空间向量的数量积运算（2课时）导学 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2《空间向量的数量积运算》导学案一.学习目标1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）二.学习过程（导学、自学）（一）探究新知1——空间向量的数量积（互学）1.空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a,b，在空间中任取一点O，作向量OA=a，OB=b，则＝θ(0≤θ记作θ=注：特别地，（1）当θ＝0时，a与（2）当θ＝π时，a与（3）当θ＝π2时，我们说a与温馨提示①两向量的夹角的范围是θ∈，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且a,②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.2.空间向量的数量积如图，已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作即a∙规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0温馨提示(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.(2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.3.空间向量数量积的性质设两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，由向量数量积定义（1）a⊥b注：当a⊥b则a∙（2）a2=a∙a注：∵a,a=则a2=4.空间向量数量积的运算律由空间向量数量积的定义可得如下的运算律对于空间向量a,b,c和实数λ交换律：a∙b结合律：λa∙分配律：(a+b（4）完全平方公式：a+b（5）平方差公式：a+b注：等式(a∙b)c=a∙(b∙c)，因为(a∙b（二）探究新知2——空间向量的投影向量（互学）1.向量a向向量b的投影如图，在空间，向量a向向量b的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c,且c=（注：θ=a,b，e为向量向量c称为向量a在向量b上的向量.2.向量a向直线l类似地，如图，在空间，向量a向直线l的投影，由于向量a是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线lc=（注：θ=a,b，e为直线l向量c称为向量a向直线l的3.向量a向平面β的投影如图，向量a向平面β的投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的这时，向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.三.典例分析（互学）例1如图，在平行六面体ABCD-A'B求:(1)AB∙(2)AC'的长(精确到解：（1）∵∴AB（2）∵AC'===98+56∴AC注：据加法的平行四边形法则可知——“平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.”例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1解：∵正方体ABCD-A∴ABAB∙BC=如图，过点B作BE⊥AC则向量AE即为AB在AC1∴AE==例3如图，m，n是平面α求证:l证明：在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l,m，n，g上取非零向量l∵直线m与n相交，∴向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x将上式两边分别与向量l作数量积运算，得∵l∴l∴∴∴即l垂直于平面∴注：由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来.四.达标检测（迁移变通、检测实践）1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点MA.1 B.2 C.-1 D.【答案】A

解：连接AC，如图所示：

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1∴AM⋅BC=(AC+CM)⋅AD2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1A.23 B.-23 C.3【答案】B

【解答】

解：在平行六面体

ABCD-A1B1C1D1中，

设AB=a，AD=b，AA1=c，

则由已知条件得|c|=

AA1

=2，|b-a|=BD

=33.已知在空间四边形ABCD中，∠ACD=∠BDC=90∘，且AB=2，CDA.14AB B.12AB C.【答案】A

【解答】

解：根据已知∠ACD=∠BDC=90∘，得AC⋅CD=

DB⋅CD=04.已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为▵ABC的重心．(1)证明：PA+(2)若向量PA，PB，PC的模长均为2，且两两夹角为π3，求PG．【答案】解：(1)证明：因为G是▵ABC的重心，所以GA则GP+即PA+(2)由(1)得PG=所以PG2=22×5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c．

(1)试用a，b，c表示出向量BM【答案】解：(1)∵M是PC的中点，∴BM=12(BC+BP)，

∵AD=BC，BP=AP-AB，∴BM=12[