、和差倍分问题解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。增长量＝原有量×增长率

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.八、几何问题解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；九、古代问题解这类题的一般程序为：问题情境—抽象出等量关系—列出二元一次方程组—解方程组—作答。通过对上述几例的学习，我们不仅会用二元一次方程组解决实际问题，而且还对我国的古代数学有了进一步的了解，同时解决实际问题的意识和应用能力得到了加强。题型归纳题型一：二元一次方程组的错解复原问题【例1】．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为，满足方程②，即；又轩轩把方程②抄错，求得的解为，满足方程①，即；因此有，解得，所以原方程组可变为，即，①②得，，解得，把代入①得，，解得，原方程组的正确的解为．【变式1-1】．（22-23七年级下·重庆万州·期末）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．(1)求a与b的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)2【分析】（1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立即可求得a与b的值；（2）将a与b的值代入即可求解．【详解】（1）解：根据题意，将代入②可得：，解得：；将代入①得：，即．（2）解：，，，．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【变式1-2】．（22-23七年级下·四川·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而得到的解为；乙看错了方程中的，而得到的解为．(1)求的值；(2)求原方程组的正确解．【答案】(1)9(2)【分析】（1）将，代入，求出的值，将，代入，求出的值，代入代数式求解即可；（2）将的值代入方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：由题意，得：，∴，∴；（2）∵，∴方程组为：，，得：，解得：；把代入②，得：，解得：；∴方程组的解为：．【点睛】本题考查方程组错解复原问题．解题的关键是掌握错解满足没有看错的方程．【变式1-3】．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？(2)求出原方程组的正确解．【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1(2)【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识．（1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可；（2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可．【详解】（1）解：将，代入方程组得，解得：，将，代入方程组得，解得：，∴甲把错看成了1；乙把错看成了1；（2）解：根据（1）得正确的，，则方程组为，解得：．题型二：构造二元一次方程组求解【例2】．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于的方程称为点P的“映射方程”．若是方程的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点的“映射方程”是，且是该方程的解，则点“映射”了点，也可以说点被点“映射”．(1)请写出点的“映射方程”：；(2)若点同时被点和点“映射”，请求出．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题干定义，得；（2）由题干定义，可构建方程组，求解方程组即得答案．【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：由题意可列方程组：，解得．【点睛】本题考查对新定义的理解，二元一次方程组的应用；根据新定义构建方程组是解题的关键．【变式2-1】．定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是的“1系友好点”．(1)点的“2系友好点”的坐标是，若一个点的“系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是；(2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值；(3)点在x轴正半轴上，“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为0，求k的值．【答案】(1)；(2)(3)k的值为1【分析】（1）根据新定义，设点的“2系友好点”的坐标是，根据题意可得，，即可得到点的“2系友好点”的坐标是；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标是；（2）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到；（3）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在x轴正半轴上得到，，分和两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：设点的“2系友好点”的坐标是，根据题意可得，，∴点的“2系友好点”的坐标是；设点的“系友好点”的坐标是，则，解得，∴这个点的坐标是；故答案为：；（2）∵点A是点的“系友好点”，∴，∵，∴，∴，∴或，∵点在第二象限，∴，∴；（3）设点的坐标是，∵点在x轴正半轴上，“k系友好点”为点，∴，∴点的坐标是，∵点在x轴正半轴上，∴，，当时，，对任意t都成立，∴，即，解得或（舍去），当时，，对任意t都成立，∴，此方程无解，综上可知，即k的值为1．【点睛】此题考查了点的坐标，涉及新定义，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，理解“k系友好点”的定义．【变式2-2】．对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，∵，∴452是“七巧数”；，∵，∴724不是“七巧数”.(1)判断766，285是否为“七巧数”？请说明理由．(2)若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，求的值．【答案】(1)766是“七巧数”，285不是“七巧数”，理由见解析；(2)m的值为801或711或621或531【分析】（1）根据定义判断即可；（2）利用定义和已知列方程，分情况讨论即可．【详解】（1）∵，∴766是“七巧数”，285不是“七巧数”；（2）设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c,根据题意得：，（n为正整数）且①＋②得：，∴当时，，，∴，或，或，或，，当，3，4……得不到符合题意的m，∴m的值为801或711或621或531．【点睛】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．【变式2-3】．定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．(1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有_______(填序号)；(2)已知两点是方程图象的关联点，两点是方程图象的关联点．若点在轴上，点在轴上，求四边形的面积；(3)若三点是二元一次方程图象的关联点，探究与的大小．【答案】(1)①③(2)(3)【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；（2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；（3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系．【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程，①，②，③，在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③，故答案为：①③；（2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，，解得，，点在轴上，当时，，，，点在轴上，当时，，，，，四边形的面积；

