大单元视域下的初中函数结构化教学

函数是以变量的观点研究现实世界的一种工具，是反映数量关系和变化规律的直观模型，在数学领域具有举足轻重的地位。根据课程标准的要求和数学学科“大概念”的思考，本文从制约函数学习的因素进行剖析，提出了有效的函数结构化教学策略。以大概念为核心，以大单元主题为引领，促进教学内容情景化，实现数学知识横向、纵向连接，促进学生思维螺旋式上升，进一步发展学生的数学核心素养，优化初中数学课程改革。一、制约初中生函数学习能力提升的因素函数是初中数学一个非常重要的学习模块，也是学习高中数学乃至高等数学的基础，可是学生学习函数知识是比较困难的，究其原因发现制约初中生函数学习能力提升的主要因素有以下几点：（一）函数的概念表达抽象函数概念的产生和发展经历了漫长而复杂的过程，前后大概有200年的历史。中学数学课本对函数的概念采用变量说定义如下：一般的，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就称y是x的函数。函数的定义是抽象的，学生很难理解，如果教学时对定义不做分析直接给出，这样会导致学生对函数的认知仅仅停留在识记层面，对函数本质的理解是很不利的。（二）函数教学的跨度过大以鲁教版数学教材为例，函数内容分布在六年级下册《变量之间的关系》、七年级上册《一次函数》、九年级上册《反比例函数》《锐角三角函数》与《二次函数》。从七年级到九年级，函数的学习中间断开了两年，可是难度却上了一个大台阶，这些内容对于学生而言是模糊的、抽象的、零散的。可是教材又不可能将这些函数凑到一起呈现，毕竟每种函数所需要的知识储备是有梯度的。这就导致学生不仅在学习函数新知时前后知识衔接困难，而且在应用函数知识解决实际问题时更加困难。（三）学生学习的思维局限函数是用来刻画变量之间关系的一种工具，数学中的极值问题、动点问题、存在性问题等等，都是在变化的过程中寻找一个静态的瞬间来解决问题，而学生看到了问题中变化的量却往往不会想到利用函数这一工具来解决。这是由于现阶段学生的函数学习重点关注的是函数的定义、函数的图象性质，对于为什么要研究这些函数、如何去研究、从哪些方面去研究，学生并没有理清这些问题的实质，导致学生的高阶思维得不到很好的培养与发展。二、初中数学函数结构化教学策略教师该如何帮助学生深刻地理解函数的本质，提高学生对函数的理解与应用，这是一个值得关注和研究的课题。法国数学家布尔巴基指出，“数学不是研究数量的，而是研究结构的”。单元结构化教学就是基于结构化理论的一种教学方式，它可以将具有共性的一类知识模块，把其最本质的内在逻辑关系抽象出来，将分散、零碎的知识条理化、系统化，帮助学生形成清晰、完整的知识结构，最终内化生成学生自身的知识体系。笔者在教学实践中，对初中函数知识模块进行了结构化教学的尝试，通过三种课型引导学生整体建构对函数的认知体系，提升思维能力，发展学生的核心素养。（一）单元起始课——引导学生抽象和分类数学概念是数学得以发展的基石，但数学概念又比较抽象。初中生处于具体形象思维到形式逻辑思维过渡时期，抽象能力还比较弱。遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对学生核心素养的培养目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。单元起始课承担了两个重要的任务：一是采用从特殊到一般的归纳思维，从大量的具体现实问题情境中让学生学会分析、比较、概括，逐步抽象出对函数概念的认知和理解；二是采用分类的数学思想方法，帮助学生建立有序的学习路径，分门别类地开展函数的探究与学习。1.抽象函数概念《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调了数学的抽象性，即“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系”。这样的表述不仅强调了数学的研究对象是抽象的，还强调了数学的研究对象是通过对现实世界的数量和数量关系、图形和图形关系的抽象得到的。这意味着数学教育要关注数学的抽象，特别要关注数学如何对数量和数量关系、图形和图形关系进行抽象，如何得到和表达数学的研究对象。