高中数学学业水平考试手册附答案合集版

第一章集合

知识梳理、

一'集合的概念

1、集合中元素的三个特征:

2、集合的表示法:、、等。

3、集合按所含元素个数可分为:、

4、常用数集符号:

N表示集；

N”或《表示集；

Z表不集；

Q表示集；

R表示集。

二、两类关系

L元素与集合的关系:用或表示。

2.集合与集合的关系:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合8的

记作；如果集合A=8,但存在xe8,且x£A,就称集合A为集合B的

记作o

3.如果集合A中有个元素，那么4的子集有个，真子集有个，非空子集有

个，非空真子集有个。

三、集合的运算

1、全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用。来表示，一

切所研究的集合都是这个集合的.

2、交集:由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与8的交集，记作APIB,即ADB=。

3、并集:由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作4U8,即AU8=.

4、补集:集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集，记作出A,即GA=—«

卜知识梳理答案/

△一、1.确定性；互异性；无序性；2.列举法；描述法；图示法；3.有限集；无限集；空集；4.自然数；非零自然数;

整数；有理数；实数。

起二、1.£；金；2.子集；418,（或824）；真子集；4荷8（或84）；3.2"；2〃—1；2〃—1；2〃—2；

△三、1.子集；2.{]|工€A且xwB}；3.A,或大£8}；4.{x|x€S,且A•史A}。

份}历年汇编

1.若集合M={x|2x+l>0},N=k|x+2>f},则MDN=()

2.若集合A=N,B={x||x|<l},则AC|B=()

A.{0,1}B.{-1,0.1}C.{x|-l<X<l}D,{x|o<x<l}

3.设集合M={x|(x-l)(x+2)<0},N={x|x4-1},则Mp|N=()

A.(—2,1)B.[—1,1)C.[—l,+°o)D.(—1,1)

4.已知集合A={1,234},B={x|>^=^/2^},则AflB=()

A.{1,2}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

5.集合M={x|x-l>0},N={x|x-142},则MU(d«N)()

A.{x|x>1}B.{x|x>1}C.{x|l<x<3}D,{x|l<x<3}

6.已知全集0=/?,若4={*6％|0<*46},B={x|-f+3x+440},则An(gB)=()

A.(0,4]B.(0,1]C.{1}D.{1,2,3)

7.设全集U=R,集合M={x|x40},集合则(aM)UN=()

A.(0,1]B.[-1,0]C.[-l+oo)D.(-oo,-l]

8.集合A=k|x2-x-6>o},B={x|l<x<4),则(跖4)UB=()

A.(3,4)B.(1,2]C.(-2,4)D.[-2,4)

9.若集合A={x|(2x-3)(x+4)v0},B={x|x>0},则AU(务B)=()

A.{x|-4<x<0}B.{布4-4或x>0}

10.已知全集°=/?,集合尸={X|2X2-X-340},Q={X|X<1},则Pfl(①Q)=()

"Q"1「Q-

A.1,—B.[-1,0]IJ

c.{1}D.0

H.已知全集"=火，集合A={x|2x-3>5},B={x[x+2<1},则g(AU8)=()

A.(—1,4)B.C.(—4,1)D.[—4,1]

12.设全集U为实数集R,已知集合人={小23},8={x|0<x<3},则g(4UB)=()

A.(f,0)B.(0,3)U(3,+oo)c.(-^,0]D.(-oo,0]U{3}

13.已知全集[/={乂0<》<5,》€2},集合A={1,2},B={2,3},则2(A|JB)=()

A.{1,3.4}B.{3,4}C.{3}D.{4}

14.已知全集"=卜©7*k44卜集合A={1,2},8={2,4},则AU&B)=()

A.{1}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

15.已知全集U为实数集，A={A|X2-3X<0},8={力>1},则40(汨8)=()