（3），，三点是二元一次方程图象的关联点，将，代入得整理，得①，将代入得②，①②得，解得将代入得即解得，将代入得即解得，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题．题型三：已知二元一次方程组的解的情况求参数【例3】．（22-23七年级下·河南新乡·期末）延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：已知关于x，y的方程组的解满足为非负数．求m的取值范围．

小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可．小明：哈哈，直接①－②可以简便地求出m的取值范围．请结合他们的对话，解答下列问题：(1)按照小红的方法，______，______；（用含m的代数式表示）(2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意列方程求解即可；（2）利用整体代入的方法求解即可．【详解】（1）解：∵为非负数．∴，①+②得，即，将代入②得，解得，故答案为：；；（2）解：①-②得，即，∴，∵，∴，解得．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键．【变式3-1】．（22-23七年级下·江苏·单元测试）阅读理解：在数学课上，王老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组，求的值？小芳：把方程组解出来，再求的值．小强：把两个方程直接相加得方程两边同时除以4解得．王老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小强”同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小芳或小强同学的做法，解决下面的问题．(1)已知关于x、y的方程组的解满足，求a的值．(2)运用“整体思想”解答：若方程组的解是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，可求出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；（2）将代入原方程组，可求出，再将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：得，，又，，解得：，的值为；（2）解：将代入原方程组得：，整理得：，．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，找出；（2）将方程组的解代入原方程组，找出．【变式3-2】．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：（1）请你直接写出方程的正整数解___________．（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．【答案】（1）；（2）4，5，6，9；（3）【分析】（1）根据二元一次方程的解的定义求出即可；（2）根据题意得出或3或2或1，求出即可；（3）先求出y的值，即可求出k的值．【详解】解：（1）由方程得，（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为2的倍数，从而，代入．所以的正整数解为，故答案为：；（2）若为自然数，则的值为6，3，2，1，则满足条件的正整数的值有9，5，6，4；（3），：，解得：，∵，是正整数，是整数，∴．．但时，不是正整数，故．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解释解此题的关键．【变式3-3】．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．(1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______；(2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；(3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．【答案】(1)不是“郡麓点”，是“郡麓点”；(2)10(3)或或或．．【分析】（1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可；（2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．（3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．【详解】（1）解：点，令，得，，不是“郡麓点”，点，令，得，，是“郡麓点”；故答案为：B．（2）解：方程组的解为，点，是“郡麓点”，，，，，解得的值为10．（3）解：方程组的解为，点是“郡麓点”，，，，，解得，a，b为正整数，或或或．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解（3）的关键．题型四：方案问题【例4】（2022春•玄武区期末）某汽车租赁公司有、两种型号的汽车．如果租赁型车5辆和型车7辆，一天共花费3900元：如果租赁型车8辆和型车14辆，一天共花费6800元．（1）求租赁、两种型号的汽车各一辆，一天的花费一共需多少元？（2）某单位在该公司租车一天的花费为2500元，请直接写出所有可能的租车方案．【分析】（1）根据题意，找出等量关系式，列方程组，题目中的等量关系为：①租赁型车5辆的费用租赁型车7辆的费用；②租赁型车8辆的费用租赁型车14辆的费用．（2）根据、两种车辆每天的的租赁费用及每种车的租赁数量列二元一次方程，再根据实际意义确定方程的解．【解答】解：（1）租赁一辆种型号的汽车一天需要元，租赁一辆种型号的汽车一天需要元．由题意得：．解得：．．答：租赁、两种型号的汽车各一辆，一天的花费共需700元．（2）设租赁型号汽车辆，型号汽车辆．由题意，得．．、均为正整数，，即，．解得．又是5的倍数，，5，10．把的值分别代入得，，3，1．租车方案为：租赁种型号的汽车5辆，种型号的汽车0辆；租赁种型号的汽车3辆，种型号的汽车5辆；租赁种型号的汽车1辆，种型号的汽车10辆．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及不定方程的实际应用，在根据不定方程确定其解时，要注意解要符合实际意义．【变式4-1】．