函数的对称性 高三数学一轮复习

§2.4函数的对称性1.轴对称性(1)函数y=f(x),若其图象关于直线x=a对称⇔曲线y=f(x)上任一点A关于直线x=a对称的点B一定在曲线y=f(x)上。⇔f(2a-x)=f(x)⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x).x=aAB思考：A,B关于直线x=a对称，其横纵坐标分别有何关系？A,B横坐标之和为2a，纵坐标相等。设A(x,f(x)),则B()2a-x,f(2a-x)一。函数的图象自对称性AB(a,b)思考：A,B关于点(a,b)中心对称，其横纵坐标分别有何关系？2.中心对称性(1)函数y=f(x),若其图象关于点(a,b)中心对称⇔曲线y=f(x)上任一点A关于点(a,b)对称的点B一定在曲线y=f(x)上。⇔f(2a-x)+f(x)=2b⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b.(2)函数y=f(x),若其图象关于点(a,0)中心对称,则f(a+x)=-f(a-x)⇔f(2a+x)=-f(-x)⇔f(2a-x)=-f(x).一。函数的图象自对称性A,B横坐标之和为2a，纵坐标之和为2b。点(a,b)为线段AB的中点设A(x,f(x)),则B()2a-x,f(2a-x)二。两个函数的图象之间的相互对称性y=f(x)与y=f(-x)关于对称；y=f(x)与y=-f(x)关于对称；y=f(x)与y=-f(-x)关于

对称；y轴x轴（0，0）二。两个函数的图象之间的相互对称性(1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=a对称⇔曲线y=f(x)上任一点A关于直线x=a对称的点B一定在曲线y=g(x)上。⇔g(x)=f(2a-x)x=aAB2a-x,y求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数g(x)。解：设g(x)图像上任一点为B(x,y),则其关于直线x=a对称的点A()在f(x)图像上,g(x)=f(2a-x)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于对称直线x=a函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于对称函数y=f(x)与y=-f(2a-x)的图象关于对称直线x=a点(a,0)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于对称点(a,b)考点2函数的对称性一。函数的图象自对称性函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b二。两个函数的图象之间的相互对称性

题型一轴对称问题√(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________.(－1,1)跟踪训练1

(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是A.f(－1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1)D.f(－1)<f(2)<f(1)√(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为A.0 B.m C.2m D.4m√题型二中心对称问题例2

(1)(多选)下列说法中，正确的是√√√√跟踪训练2

(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是A.(－1,2)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)√(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于A.－3 B.－1 C.1 D.3√

函数对称性的应用

函数对称性的应用题型三两个函数图象的对称例3

已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称√跟踪训练3

下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是A.y＝ex－1

B.y＝e1－xC.y＝e2－x

D.y＝lnx√与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.

对称性与周期性的综合应用

对称性与周期性的综合应用

对称性与周期性的综合应用

对称性与周期性的综合应用12345678910111213141516一、单项选择题1.下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A.y＝

B.y＝lg|x|C.y＝tanx

D.y＝x3√y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误.12345678910111213141516123456789101112131415162.(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象A.关于x轴对称

B.关于y轴对称C.关于原点对称

D.关于直线y＝x轴对称√令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称.123456789101112131415163.(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋

(x∈R)，则f(x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线x＝0对称D.关于原点对称√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，123456789101112131415165.已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于√12345678910111213141516设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，123456789101112131415166.(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则√12345678910111213141516因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.12345678910111213141516二、多项选择题7.设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是A.f(x)在(0，＋∞)上单调递增B.f(x)为奇函数C.f(x)的图象关于直线x＝1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称√√√12345678910111213141516∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误.123456789101112131415168.(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是A.直线x＝1是f(x)的图象的对称轴B.周期T＝2C.函数f(x)在[4,5]上单调递增D.f(5)＝0√√12345678910111213141516因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误；直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，12345678910111213141516又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确；因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误.12345678910111213141516三、填空题9.(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝___________________________________________________________________.因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cosπx.1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.21234567891011121314151611.(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为_______________.12345678910111213141516∵y＝f(x＋3)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称.∵当x≥3时，f(x)＝log2x，∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，12345678910111213141516n12345678910111213141516∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，1234567891011121314151612345678910111213141516四、解答题13.(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判断并证明函数f(x)的对称性；f(x)的图象关于直线x＝2对称.证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.12345678910111213141516(2)求f(x)的单调区间.设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).1234567891011121314151614.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；12345678910111213141516设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2).12345678910111213141516(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.1234567891011121314151615.设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是A.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数C.f(x)＝f(x＋4) D.f(x＋6)为奇函数√12345678910111213141516因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(