matlab软件欧拉算法教程

改进的Euler方法改进的Euler方法第二节Euler格式一阶方法梯形格式是显式Euler格式与隐式Euler格式的算术平均梯形格式改进的Euler方法Euler格式是显式算法，计算量小，但精度低梯形格式，精度较高，但是隐式算法，需要通过迭代过程求解，计算量大预测—校正系统称作改进的欧拉公式。改进的Euler方法综合两种方法，先用Euler法得到一个初步的近似值单步显式格式改进的Euler方法改进Euler方法计算框图开始YN例2解例题3xnYn|yn-y(xn)|Yn|yn-y(xn)|y(xn)0.11.1

0.00461.09590.00051.09540.21.1918

0.00861.18410.00091.18320.31.2774

0.01251.26620.00131.26490.41.3582

0.01661.34340.00181.34160.51.4351

0.02091.41640.00221.41420.61.5090

0.02571.48600.00281.48320.71.5803

0.03111.55250.00331.54920.81.6498

0.03731.61650.00401.61250.91.7178

0.04451.67820.00491.67331.01.7848

0.05271.73790.00581.7321Euler法改进Euler法准确解Runge-Kutta方法改进的Euler方法第三节拉格朗日中值定理准确成立寻求计算平均斜率的算法

考察改进的欧拉法，可以将其改写为：斜率一定取K1K2的平均值吗？步长一定是一个h

吗？

考察欧拉法，以xn的斜率值作为平均斜率Runge-Kutta方法的设计思想设法在[xn,xn+1]区间内多预报几个点的斜率值，利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率的近似，有可能构造出更高精度的计算格式二、二阶Runge-Kutta方法（1）首先希望能确定系数

1、

2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得

Step1:将K2在(xn,yn

)

点作Taylor展开Step2:将K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:将yn+1与y(xn+1)在xn

点的泰勒展开作比较要求，则必须有：这里有个未知数，

个方程。32存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。Q:

为获得更高的精度，应该如何进一步推广？三、三阶Runge-Kutta方法为进一步提高精度，设除xn+p外再考察一点常用的三阶R-K方法.R-K法的常用公式经典R-K公式四、四阶Runge-Kutta方法继续上述过程，可以进一步导出四阶Runge-Kutta格式每一步计算需要四个函数值R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到不同的R-K公式注意的问题R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将步长h

取小。Runge-Kutta法的主要运算在于计算

Ki

的值，即计算

f

的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数四阶R-K方法实现开始输出x1,y1结束YN例4解例题4xnYn|yn-y(xn)|R-K3误差y(xn)0.11.09590.00051.095440.45e-41.09540.21.18410.00091.183220.17e-41.18320.31.26620.00131.264910.15e-41.26490.41.34340.00181.341650.48e-41.34160.51.41640.00221.414220.25e-41.41420.61.48600.00281.483260.55e-41.48320.71.55250.00331.549210.14e-41.54920.81.61650.00401.6124780.21e-41.61250.91.67820.00491.673350.54e-41.67331.01.73790.00581.732090.06e-41.7321xnYn|yn-y(xn)|R-K4误差y(xn)0.11.09590.00051.09540.21.18410.00091.1832170.17e-41.18320.31.26620.0013

1.26490.41.34340.00181.3416420.42e-41.34160.51.41640.0022

1.41420.61.48600.00281.4832420.42e-41.48320.71.55250.0033

1.54920.81.61650.00401.6124550.45e-41.61250.91.67820.0049

1.67331.01.73790.00581.7320560.43e-41.7321改进Euler法一步需要计算两个函数值(h=0.1)四阶Runge-Kutta方法一步需要计算四个函数值（h=0.2）总计算量大致相当，但四阶Runge-Kutta方法精度更高五、变步长Runge-Kutta方法从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一