（2022春•玄武区期末）某商家线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案和，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案、分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表：甲纪念品单件利润乙纪念品单件利润方案1220方案1816该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完．（1）某天采用方案销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1520元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？（2）某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案当天所获得的利润不低于采用方案当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？（3）经市场调研，甲种纪念品热销．为了提高乙种纪念品的销量，要保证乙种纪念品每天的销量不低于60件，且每天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润不少于1760元，则甲种纪念品每天的销量最多是30件．【分析】（1）按照题目中等量关系列方程组解答，题目中的等量关系为：①甲种纪念品销售件数乙种纪念品的销售件数，②甲种纪念品的销售利润乙种纪念品的销售利润．（2）根据不等关系列不等式解答，题目中的不等关系为：方案当天所获利润方案当天所获利润．（3）分别按照方案，方案两种方案进行计算，根据题意列不等式组解答．【解答】解：（1）设甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是件，件．由题意得：解得答：甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是60件、40件．（2）设甲种纪念品当天的销量是件，则乙种纪念品当天的销量是件．由题意得，解得．答：甲种纪念品当天的销量至少是40件．（3）设甲种纪念品每天销量为件，则乙种纪念品每天的销量是件，①按照方案销售：由题意，得．解这个不等式组，得．甲种纪念品每天销量最多30件．②按照方案销售：由题意，得．解这个不等式组，得无解．综上所述，符合要求的甲种纪念品每天的销量最多是30件．故答案为：30．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组的应用，弄清题意，找出（不等量关系是解题的关键．【变式4-2】．（2023春•淮安区期末）开学初，衢州市某中学七（1）班学生去商场购买了品牌足球1个、品牌足球2个，共花费210元，七（2）班学生购买了品牌足球3个、品牌足球1个，共花费230元．（1）求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1000元全部购买、两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你设计出购买足球的方案．【分析】（1）设购买一个种品牌的足球需要元，一个种品牌的足球需要元，根据“购买品牌足球1个、品牌足球2个，共花费210元；购买品牌足球3个、品牌足球1个，共花费230元”，得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价等于单价乘以数量，即可得出关于、的二元一次方程，再结合、均为非负整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个种品牌的足球需要元，一个种品牌的足球需要元，依题意得：，解得：．购买一个种品牌的足球需要50元，一个种品牌的足球需要80元．（2）设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据题意得：，，、均为非负整数，，，，学校有3种购买足球的方案，方案一：购买品牌足球20个、品牌足球0个；方案二：购买品牌足球12个、品牌足球5个；方案三：购买品牌足球4个、品牌足球10个．【点评】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式4-3】．（2023春•海门市期末）某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台6000元，型每台4000元、型每台3000元．（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的型和型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．【分析】（1）先设购进型电脑台，购进型电脑台．，再依据等量关系“购进型电脑的台数购进型电脑的台数”，“购进型电脑的钱数购进型电脑的钱数”列出方程组求解即可；（2）先设购进型电脑台，购进型电脑台，购进型电脑台，然后列出方程组，消去未知数得到，然后根据列出不等式组，由此解出的非负整数解即可得出购买方案．【解答】解：（1）设购进型电脑台，购进型电脑台．依题意得：，解得：，答：购进型电脑15台，购进型电脑30台．（2）有四种不同的购买方案，理由如下：设购进型电脑台，购进型电脑台，购进型电脑台．依题意得：，由①得：③，将③代入②整理得：，，，，解得：，又非负为整数，，1，2，3，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，方案一：购进型电脑0台，购进型电脑10台，购进型电脑50台．方案二：购进型电脑1台，购进型电脑7台，购进型电脑52台．方案三：购进型电脑2台，购进型电脑4台，购进型电脑54台．方案四：购进型电脑3台，购进型电脑1台，购进型电脑56台．题型五：行程问题【例5】．（2023秋•法库县期末）甲、乙两人从相距的两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据“如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两人的速度．【解答】解：设甲的速度为，乙的速度为，依题意得：，解得：．答：甲的速度为，乙的速度为．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式5-1】．（2022春•江北区校级期末）已知，两地相距120千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值；（2）若，且乙车行驶的总时间为小时．①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米．【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；（2）①由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出、的值，②当行驶前小时，甲乙两车均以60千米每小时的速度行驶．两车分别行驶48千米，即一共行驶了96千米．当行驶到1小时时，甲车以60千米每小时行驶，乙车以90千米每小时行驶．在这段时间甲车可以行驶12千米，乙车可以行驶18千米．共行驶，说明两车相遇是在这个时间段．则相遇时，两车以这样的速度已经行驶了：小时．1小时以后两车均以90千米每小时行驶，直到行驶至目的地．由条件就可以求出结论．综上所述，两车相遇时，乙离地距离，即为甲行驶的距离．【解答】解：（1）由题意，得，解得：，答：的值为80千米时，的值为120千米时．（2）①由题意，得，解得：．，；②由题意，得相遇时甲行驶的时间为：小时；乙离地距离，即为甲行驶的距离为：千米答：两车相遇时，离地57.6千米．