函数单元起始课需要呈现大量实际问题，包含行程问题、购物问题、几何问题、利润问题、工程问题等等，例如，A、B两地的路程为900km，求一辆汽车从A到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的关系式；有一张长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm，现在长、宽上分别剪去宽为xcm(x<6)的纸条，求剩余部分的面积y与x的关系式；已知某商品每箱盈利10元，现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱。设每箱涨价x元时（其中x为正整数），每天的总利润为y元，求y与x之间的关系式，等等。课堂中可以让学生进行大量的列关系式的练习。之所以在这个过程中强调大量列关系式的训练，是因为每种新鲜事物的出现，必须要反复刺激学生的感知，学生有大量的感知积累后，可以发现这些关系式中的两个量是在不断变化的，在这个变化过程中，对于x在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一的值与它对应。知识不是讲会的，而是做会的，所以一定要让学生自己做，让学生有机会独立面对问题，经历观察、分析、归纳、抽象等各种思维活动，形成概括概念所需要的素材(舍弃无关属性,聚焦关键属性,得到共同属性等)，然后定义函数。学生获得函数的概念后，为了巩固加深对概念的理解，教师进一步引导学生对比发现变量与方程中的未知数是有区别的：方程中的未知数是可以确定具体值的，在对比过程中让学生体会方程仅仅是函数的一个瞬间，从而体会到用函数研究现实世界是必然的。2.将函数进行分类代数函数的分类与代数式的分类类似，代数函数包括有理函数、无理函数，有理函数又包括整式函数和分式函数。在义务教育阶段，不研究无理函数。初中阶段主要学习一次函数、二次函数和反比例函数，其中一次函数、二次函数属于整式函数，反比例函数属于分式函数。初中阶段的函数是按照从最高次幂的角度进行分类的，为了让学生更好地体验分类标准，让学生对抽取概念时获得的大量的函数关系式进行分类，并说明分类标准。学生已经学习了方程的分类、不等式的分类，他们具备从最高次幂的角度进行分类的思维。将初中涉及到的几类函数在解析式层次进行分类建构，一方面可以帮助学生梳理初中的函数类型，另一方面也利于横向对比和纵向勾连，在后续进一步分门别类地研究函数的图象和性质发挥重要的作用。当学生了解了初中阶段需要学习的函数类型有哪几种之后，他就会在建立自己的知识结构框架，就会在学习新函数时，不自觉地对比已经学习过的函数类型，然后迁移研究方法，从而更好地帮助学生后续的函数学习，正所谓“随风潜入夜，润物细无声”。（二）单元深化课——引导学生推理和建模单元深化课要在初步感知函数概念、类型的基础上，进一步理解函数的三重表征方法，学会用数学语言进行表达，培养学生的数学运算能力；还要能够通过学习建立研究函数的一般策略，培养学生的逻辑推理能力，通过建构数学模型学会应用。1.引导学生推理很早以前人类就有了函数的观念，只是一直停留在关系式的层面，直到法国著名的数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，他用一对有序数对刻画点的位置，而有序数对恰好和函数定义中的自变量与因变量的一一对应关系吻合起来，于是人们想到把每一组对应的自变量和因变量的值列到表格里表达函数，函数的表格法形式就诞生了。之后人们又把自变量和因变量作为有序数对在平面直角坐标系中描出位置，再用平滑的曲线连接起来，就获得了函数的图象。教师顺势抛出问题：函数的三种表征分别侧重表达哪些方面？引导学生对比各自的优缺点，发现：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势；不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函数值。列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值；不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值。解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值；不足之处是不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式。比如心电图，我们可以画出它的图象，但是却无法用解析式表达；还有一些函数表达式存在，比如y=，但是我们很难描画出它的图象。因此在研究函数时，往往将三种表示方法联合运用，互相补充。