空间向量的数量积运算同步训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算一、单选题1．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（

）．A． B． C． D．2．已知正方体，若，则正方体的棱长等于（

）A． B． C． D．3．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（

）①；②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若且，则∠BDC是锐角A．② B．①③ C．②④ D．②③④4．如图在长方体中，设，，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．5．若向量和满足条件，则的值是（

）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．D．的最小值为7．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（

）A． B．C． D．10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（

）A． B． C． D．11．在以下命题中，不正确的为（）A．是共线的充分不必要条件B．若，则存在唯一的实数，使C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D．三、填空题12．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为.

13．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为（写出所有真命题的序号）．14．组，，则.15．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为．四、解答题16．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）；

（2）；（3）．17．已知正四面体的棱长为1，如图所示.(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.18．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.(1)求；(2)求CD的长.参考答案：1．C【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论.【解析】由已知得，所以，即存在实数，使得不等式有解，则有，解得，又因为且，所以在方向上的数量投影是，所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥，则其底面半径为，故由构成的空间几何体的侧面积为.故选：C.2．C【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式，可得出关于的等式，由此可得出该正方体的棱长.【解析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，则，可得.因此，正方体的棱长为.故选：C.【小结点评】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.3．C【分析】由题意知，，可判断①；若∠BAC是直角，则，可判断②；设，，由余弦定理可判断③；若且，则，可得可判断④.【解析】对于①，因为，，所以，，则，故①不正确；对于②，若∠BAC是直角，则，所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设，，在中，由余弦定理可得：，而，所以在中，，所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，，若且，则，因为，，所以∠BDC是锐角，故④正确；故选：C.4．A【解析】利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.【解析】由长方体的性质可知，，所以.故选：A5．D【解析】直接代入数量积求解即可．【解析】因为和满足条件，即；故选：D．6．C【分析】证明平面，可判断A；由平面，可得点到平面的距离为定值，又为定值，可判断B；计算的取值范围可判断C；结合C可判断D【解析】选项A，如图所示，连接，，由正方体可知，且平面，即，又，所以平面，所以，即，正确；选项B，如图所示，连接，，，，，，由点，分别为线段，的中点，得，故平面，即点到平面的距离为定值，且，，故为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；选项C，连接，，由点为线段上的动点，设，，故，，，当时，取最小值为，当时，取最大值为，故，即，，错误；选项D，，当时，的最小值为，正确；故选：C7．A【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.【解析】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，显然，由题意可知，所以的取值范围为.故选：A8．D【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长.【解析】由题意可知，，，，，，则，因为，所以，，因此，.故选：D.9．AC【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算.【解析】如下图所示，，故A正确，B错误；由平方得，，所以，故C正确，D错误.

故选：AC10．AC【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【解析】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二：，故A正确；由正方体的性质可知，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC．11．BCD【分析】利用向量的运算法则及充分条件必要条件的定义即可判断A；利用共线定理即可判断B；利用共面向量定理的推论即可判断C；利用向量的数量积及余弦函数的有界性即可判断D.【解析】对于A，由，得当与至少一个为零向量时，与共线，当与都不是零向量时，与的夹角是，与共线，因此是与共线的充分不必要条件，A正确；对于B，根据共线定理知，，B不正确；对于C，因为，由共面向量定理的推论可知P，A，B，C四点不共面，C不正确；对于D，由，可知原说法不正确，D不正确.故选：BCD12．或【分析】得到，两边平方后代入求值即可.【解析】，两边平方得，，因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为，所以或，即或.故答案为：或13．②③【分析】①利用定义表示与，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证；②作出图形，设，，结合图形得出当的面积取最小值时与的夹角最小，从而判断结论的正误；③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证；④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥是棱长为的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积.【解析】①由定义可得，，，，故①错误；②如图，设，，则点在平面上，点在轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标的定义可得，故③正确；④由已知可知三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，即④错误．故答案为②③.【小结点评】本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题.14．【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解即可【解析】故答案为：【小结点评】空间向量，的坐标运算：，，15．-1【分析】根据向量的加减运算结合数量积的运算律化简为，结合圆锥的结构特征求得的最小值，即可求得答案.【解析】设圆锥底面圆的圆心O，则，则圆锥的高，，当垂直于过P点的母线时，长最小，即为，故的最小值为，故答案为：-116．（1）；（2）；（3）【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【解析】（1）；（2）；（3）.17．【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积.【详解】（1）在正四面体OA