【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．【变式5-2】．（2022春•海州区期末）某隧道长，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火车完全在隧道里的时间是50秒，求火车的速度和长度．【分析】设火车的车身长为米，速度是，根据行程问题的数量关系路程速度时间建立方程组求出其解即可．【解答】解：设火车的车身长为米，速度是，根据题意可得：，解得，答：火车的车身长为200米，速度是．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，关键是正确理解题意，掌握行程问题的数量关系路程速度时间．题型六：工程问题【例6】．（2023春•宛城区期末）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程．古代问题：某人工作一年报酬是一件衣服和10枚银币，但他工作满8个月后就不干了，结账时，给他一件衣服和2枚银币，求这件衣服的价值是多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？南南：阳阳：，根据以上信息，解答下列问题．（1）以上两个方程（组中的意义是；（2）阳阳的方程所用等量关系是．．每月所得的报酬相等．8个月所得的报酬相等（3）从以上两个方程（组中选一个，并直接回答老师提出的问题．【分析】（1）根据南南所列方程组及明明所列方程的等量关系，可得出的意义均为衣服的价值，进而可得出以上两个方程（组中意义；（2）由（1）的结论结合，即可得出结论；（3）分别选择南南及阳阳的方法，解二元一次方程组或一元一次方程，即可求出结论．【解答】解：（1）南南所列方程组中的意义为衣服的价值，阳阳所列方程中的意义为衣服的价值，以上两个方程（组中意义为：衣服的价值．故答案为：衣服的价值；（2）的意义为衣服的价值，为8个月所得的报酬相等．故答案为：；（3）选择南南的方法，解得：；选择阳阳的方法，解得：，．答：这件衣服值14枚银币，每月报酬为2银币．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据所列方程组及方程，找出的意义；（2）根据（1）的结论，找出的含义；（3）通过解方程或方程组，找出这件衣服的价值和每月报酬．【变式6-1】．（2023春•襄汾县期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．（1）求甲、乙两工程队每天各施工多少米？（2）现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据“甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程；甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙工程队每天应再多施工米，根据要在12天内完成该项工程，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意得：，解得：．答：甲工程队每天施工50米，乙工程队每天施工40米；（2）设乙工程队每天应再多施工米，根据题意得：，解得：，的最小值为40．答：乙工程队每天至少应再多施工40米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式6-2】．（2023春•梁平区期末）某玩具厂接到一笔1500盒积木的订单，需要在15天内完成，已知该种积木每盒里都有4个正方体积木和4个半圆形积木．玩具厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方体积木或6个半圆形积木，但每人一天只能加工一种积木，玩具厂每天加工的正方体积木和半圆形积木数量正好全部配套（一样多）．（1）玩具厂每天能生产多少盒积木？（2）为了能在规定期限内完成订单，玩具厂决定从其他车间调来名工人帮忙，新调来的工人由于工作不熟练，只会加工正方体积木，且每人每天只能加工6个，为了确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，重新对100名熟练工进行分工．若要在规定时间内完成订单，求的最小值．【分析】（1）每天安排名工人生产半圆形积木，根据生产的积木每人每天生产的数量人数，结合每盒产品有4个正方体积木和4个半圆形积木，即可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出结论；（2）可设原100名熟练工中负责生产正方体积木的人数为人，根据题意可列出相应的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每天安排名工人生产正方体积木，则每天安排名工人生产半圆形积木，依题意得：，解得：，则玩具厂每天能生产的积木数为：（盒，答：玩具厂每天能生产90盒积木；（2）设原100名熟练工中负责生产正方体积木的人数为人，依题意得：，解得：，此时该厂每天生产个正方体积木，故此时该厂每天生产盒积木，由题意可得：，解得：，确保每天加工的两种积木数量正好全部配套，必须为整数，故是5的倍数，不小于且是5的倍数的最小整数值为20，最小值为20．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程及二元一次方程组．【变式6-3】．（2023春•新邵县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．【分析】（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解；（2）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．【解答】解：（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元，由题意得，，解得：．答：甲组单独工作一天需要300元，乙组单独工作一天商店需付140元；（2）单独请甲组，需费用元，少盈利元，相当于损失6000元；单独请乙组，需费用元，少盈利元，相当于损失8160元；故单独请甲组更有利于商店．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．题型七：数字问题【例7】．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”．例如：，，是“勾股和数”；又如：，，，不是“勾股和数”．(1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；(3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的．【答案】(1)不是“勾股和数”，是“勾股和数”；理由见解析(2)、、等（答案不唯一）(3)或【分析】（1）根据“勾股和数”的定义直接判断即可；（2）根据定义写出符合题意的“勾股和数”即可；（3）由题意可知，且，由是整数可得，再由的值即可得出的值．【详解】（1）解：不是“勾股和数”，是“勾股和数”；理由：，，不是“勾股和数”；，是“勾股和数”；（2）如：、、，，，此题中没有出现过的“勾股和数”有、、（答案不唯一）（3）为“勾股和数”，，，为整数，，，，，，，解得，此时，，解得，此时；综上，的值为或．【点睛】本题以新定义为背景考查了数字规律的探索，二元一次方程组的应用，仔细审题理解“勾股和数”的定义并运用是解答本题的关键．【变式7-1】．（2023春•安顺期末）营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息：①快餐总质量为300克．