学生理解了函数的三种表征的优缺点之后，我们遵循从简单到复杂的原则，先研究一次函数。一次函数的解析式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），教学中让学生任取k和b的值得到一个具体的一次函数，然后列表格并画图，全班可获得50多个一次函数的图象，之后教师借助几何画板将大家绘制的一次函数放到一个坐标系中，学生共同观察发现一次函数的图象是一条直线，直线从左到右有两种走向，k>0上升，k<0下降，b决定了直线与y轴的交点位置。通过动手操作，学生发现一次函数的图象受到k和b的影响。教师继续启发学生：从图象中可以观察这些规律，从解析式和表格中你能发现这些规律吗？在函数教学中，通过“形”研究“数”固然重要，但也不要忽视培养学生从“数”的角度观察，分析、归纳、证明的能力，以此提高学生的代数推理他力。在教学中，要注重函数思想方法的渗透，因为函数思想是解决初中数学问题的常用思想，可以有效地解决许多复杂的问题。教师要及时将学生自然生发的研究过程进行提升归纳。学生归纳的在同一类一次函数中稳定不变的规律性的东西，称之为是函数的性质，研究函数就是研究它们的性质，研究的方法就是系数讨论法和图象法。比如，研究一次函数，因为k>0与k<0有两种情况，b>0，b<0，b=0有三种情况，将k和b结合起来，我们总共需要研究六种一次函数，分别是k>0且b>0，k>0且b=0，k>0且b<0，k<0且b>0，k<0且b=0，k<0且b<0，然后分别从每一类一次函数中选取具体的例子进行研究就可以了。有了一次函数的研究经验，再研究其他函数比如反比例函数的学习，学生很自然就能考虑到对于解析式，只要分别研究k＞0和k＜0两种情况就能够分析图象特点和性质。再到学习二次函数的时候，学生就能顺理成章地独立剖析二次函数的图象和性质，实现函数的研究方法在各种函数探究过程中的迁移应用。2.引导学生建模一次函数是初中函数知识学习的基础，其知识内容与探究方法对后续函数的学习具有参考价值。教学中，教师需要引导学生关注两大数学思想：一是对应思想，二是数形结合思想。其中对应思想体现在解析式的列表计算中，即变量之间的一一对应；而数形结合思想体现在绘图的过程中，即解析式、坐标、点、线四者之间的关联构建过程。教学中还要突出“什么是函数的性质”“如何研究函数性质”等问题，既要注意研究数学性质的一般思路，又要注意函数性质的特殊性——变化中的规律性、不变性。研究方法上，要加强通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导；要构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，归纳概括出精确刻画单调性的方法，从而提升数学运算、直观想象等素养，提升学生的抽象思维水平，促使学生学会思考，培养学生的思维能力。总之，经过一次函数的学习，学生要建构起研究函数的思路和方法，把我研究函数的思想精髓。三、单元延伸课——引导学生应用和创新研究函数的目的是为了用变化的观点研究现实世界，因此教师需注重渗透函数模型思想，让学生学会构建函数模型，能够站在数学的角度对问题进行思考与解决，从而提高学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力，实现“三会”的数学核心素养。1.引导学生应用函数是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题都可以通过建立函数模型得以解决。函数的应用题已经渗透到日常生活的各个方面，比如经济问题、购买问题、运输问题、信息收费问题、水产品加工问题等，因此教师要注重提高学生利用函数模型解决实际问题的能力。2.引导学生创新除了已经学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，在函数大家庭中还有很多其他成员，比如脑电波图、分段函数，通过单元延伸课让学生走近函数大家庭。函数大家庭的成员尽管都个性十足，但它们却能够和谐相处，因为它们都反映了函数随自变量的变化而变化这一共性。尽管学生对这些函数比较陌生，但是通过应用建构起来的研究函数的模型，学生采用系数讨论法和图象法完全可以描绘图象并总结性质，然后展开相应的研究学习，实现知识迁移，培养创新精神。比如要求学生设计一个方案：用篱笆围一块面积为1m2的长方形土地，要求所用篱笆的长度最省。通过单元起始课、单元深化课、单元延伸课三种课型，开展数学函数结构化教学，强调了函数知识之间的内在关联，