预备知识11 函数的单调性与最大（小）值（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题11预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程知识点一：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减知识点二：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为①取值：任取，，且；②作差：计算；③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减知识点三：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最大值；2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最小值对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性典型例题例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递减；证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；（2）利用（1）中结果，即可建立不等式组，即可求出结果.【详解】（1）在上单调递减，证明如下：任取，则，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递减.（2）在上单调递减，所以，可得，解得，故实数m的取值范围是．例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明.【详解】在上单调递增，证明如下：设，；因为，，，，所以，所以是在上单调递增.精练1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上是增函数.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式；（2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性.【详解】（1），；（2）设，，，即则函数在上是增函数2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明；【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下：函数，任取，设，则，因为，，则，故，即，故函数在上单调递减；对点特训二：求函数的单调区间典型例题例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案【详解】的定义域为，由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，【答案】D【分析】由对勾函数的单调性求解即可.【详解】函数为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，.不能选C，因为不满足减函数的定义.故选：D.例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数的单调增区间是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.【详解】的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到，如下图的单调增区间是．故选：C.精练1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）【答案】D【解析】略2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.【详解】解：函数对称轴为，开口向上，所以函数，的单调减区间为.故选：D3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数的单调递减区间是.故选：C．对点特训三：利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.【详解】由，故在上单调递增，由，有，即.故选：A.例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是．【答案】【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得.【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得，即，解得.故答案为：.例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；（2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】（1）在上单调递增，证明如下：因为，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；（2）由（1）知在上单调递增，所以，可得，解得故实数的范围是．精练1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）【解析】略2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，转化为不等式，即可求解.【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数．(1)判断函数在上的单调性，并证明；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）利用定义法即可证明函数在上单调递增；（2）由（1），根据可得，解之即可求解.【详解】（1）函数在上单调递增.证明：设，则，由，得，所以，即，所以函数在上单调递增；（2）由（1）知函数在上单调递增，又，则，解得，即实数a的取值范围为.对点特训四：利用函数的单调性求参数典型例题例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可.【详解】因为，所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为．【答案】【分析】作出函数，的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出答案.【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象如图，当时，或1，由图象可知，当时，函数在上单调递增.故答案为：.例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围.【答案】【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端点函数值.【详解】由题意得，解得，故实数的取值范围为.故答案为：精练1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围.【答案】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数图象开口向上，对称轴为，由函数在区间上单调递增，得，解得，所以a的取值范围是故答案为：2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是．【答案】【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.【详解】函数在R上单调递增，所以，解得，所以a的取值范围是，故答案为：.对点特训五：求函数最值（值域）典型例题例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是．【答案】2【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解.【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以．故答案为：2.例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围.【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值，由时，，若时，在递减，可得，由于的最小值为，所以，解得；若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去；综上得实数a的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.精练1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是．【答案】1【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果.【详解】令，解得；令，解得或；所以，当时，在上单调递增，则；当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以；综上所述：函数的最大值为1.故答案为：1.2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是【答案】【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式即可求得的取值范围.【详解】当时，，则函数在上递减，在上递增，所以，则此时；当时，，要使得的值域为，则，解得，所以的取值范围是.故答案为：.对点特训六：二次函数（含参数）最值问题典型例题例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是，在区间的最大值是．【答案】4