②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质．③蛋白质和脂肪共占；矿物质的含量是蛋白质含量的；蛋白质和碳水化合物含量共占．根据上述信息回答下列的问题：（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共克；（2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量．（3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质，同时三者含量为总质量的．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）．【分析】（1）根据质量总质量百分比，这份快餐总质量为，蛋白质和脂肪共占，根据公式即可计算出这份快餐中蛋白质和脂肪的质量．（2）（方法一）根据矿物质的含量是蛋白质质量，设出矿物质的质量和脂肪的质量，表示出蛋白质的质量，然后根据题意，列出二元一次方程组，通过解方程求出值．（方法二）可以设出矿物质的质量、蛋白质的质量和脂肪的质量3个未知数，根据题意，列出三元一次方程组，解方程求出值．（3）通过计算这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量比，判断是否符合理想比；根据碳水化合物、脂肪、蛋白质的“理想比”，设出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量，然后根据这三种成分的总质量占300克总质量的列出方程，从而计算出三种成分的质量．【解答】解：（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量（克．故答案为：150．（2）（方法一）设矿物质的质量为克，脂肪的质量为克，则蛋白质的质量为克，根据题意，得，解得．答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克．（方法二）设矿物质单元质量为克，蛋白质的质量为克，脂肪的质量为克，碳水化合物的质量为克，根据题意，得，解得．答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克．（3）这份快餐的碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量分别为120克、60克、90克，这三种成分的质量比为，不符合“理想比”．设符合“理想比”的碳水化合物的质量为克，脂肪的质量为克，蛋白质的质量为克．根据题意，得，解得，矿物质的质量：（克．答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克．【点评】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，其中通过设未知数，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【变式7-2】．（2023春•怀柔区期末）列二元一次方程组解应用题．某校初一年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求统计将要购买的书籍类型和书籍数量，如表是初一（1）班和初一（2）班统计后的购书情况．文学类（本人）科普类（本人）初一（1）班32初一（2）班41共计（本258102（1）请你根据表格信息，求初一（1）班和初一（2）班各有多少人？（2）若学校准备为初一（1）班和初一（2）班购买文学类书籍和科普类书籍共300本，且文学类书籍不少于科普类书籍的2倍，请问最多能购买多少本科普类书籍？【分析】（1）设初一（1）班有人，初一（2）班有人，根据表格数据列出方程组，求解即可；（2）设购买本科普类书籍，则购买本文学类书籍，由“文学类书籍不少于科普类书籍的2倍”可列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）设初一（1）班有人，初一（2）班有人，由题意得：，解得：，初一（1）班有30人，初一（2）班有42人；（2）设购买本科普类书籍，则购买本文学类书籍，由题意得：，解得：，最多能购买100本科普类书籍．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系和不等关系，列出方程组和不等式．题型八：年龄问题【例8】．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．

【答案】小亮今年的年龄为8岁【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解．【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁由题意可得：解得：答：小亮今年的年龄为8岁．【变式8-1】．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．【答案】今年李老师24岁，该学生13岁【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则相据该学生和李老师的年龄差不变，可得解得答：今年李老师24岁，该学生13岁．【变式8-2】．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．题型九：分配问题【例9】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．

(1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？(2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个(2)是的整数倍，理由见解析【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍．【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，解得：．答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个；（2）解：是的整数倍，理由如下：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，，又，均为正整数，是的整数倍．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式9-1】．（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意，得：解得：，答：三人间客房租了间，二人间客房租了间．【变式9-2】．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．(1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．(2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．由A卡纸制作由B卡纸制作小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）方案评价表方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分优秀低于65元两种卡纸均无余料剩余3分良好低于65元两种卡纸均有余料剩余2分合格低于65元仅一种卡纸有余料剩余1分【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子．(2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．