A.1x|0<x<l}B.{x|0<x<1}C.1x|l<x<3}D.1x|0<x<3}

第二章函数

知识梳理、

一、函数的基本表示方式

1、函数概念:设A、B是两个的数集，如果按某个确定的,使对于集合A中的元素

%,在集合8中都有的元素)'和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：

y=f(x),xGAo其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y=/(x)的；所有的输出值V组成的集合叫作

函数V=/(x)的o

2、相同函数

(1)函数三要素，即、和o

⑵当函数的及确定之后，函数的也就随之确定。当且仅当两个函数的和

都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3、函数的表示法:、和o

4、函数的定义域

(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式的％的

取值范围。

(2)分式中分母应___________;偶次根式中被开方数应为,奇次根式中被开方数为一切实数；零指数鬲中底数

(3)对数式中，真数必须,底数必须,三角函数中的角要使该三角函数有意义。

二、函数的单调性

1、函数单调性的定义

(1)一般地，对于定义域为。的函数/(x),如果存在区间,且对于属于这个区间的两个自变量看,刍，

当时，都有(或都有___________),那么就说了(X)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数)。

(2)如果函数y=/(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数)，那么就说/(X)在这个区间上具有(严格的)单调性,

这个区间叫作/")的。若函数在区间上单调增，则称该区间为________；若函数在区间上单调减，则称该区间为

2、复合函数的单调性

对于函数y=/(w)和"=g(x),如果当xe(0,3时，，且"=g(x)在区间(a,b)上和y=/(")在区间("?,")

上同时具有单调性，则复合函数y=/(g(x))在区间(。力)上具有________,并且具有这样的规律：

3、求函数单调区间或证明函数单调性的方法

（1）；

（2）;

（3）。

三、函数的奇偶性

1、奇、偶函数的定义

对于函数“X）的定义域内的X,都有（或〃r）+〃x）=o）,则称“X）为奇函数；对于函

数/（X）的定义域内的任意x,都有（或）,则称“可为偶函数。

2、奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于

___________对称）。

（2）奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称。

（3）若奇函数的定义域包含0,则/（0）=。

（4）定义在（一》,+0。）上的任意函数/（X）都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

四、基本初等函数

1、指数的相关概念

（1）〃次方根：正数的奇次方根是一个，负数的奇次方根是一个,0的奇次方根是,0

的偶次方根是__________O

（2）方根的性质

①当〃为奇数时，y=;

②当n为偶数时，Ra"==o

（3）分数指数募的意义

in

①〃〃=（其中4>0,小,〃都是正整数，H>1）；

m

②。"==（其中。>0,相，〃都是正整数，7?>1）o

2、指数函数的定义:一般地，函数叫作指数函数。

3、指数函数的性质

（1）定义域：；（2）值域：；（3）过定点,即1=时，y=；

（4）当时，在/?上是函数；当Ovavl时，在R上是函数。

4、对数的相关概念

(1)对数的定义：如果/=N(其中。>0且。H1),那么6叫作,记作

(2)常用对数和自然对数

①常用对数：以为底N的对数，简记为IgN；

②自然对数：以为底N的对数，简记为InN。

(3)指数式与对数式的相互转化：a"=No(其中a>0且awl,N>0)。

两个式子表示的a,b,N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化。

5、对数运算的性质(M〉0,N〉0,a>0且awl)

(1)loga(MN)=_______________；

⑵啮闱=----------------；

(3)；

⑷log,""=o

6、对数换底公式(N>0,a>0且awl,b>0且bwl)

logbN=o

由换底公式可以得到：log/=,log屹log/=o

7、几个常用的结论(N>0,。>0且〃工1)

(1)log/=,bg/=;

(2)lo断aN='0%z=«

8、对数函数的定义

函数叫作对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是O

9对数函数的性质

(1)定义域：;

(2)值域：;

(3)过定点,即当x=时，y=；

(4)当。>1时，在(0,+8)上是单调函数；

当0<。<1时，在(0,+8)上是单调函数。

1()、幕函数的定义:一般地，函数式叫作幕函数，其中x是自变量，。是常数。

11、当a#0时，幕函数y=x"在区间__________上有定义，并且图象都过点。

12、对于函数y=/(x),把使方程的实数x称为函数y=/(x)的零点。

13、函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的,也就是函数y=/(x)的图象与x轴交点的。因此，函

