高中数学：函数模型及其应用

高中数学：函数模型及其应用

应用函数模型解决实际问题通常有四个步骤：①阅读理

解，认真审题；②引进数学符号，建立数学模型；③利

用数学的方法，得到数学结果；④转译成具体问题作出

解答。其中关键是建立数学模型，下面谈一谈函数模型

的应用。

一、二次函数模型

例1、如图所示，某房地产公司在矩形拆迁地ABCD中

规划一块矩形地面PQCR建造住宅小公园，为了保护文

物，公园又不能超越文物保所区AAEF的界线EF,由实地

测量知，AB=200米，AD=160米，AE=60米，AF=40米，问：

怎样设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？最大

面积是多少？

分析：由题意可知，点Q、R必定在边BC、CD上。若

点P在DF上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形

PQCD；若点P在BE上，则矩形PQCR应为具有最大

面积的矩形EBCR。因此只需求出点P在EF上时矩形

PQCR的最大面积，然后加以比较便知。

解析：设点P在EF上，PQ=X,则1404x4200。

延长QP交AF于G,则GP=2OO-X。

2

因为AGPFS^EF,故FG=H（200-X）。

所以PR=W刎。一X）。

&序叫唾=区.口20+#200-初=-#+与x,当x=190时，S^cR最

2

大，此时PR=120+/00T90）N126.67,S*QCR最大值约为

24067o

而S能慈FQCD=24000,=22400,所以S比然EBCR<S比管FQCD<S是用PQCRO

故设计矩形公园的长PQ为190米，宽PR约为126.67

米时，其面积最大，最大面积约为24067平方米。

说明：根据几何图形的形状，对点P的位置进行分类讨

论，比较不同位置下面积的大小，从而求出最大面积时

点P的位置。此题借助于二次函数的最值研究方法，求

出了矩形PQCR面积的最大值。

二、分段函数模型

例2、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24

元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份

0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20

天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份，

但这30天里，每天从报社买进的份数必须相同，这家

报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸，才能获得最大

利润？一个月可赚多少钱？

解析：设这家报刊摊点第天从报社买进x份报纸，一个

月可赚y元。

①当xW200时,y=(0.4-0.24)-30-x=4.8x<4.8-200=9690

②当200VXW300时,

y=(0.4-0,24)-10-200-(0.24-0.08)-10•(x-200)+(0.4-

0.24)-20-x=640+1.6x<640+1.6-300=1120o

③当x>300时,

y=(0.4-0,24)-10-200-(0.24-0.08)-10-(x-200)+(0.4-0.24)

•20-300-(0.24-0.08)(x-300)-20=2560-4.8x<2560-4.8-300=1120o

综上知，这家报刊摊点应该每天从报社进300份报纸，

才能获得最大利润，一个月可赚1120元。

说明：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先

求出函数在各分段的最值，然后取各分段的最值中的最

大者为整个函数的最大值，取各分段最值中的最小者为

整个函数的最小值。

三、指数函数模型y=N(i+p)x

例3、1980年，我国人均收入255美元，到2000

年，人民生活达到小康水平，即人均收入达到817美

元，问：年平均增长率是多少？

分析：设出平均增长率，可构建函数模型y=N(l+p)x。

解析：设1980年到2000年的年平均增长率是x,则

1981年人均收入为255Q+X),1982年人均收入为

255(1+2000年人均收入为255(1+x)2。。

255(1+x)20=817,可求得x=6%。

故1980年到2000年的年平均增长率是6%o

说明：此类问题，可构建函数模型丫=醺+「/这是一个

应用范围很广的函数模型，在复利计算、工农业产值、

人口数量等方面都涉及到此式，P>。，表示平均增长

率，P<°,表示减少或折旧率。

四、塞函数模型

例4、在固定电压差(电压差为常数)下，当电流通过

圆柱体电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成

正比。

(1)写出函数解析式；

（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为

320安，求电流通过半径为r■毫米的电线时，其电流强

度的表达式；

（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计

算该电流强度。

解析：（1）由题意得1=始（k为常数）。

（2）由（1）知320=kx43,解得k=5。所以1=5/。

（3）由（2）中电流强度的表达式，将r=5代入得

1=5x53=625。

五、函数思想

例5、若关于X的方程9+7-4.3廿限2=0有实根，求实数

a的范围。

分析：令t=3Tx-"则t€（。』，问题转化为二次方程

12-4"2=。的区间根问题，构建二次函数模型，用函数的

知识求解。

解析:令廿4则理⑺],问题转化为二次方程

t2-4t-a=0在（0』上有实根。由丁―得a=t「4t,将此

等式看成是a关于t的函数。根据值域的概念，所求a

的取