（1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可；（2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案．【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则，解得：，∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子．（2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则，∴，∴，∵，为正整数，∴或，∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，当时，则费用为（元），当时，则费用为（元），∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．∴尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，∴，解得：，∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，制作分配方案如下：由A卡纸制作由B卡纸制作小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）方案评价表方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分优秀低于65元两种卡纸均无余料剩余3分良好低于65元两种卡纸均有余料剩余2分合格低于65元仅一种卡纸有余料剩余1分【变式9-3】．（21-22七年级下·河北承德·期末）某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．(1)当时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时(2)分配到生产线2吨，分配到生产线3吨(3)与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨【分析】（1）把代入和，即可求解；（2）设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据“把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，”列出方程组，即可求解；（3）根据“加工时间相同，”可得，从而得到，再由，即可求解．【详解】（1）解：当时，，；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时．（2）解∶设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据题意得：，解得，即分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨；（3）解：根据题意得：，整理得：，∵，∴，，答：与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．题型十：销售、利润问题【例10】．（2022春•秦淮区期末）截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元．（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？（2）若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，请问一共有几种投入方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值？【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗万剂，每个小车间每周能生产疫苗万剂，根据“1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出该公司每个大车间、小车间每周生产疫苗的数量；（2）设投入个大车间，则投入小车间个，根据每周生产的疫苗不少于135万剂，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出投入方案的个数，再求出各投入方案每周生产疫苗的总成本，比较后即可得出每周生产疫苗的总成本最小值为11850万元．【解答】解：（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗万剂，每个小车间每周能生产疫苗万剂，依题意得：，解得：．答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂．（2）设投入个大车间，则投入小车间个，依题意得：，解得：．又，均为正整数，可以为7，8，9，共有3种投入方案，方案1：投入7个大车间，3个小车间，每周生产疫苗的总成本（万元）；方案2：投入8个大车间，2个小车间，每周生产疫苗的总成本（万元）；方案3：投入9个大车间，1个小车间，每周生产疫苗的总成本（万元）．，一共有3种投入方案，每周生产疫苗的总成本最小值为11850万元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式10-1】．（2022春•吴江区期末）小星同学到文具店买文具．请你根据对话信息（小星：阿姨您好，我要买12支中性笔和20本笔记本，是不是一共112元？店员：不对呀，一共是144元．小星：啊哦，我明白了，您是对的！我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了．求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，依题意得：，解得：．答：中性笔的单价是2元，笔记本的单价是6元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．【变式10-2】．（2023春•靖江市期末）学校为举行校庆活动，准备向某商家购买，两种衬衫，已知购买2件种衬衫和3件种衬衫需要170元；购买4件种衬衫和1件种衬衫需要190元．（1）求，两种衬衫的单价；（2）恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，学校决定向该商家购买，两种衬衫共100件，其中种衬衫件．活动一：“疯狂打“种衬衫八折，种衬衫四折；活动二：“买一送一“购买一件种衬衫，赠送一件种衬衫．①若按活动一购买，共需付款多少元？若按活动二购买，共需付款多少元？（用的代数式表示）②若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求的所有可能值．【分析】（1）设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据“钱数种奖品单价数量种奖品单价数量”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）①根据活动方案列出代数式即可；②根据不等关系列出不等式，求解不等式即可．【解答】解：（1）设、两种型号的文化衫每件的价格分别为元和元，由题意得，，解得，答：、两种型号的文化衫每件的价格分别为40元和30元．（2）①若按活动一购买，共需付款金额为：元；若按活动二购买，共需付款金额为：元；答：若按活动一购买，共需付款元；若按活动二购买，共需付款元．②按活动二购买比按活动一购买更优惠，，解得，又，且为整数，的所有可能值为46，47，48，49．【点评】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组或不等式）．