数y=/(x)有零点等价于函数y=/(x)的图象与-v轴有,也等价于方程/(x)=0有«

14、如果函数y=〃x)在区间句上的图象是一条连续的曲线，且有那么函数y=/(x)在(。力)上有零

点，即存在力)，使得/(c)=0,此时c就是方程/(x)=o的根。但反之，不成立。

N知识梳理答案/

△一、1、非空；对应关系了;任意；唯一确定；f：ATB；定义域；值域；2、(1)定义域；值域；对应法则；(2)定

义域；对应法则；值域；定义域；对应法则；3、列表法；解析法；图象法；4、(1)有意义；(2)不等于0；大于等于0;

不等于0;(3)大于0；大于。且不等于1。

苞二、1、(1)/cD；任意；X!<x2；/(x,)</(x2)；/(3)>/(芍)；(2)单调区间；单调增区间；单调减区间；

2、单调性；同增异减；3,(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法。

△三、1、任意；/(-x)=-/(x)；/(-x)=/(x)；/(-x)-/(x)=0；2、⑴原点；原点；⑵原点；)‘轴；(3)

0;

a..[a(a>0],_11z

甚四、1、(D正数；负数；0；0；(2)a；Id；j；(〃<；)(3)行；~；Tp；i2、y=〃*(〃>0,且awl)；

3、⑴/?；(2)(0,+oo)；⑶(0,1)；0；1；⑷增；减；4、⑴以〃为底N的对数；b=\ogaN；(2)10;⑶

nlog〃Nlog../?

〃=log〃N；5、⑴k)g,M+log[N；⑵log”用一log〃N；⑶〃log.M；(4)—log“M；6、心”〃；；

(1)1；0；(2)N；N；8、丫=108〃X(4>0,且4¥1)；(0,4-oo)；9X(1)(0,-H»)；⑵R；⑶(1,0)；

l;0；⑷增；减；10、y=/；11、(-℃,”)；(1,1)；12、/(x)=0；13、根；横坐标；交点；解；14、

历年汇编,

1.函数/("=-/I的定义域是()

^l-log2x

A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+00)D.(-00,2)

2.下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)上单调递减的是()

A.f(X)=\[xB./(x)=-x2C./(A)=x3+XD../(x)=-x

3.函数/(x)=3*+2x-3的零点所在的区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

4.下列各函数中，值域为(。,+8)的是()

2v

A.y=log2(x+2x-3)B.y=>/l-2

C.y=2-2x+iD.y=3^

5.设y(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=x-l,则不等式/(x)<0的解集为()

A.(-oo,-1)U(0,1)B.(Y,T)U(L+8)

C.(—1>1)D.(―1,0)u(i,+°°)

6.已知函数/(*)=--25-3在区间[2,+00)上是增函数，则实数〃的取值范围是()

A.B.[2,+oo)C.(-℃,1]D.(-8,2]

7.对任意实数x,不等式x2-2x-aN0恒成立，则实数。的取值范围是()

A.d>—1B.a4-1C.av—1D.a>—1

8.若对函数y=/(x)图象上的任意一点A,在其图象上均存在点8,使得(。为坐标原点)，则称该函数为

“好函数”.给出下列4个函数：

①/(x)=f②/(x)=x+l；③/(X)=-W+2X+3；@/(x)=2r.

