预备知识01 集合的概念（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题01预备知识一：集合的概念1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，发展数学抽象素养.2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“”“”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有关集合.3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．(2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．4．常用的数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．对点特训一：集合的基本概念典型例题例题1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形例题2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④精练1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为的三角形2．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（

）A．著名的数学家 B．很大的数C．聪明的学生 D．年保山市参加高考的学生对点特训二：判断元素与集合的关系典型例题例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用符号“”或“”填空：（1）若，则-1A；（2）若，则3B；（3）若，则8C，9.1C.（4）；（5）；（6）2017.（7），，，．例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则.(1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；(2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.精练1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且对点特训三：利用集合中元素的互异性求参数典型例题例题1．（多选）（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（

）A．3 B． C．1 D．例题2．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．精练1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣12．（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（

）A．1 B． C． D．2对点特训四：用列举法表示集合典型例题例题1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高二下·辽宁阜新·期末）集合用列举法表示为.精练1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则（用列举法表示）.2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于（用列举法）对点特训五：用描述法表示集合典型例题例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；(4)；精练1．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)；(4)不等式的解集．2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于小于12.8的整数的全体；(3)所有能被3整除的数的集合；(4)方程的解集；(5)不等式的解集；(6)抛物线上的点组成的集合．对点特训六：集合中的含参问题角度1：已知集合相等求参数典型例题例题1．（2024·江西·模拟预测）已知实数集合，若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2例题2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为．同类题型归类练1．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数.2．（23-24高一上·河南郑州·期中）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为．角度2：已知集合元素个数求参数典型例题例题1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2例题2．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合．(1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．精练1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是.3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中.(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.一、单选题1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（

）A． B． C． D．322．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（

）.A． B．C． D．3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（

）①与表示同一个集合；②由组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合可以用列举法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上语句都不对5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（

）A． B．C． D．任一个6．（22-23高一上·全国·期中）已知集合，则的元素个数是（

）A．16 B．8 C．6 D．47．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，10．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．三、填空题11．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则.12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的