【变式10-3】．（2023春•宿迁期末）端午节期间，某商场打算购入，两种粽子礼盒共100件，种粽子礼盒的进价为每件22元，种粽子礼盒的进价为每件15元．在销售过程中，顾客甲买3件和1件共付款150元，顾客乙买1件和2件共付款100元．（1）请问，两种粽子礼盒的售价各是多少？（2）若该商店计划，两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进，两种礼盒时，共有哪几种进货方案．【分析】（1）设种粽子礼盒的售价是元件，种粽子礼盒的售价是元件，根据“顾客甲买3件和1件共付款150元，顾客乙买1件和2件共付款100元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进件种粽子礼盒，则购进件种粽子礼盒，根据“该商店计划，两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案．【解答】解：（1）设种粽子礼盒的售价是元件，种粽子礼盒的售价是元件，根据题意得：，解得：．答：种粽子礼盒的售价是40元件，种粽子礼盒的售价是30元件；（2）设购进件种粽子礼盒，则购进件种粽子礼盒，根据题意得：，解得：，又为正整数，可以为34，35，36，该商店共有3种进货方案，方案1：购进34件种粽子礼盒，66件种粽子礼盒；方案2：购进35件种粽子礼盒，65件种粽子礼盒；方案3：购进36件种粽子礼盒，64件种粽子礼盒．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．题型十一：和差倍分问题【例11】．（22-23七年级下·江苏南京·期末）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱．求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数．（用二元一次方程组解决问题）【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱【分析】设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解．【详解】解：设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱．由题意得：解得：答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组．【变式11-1】．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）某学校准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元．(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元？(2)根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共62个，要求购买足球和篮球的总费用不超过6750元，则该学校最多可以购买多少个篮球？【答案】(1)购买一个足球80元，一个篮球125元(2)该学校最多可以购买39个篮球【分析】（1）设购买一个足球x元，一个篮球y元，根据购买3个足球和2个篮球共需490元；购买2个足球和4个篮球共需660元，列出方程组即可；（2）设该学校购买m个篮球，根据购买足球和篮球的总费用不超过6750元，列出不等式进行求解即可．【详解】（1）解：设购买一个足球x元，一个篮球y元．由题意得：，解得：，购买一个足球80元，一个篮球125元．（2）设该学校购买m个篮球．由题意得：解得：．是正整数，的最大值为39，即该学校最多可以购买39个篮球．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题的关键是理解题意，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式．【变式11-2】．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下：

(1)若购买场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？(2)若再次购买场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？(3)已知购买场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？【答案】(1)购买类3张，购买类4张(2)9张(3)有类9张，类0张或类5张，类9张或类1张，类18张三种方案【分析】（1）设购买类张，购买类张，根据，，解之即可；（2）设购买类张，则类有张，根据总价不超过2100元列出不等式，解答即可；（3）设类张，类张，列出等式，再根据门票为整数即可确定方案．【详解】（1）解：设购买类张，购买类张，根据题意可得：，解得：．答：购买类3张，购买类4张．（2）设购买类张，则类有张，根据题意得：，解得：．答：最少购买9张类门票．（3）设类张，类张，根据题意可得：，，，，为非0整数，方案1，，，方案2，，，方案3，，．答：有类9张，类0张或类5张，类9张或类1张，类18张这三种方案．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意找出数量关系是解题关键，特别注意取值范围．【变式11-3】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨(2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆．(3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元【分析】（1）根据“用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨”，列方程组求解即可；（2）设租A型车a辆，B型车b辆，则，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次，分别求出租车费用比较即可．【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）解：设租A型车a辆，B型车b辆，则，∵a、b都是正整数，∴或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆．（3）∵A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次，∴方案一需租金：（元）方案二需租金：（元）方案三需租金：（元）∵∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找出题中的数量关系，正确列出方程或方程组．题型十二：几何问题【例12】．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）如图，6块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？

【答案】长方形地砖长为，宽为．【分析】设每块长方形地砖的长为，宽为，根据图形之间的边长关系，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设每块长方形地砖的长为，宽为，依题意，得，得：，答：长方形地砖长为，宽为．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．解题的关键是正确的识图，理清边长之间的和差关系，正确的列出方程组．【变式12-1】．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）