其中“好函数”的个数是()

A.oB.1C.2D.3

9.已知函数/(x)定义域为R,对任意的xeR都有/(x)=/(x+2),且当一l<x<0时，/(x)=W-1,当

时，/(x)=x,则函数g(x)=/(x)-log5x的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

八/\((3-。)x+4〃,x<1

10.已知函数=J।的值域为R,则实数。的取值范围是()

[log3x,x>l

A.(-1,3)B,[—1,3)C.(-oo,-l]D.{-1}

11.函数/(x)=2'-‘的零点所在的区间是()

X

12.函数/(x)=log24+X的零点的个数是()

A.0B.1C.2D.3

X_-X

13.已知函数/(x)=T—,则下列正确的是()

A.图象关于原点对称，在R上为增函数B.图象关于)'轴对称，在R上为增函数

C.图象关于原点对称，在R上为减函数D.图象关于)'轴对称，在R上为减函数

14.已知函数/(x)是定义在区间[-a,句上的奇函数，若g(x)=/(x)+2,则g(x)的最大值与最小值之和为()

A.0B.2C.4D.不能确定

c/、fln(x+l),x>0/、/、

15.已知函数/(x)=〈''，若/(x-4)</(2x-3),则实数x的取值范围是(

A.(-1,+»)B.[2,+oo)C.(-,+oo|D.[4,+oo)

第三章三角函数

一、角的概念

1、角的概念的推广

(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按方向旋转所形成的角叫作正角；按方向旋转所形成的角

叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作O

(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为人轴的正半轴，建立平面直角坐标系。这样，角的终边在第几象限，我们

就说这个角是第几象限的角。终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限。

(3)终边相同的角：与角。的终边相同的角夕的集合为o

2、角的度量

(I)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角。

(2)弧度制与角度制的关系：1°=____弧度(用分数表示)，弧度1=_____度(用分数表示)。

(3)弧长公式：/=o

(4)扇形面积公式：S==。

3、任意角的三角函数的定义

设角a的终边上任意一点(除原点)的坐标为尸(x,y)，点P到坐标原点的距离为=旧+/,则切口。=,

cosa=,当XHO时，tana=.

4、三角函数的定义域

在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是、、o

5、三角函数的符号规律

第一象限全"+"，第二象限正弦“+”，第三象限正切"+”，第四象限余弦。简称：一全、二正、三切、四余。

二、同角关系与诱导公式

1、同角三角函数间的基本关系式

(1)平方关系：__________________

(2)商数关系：，

2、诱导公式

7t713万

-a冗一a7V+a2兀一a——a—+a--a—+a

、2222

sin

cos

tan

诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限。

三、恒等变换

I、两角和(差)的三角函数公式

(1)sin(a±£)=；

(2)cos(a±/7)=；

(3)tan(a±,)=。

2、两角和(差)的三角函数公式的变形运用

asinx+bcosx=。

3、二倍角公式

(1)二倍角的正弦：sin2a=；

(2)二倍角的余弦：cos2a==

(3)二倍角的正切：tan2a=。

4、二倍角的余弦公式的几个变形公式

(1)升幕公式：

1+8s2a=；

1-cos2a=o

(2)降得公式：cos2a=；sin26z=

四、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质

解析式y=sinxy=cosxy=tanx

定义域

值域

对称中心

对称轴

周期性

单调增区间

单调减区间

I、函数y=Asin（。.r+0）的图象

（1）用“五点法”画函数y=4sin（<wx+e）的图象的步骤：①列表；②描点；③连线。

（2）用“变换法”由函数y=sinr的图象得到函数丫二4/^④^+^^的图象的方法：

①由函数y=sinr的图象向左（0>0）或向右（Q<0）平移时个单位长度，得到函数的图象；纵坐标不变,

横坐标变为原来的,，得到函数的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

（0

___________________的图象•

②由函数y=simr的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的-，得到函数的图象；向左（*>0）或向右（。<0）

CD

平移15|个单位长度，得到函数的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍，得到函数

__________________的图象。

2、函数y=+的性质

振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：时的相位，即

五、解三角形

1、利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理

正弦定理：（其中R为A45。的外接圆的半径，下同）。

变式：（1）a=2RsinA,b=,c=；

（2）sinA=,sinB=,sinC=；

（3）a:b:c=o

2、利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题

（I）已知两角与任一边，求其他两边和一角；

⑵已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）0

对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）”的题型，可能出现多解或无解的情

况，验证解的情况可用数形结合法。

如：已知出力和A,用正弦定理求民解的情况如下,

①若A为锐角：

②若A为直角或钝角:

3、由正弦定理，可得三角形面积公式

SMVC=---------------------=---------------------=----------------------。

4、三角形内角和定理的变形

由A+8+C=;r,知A=;r-（8+C）,得sinA=sin（8+C）,cosA=-cos（B+C）,,

5、余弦定理

a2=,b2=,c2=„

6、余弦定理的变式

cosA=,cosB=,cosC=。

宿、知识梳理答案”

△一、1、⑴逆时针；顺时针；零角；⑶6={?/=a+360”,kez}；2、⑵高；—!；⑶&•，；（4）1/r；

-ar2；3、）；土；上；4、R；R；x=（x|x^90,+180°-^^eZ）

2rrx11>

A,、.22’,、sina

他二、1、（1）sirra+cosa=l；（2）tana=----；2、

Bcosa

71713434

-a兀一aJr+a27r-a——a—+a----a一+a

2222

sin-sinasina一sina一sinacosacosa-cosa-cosa

coscosa-cosa-cosacosasina-sina-sinasina

]]]]

tantana一tanatana一tana

tanatancrtanatana

A.门.门c••ctana工ianp厂工----

△三、1、(1)sinacosp±cos6zsiii/>；(2)cosacos/7+sinczsinp；⑶-----------；2、J2-sin(x+(p]

o1不lanatanSa、犷，

b2tancr

中tan^?=—)；3v(1)2sinacostz；⑵cos9~a-sin7~a；2cos7~a-l；1-2sin9a；⑶-----5—；4(I)2cos9~a；

a1-tanaX

,、1+cos2a1-cos2a

2sin92a；(2)---------；----------

22

A四,

解析式y=sinxy=cosxy=tanx

定义域RR

值域[-M][-M]R

卜+利(kwZ)(£，°j(AeZ)

对称中心(时,0)仅eZ)

对称轴x=Z4+?%wZ)X=k7T(kGZ)无

周期性242万7t

卜畀"匹畀&"卜eZ）

单调增区间2k兀,2k7TH—(ZeZ)[2人乃一乃,2左万]（左GZ）

_22_

_,713乃

单调减区间2%乃+—,2左九+—依z)[2%肛2%乃+乃](%GZ)无

22

1x(2)®y=sin(x+^>)；y=sin(G%+0)；y=Asin(69x+^)；②y=sinGx；y=sin(0x+0)；

y=Asin(s+e)；2、A；7=等;69八

f=J_L；ct)x+(p；x=0；(p;

21

c

△五、I2RsinB；27?sinC；(2)—；——；(3)sinA:sinB:sinC；

27?2R2R

2、

图象Za

AZa__2A

/zl---------1-BJ—A

式子a<bsinAa=Z?sinAbs\x\A<a<ba>b

解的个数无解一解两解一解

图象，二

AA

式子a<ba>b

解的个数无解一解

3、—absinC；—bcsinA；—acsinB；

222

5、h2+c2-2bccosA；a2+b2-2abeosC；a2+c2-2accosB；

廿+c2“2a2+/?2_c2a2+c2_b2

6、

2bclablac

/分历年汇编

sin2.=(

1.)

6

B拒1

A.C.一D.——

2222

2.已知函数〃x)=sin2/-cos?^-2Gsinxcosx(x£R)则/(X)的单调递增区间()

/j27r11>-771.2乃.,_

A.—+K7T,——+K7TkeZB.一+攵4,—+k兀KGZ

3363

冗

C.—+k7r,—+k7ukeZD.k7r,——+k兀ksZ

333

3_4

3.角。的终边与单位圆相交于P5~5,则sin2a=()

412247

A.B.——C.——D.——

25252525

4.在/A3C中，内角A,B,C的对边分别为b,,若tTtanC=ctanA,则AABC一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

5.函数/(x)=sin3x+e)(0>O,O<e<T)的图象如图所示，则0,0的值分别是()

,冗15)

A.1,一B-C.