【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线，因此减区间是，在区间上，时，递增，时，递减，因此，故答案为：；4.例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的最小值是.【答案】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】函数的开口向上，对称轴为，所以当时取得最小值.故答案为：例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最大值等于．【答案】8【分析】先求出二次函数对称轴，再结合定义域与二次函数增减性即可求出函数最值.【详解】，函数对称轴为，开口向下，故在单减，.故答案为：8精练1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为.【答案】【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得.【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为，，离对称轴较远，则故答案为：2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数，求的最小值.【答案】5【分析】二次函数的对称轴为，可得二次函数在区间上的增减性，从而求得的最小值.【详解】因为，所以二次函数的对称轴为，而，所以二次函数在区间上随的增大而减小，所以当时，.故答案为：53．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数，的值域是.【答案】【分析】由二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为，∴函数的最小值是2，又，，∴函数的值域是.故答案为：.对点特训七：根据最值（值域）求参数典型例题例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，显然，否则当时，，不符合题意，于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，所以实数的取值范围为.故选：D例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集，当时，，令，解得，故当时，；当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.综上，可得.故选：D.例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是．【答案】【分析】根据为一次函数列式计算即可.【详解】由题意知为一次函数，则所以.故答案为：.例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则【答案】【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】当时，显然不符合题意，当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为，所以，解得，故答案为：．精练1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】讨论，，三种情况，列式求的取值范围.【详解】当时，，函数的值域是，满足条件，当时，，解得：，当，不满足条件，综上可知，.故选：A2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.【详解】由，而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又其在上的最小值为8，所以，解得.故选：C.3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案.【详解】由题意知当时，，故要使函数的值域为，需满足，解得，故的取值范围是，故选：D4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的值域求得的正确答案.【详解】当时，；当时，，要使的值域为，则需，解得，所以的取值范围是.故选：A对点特训八：恒成立（能）成立问题典型例题例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．0 D．3【答案】C【分析】设，由题意可得，求出二次函数最值即可求解.【详解】设，开口向上，对称轴为直线，若存在，使不等式成立，则只要即可，函数在上单调递减，所以，所以，所以实数的最大值为0.故选：C例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数，其中.(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，转化为命题“”为真命题，结合，即可求解；.（2）根据题意，转化为在区间内恒成立，利用基本不等式求得的最小值为，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为函数，由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得或，所以实数的取值范围为.（2）解：由函数，可得，因为函数在区间内恒成立，即在区间内恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以，解得，所以实数的取值范围为.例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为，且．(1)求的解析式；(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；（2）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为，又由最小值为，可设，又，即，解得，所以函数的解析式为.（2）因为当时，恒成立，即当时，恒成立，即当时，恒成立，设函数，，则在区间上单调递减，∴在区间上的最小值为，∴，故实数的取值范围为：.例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数.(1)解不等式；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集；（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解.【详解】（1），所以，令，若，解得，当时，，不等式的解集为，当或时，，此时方程有两根，，且，此时不等式的解集为，综上：当时，不等式的解集为；当或时，（2）记函数，的值域为集合A，，的值域为集合B；则对任意的，总存在，使得成立；因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，得；当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得；综上：实数a的取值范围为.精练1．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可.【详解】当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立，则，令，则在单调递增，所以，所以.故答案为：.2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解；（2）将问题转化为，再利用二次函数的性质得在上的最大值为或，从而得解；【详解】（1）当时，则，，由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；当时，的最大值为10；所以在区间值域的为.（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”.由（1）知时，，由二次函数的性质知函数的图象开口向上，所以在上的最大值为或，则，即，解得，故实数的取值范围为区间.3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数.(1)求；(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；(3)设，若在时有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)当时，在上是单调递增函数(3)或【分析】（1）直接代入求解即可.（2）利用单调性定义法证明即可.（3）根据与时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可.【详解】（1）因为，所以.（2）当时，设，则，，显然，，当有一个值为0时，因为，所以有；当时，因为，所以有；当时，，所以有；当时，，所以有；综上，当时，必有，当时，在上是单调递增函数；（3）由上知当时，在上是单调递增函数；同理可证明：当时，在上是单调递减函数；令，所以，可得，在时有解，等价于在时有解，当时，由的单调性知，令，得；当时，由的单调性知，令，得；当时，无解；综上，的取值范围这或.4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可；（2）将问题转化为对任意恒成立，求出得到关于的恒成立问题，继续转化为最值求解即可.【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得又由韦达定理得，因为所以所以，解得；（2）若对，都存在，使得对任意恒成立，则对任意恒成立，对于，，，对称轴，则，对于，，又，当且仅当时等号成立，所以，所以在时恒成立，所以又，当取最小值，且最小值为所以，解得.一、单选题1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性求出值域.【详解】，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，故在上的值域为.故选：D3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数解析式，逐项判断在上的单调性即可.【详解】函数，，在上都单调递增，ABC不是；当时，，因此函数在上单调递减，D是.故选：D4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的单调性判断.【详解】因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是.故选：A.5．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数单调递增得，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，解得.故选：D.6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，若有最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的最小值求出的值，进而可得出函数的最大值.【详解】因为函数在上单调递增，则，则，故.故选：A.7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，结合二次函数与反比例函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数是上的减函数