(1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张；(2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？【答案】(1)9；15(2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒【分析】（1）根据题意进行解答即可；（2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）．故答案为：9；15．（2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据题意得：，解得：，经检验：是方程组的解且符合题意∴能做纸盒数为：（个）答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组．【变式12-2】．（21-22七年级下·浙江温州·期中）某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形板块和正方形板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒.设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.x块甲方式加工的纸板y块乙方式加工的纸板板块2x板块(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，能做多少个礼盒？(3)若现有板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的，板块恰好用完，则a的最小值为___________.(请直接写出答案)【答案】(1)4y，6x(2)12(3)9【分析】（1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可；（2）设未知数，列方程组求解即可；（3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可．【详解】（1）解：由甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量可知，x块纸板按甲方式进行加工，可得到A版块2x块，B版块6y块，y块纸板按乙方式进行加工，可得A版块6y块，故答案为：6y，4y；（2）由题意可得，，解得：，即有4块采用甲方式进行加工，10块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完，此时，礼盒的个数为6×4÷2=12（个）；（3）由题意得，，解得x=，∵x、a都是正整数，∴a的最小整数值为9，故答案为：9．【点睛】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键．【变式12-3】．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．

(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．【答案】(1)小长方形的相邻两边长是，(2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长；（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和，依题意，可有，解得，故小长方形的相邻两边长分别是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为，个大长方形的周长为，∴．故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；依题意有：，整理，得．故和满足的关系式为．【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型．题型十三：图表信息题【例13】．（20-21七年级下·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准：阶梯一户居民每月用水量（单位：立方米）水费价格（单位：元/立方米）一档不超过15立方米a二档超过15立方米的部分b已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元．（1）求出表格中a、b的值；（2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？【答案】（1）a=3，b=5；（2）该户居民6月份最多可用水23立方米【分析】（1）该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3，根据4月份和5月份的缴费情况列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；（2）设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据（1）中的分档收费标准列出方程并解答．【详解】解：（1）设该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3，根据题意，得，解得：．答：a的值是3，b的值是5．（2）设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据题意，得15×3+5（x-15）≤85．解得x≤23．答：该户居民6月份最多可用水23立方米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是根据题意列出a和b的二元一次方程组，此题难度不大．【变式13-1】．（20-21七年级下·江苏常州·期末）某公园的门票价格如表所示：购票人数1～5051～80100以上票价（元/人）1085某校七年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付928元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要520元．（1）甲、乙两班分别有多少人？（2）游园过程中，学校组织全体学生坐船游玩“畅沁湖”．坐小船4人一艘，每艘小船价格20元；坐大船8人一艘，每艘大船价格50元，领队只剩下620元．在保证每艘船都坐满的情况下，请问至少需要租多少艘小船？【答案】（1）甲班有56人，乙班有48人；（2）至少需要租6艘小船【分析】（1）设甲班有x人，乙班有y人，利用总价=单价×数量，结合“如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付928元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需要组m艘小船，则租（13-m）艘大船，利用总租金=每艘船的租金×租船数量，结合总租金不超过620元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人，依题意得：，解得：，答：甲班有56人，乙班有48人．（2）设需要组m艘小船，则租=（13-m）艘大船，依题意得：20m+50（13-m）≤620，解得：m≥6．答：至少需要租6艘小船．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．题型十四：古代问题【例14】．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？【答案】(1)有个大和尚，个