8

6.445C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,若8=60。，4=1,人=百，则C=()

A.1B.2C.五D.8

72

7.已知“为第一象限角,sincz-cosa=——,贝ijcos2a=()

2

Ac.BD.

A.\22T

8.将函数/(x)=sinxcosx的图象向左平移三个长度单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是()

4

71冗

A.攵万一乃eZ）B.k7T,k兀+一(皿)

2

C.D.女)+GZ)

为了得到函数y=sin[x-0

9.+1的图象，只需将函数丁=sior图象上所有的点（

向左平行移动三个单位长度,

A.再向上平行平移1个单位长度

3

向左平行移动三个单位长度,

B.再向下平行平移1个单位长度

3

冗

C.向右平行移动一个单位长度,再向下平行平移1个单位长度

3

冗

D.向右平行移动一个单位长度,再向上平行平移1个单位长度

3

国的值为（）

10.

A.

11./ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若。=夜，b=R,8=60。，则角。等于（）

A.30°B.60°C.150°D.30。或150。

12.已知角。的终边经过点尸（4,3）,则sina+cosa的值是（)

]_17_7

A.B,—C.一D.

555~5

13.函数/(x)=Asin(GX+°)(A>0⑷>。的值为（）

A.CO=3,(p=-B.a)=3,(p=—

44

,71,71

c.69=0,(p=---D.69=6,(P=—

22

14.为了得到函数y=3cos(2x-。］的图象，只需要把函数y=3cos(2x)的图象上所有的点()

JT7T7C

A.向右平移一B.向右平移一C.向左平移一D.向左平移一

16.4A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知5访。+5皿(4-8)二25皿2人，且/=/十〃一。匕。

⑴求tanA；

(2)若。=5,求/ABC的面积。

17./A5C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且asinB=J?AosA。

(1)求A；

(2)若。=屈，/ABC的面积为36，求/A3C的周长。

18.已知函数=J5sinx+cosx+a(xwR)。

(1)求函数.f(x)的最小正周期；

(2)若/(“有最大值3,求实数。的值；

(3)求函数/(%)单调递增区间。

第四章平面向量

知识梳理、

一、向量的有关概念

1、向量概念:既有又有的量叫作向量。

2、几种特殊的向量

(I)零向量：,记作0,规定零向量的方向是任意的。

(2)单位向量：o

(3)平行向量：,平行向量又称为共线向量，规定0与任意向量共线。

(4)相等向量：o

(5)相反向量：。

3、向量的加法

(1)运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量的对角线所对应的向量。

(2)运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以为起点，则由第一

个向量的起点指向为和向量。

4、向量的减法

将两个已知向量平移到公共起点，差向量是向量的终点指向向量的终点的向量。

5、向量的数乘

实数4与向量。的积是一个向量，记作/12,它的长度和方向规定如下：

(1)|叫=.

(2)当；i>o时，的方向与£的方向；

当丸<0时，?£的方向与£的方向；

注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算。

6、两个向量共线定理

向量b与非零向量。共线=有且只有一个实数2,使得h=Aao

二、平面向量的基本定理

1、平面向量的基本定理

（1）4是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数4，几2,使得

,其中不共线的向量1,或叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。平面内任意的两个向

量都可以作为一组基底。

（2）平面内的任一向量2,都可以沿两个不共线的方向分解成唯一两个向量的和，所以平面向量的基本定理也叫作唯一分

解定理。

2、平面向量的坐标形式

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、）轴方向相同的两个单位向量作为基底.对平面内任意一个向量有且只有一

对实数x,y,使得£=（向量的分量表示），记作£=（%），）（向量的坐标表示），其中x叫作2的横坐标，y叫

作£的纵坐标。

3、平面向量的坐标运算

（1）设a=（x，y）,坂=（々，/2），则〃+]=,a-b=,

Aa=o

（2）若点A,B的坐标分别为（%,%）,那么4分的坐标为。

4、向量的夹角：已知两个非零向量弓与石，记应i=£,OB=h,