高中数学人教B版必修二学案第一单元疑难规律方法

立体几何初步

教材延伸《1学习空间几何体要“三会”

一、会区分

例1以下说法：①一个几何体有五个面，那么该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②假

设一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，那么它肯定是棱台；③直角三角形绕其

任意一条边旋转一周都可以围成圆锥.其中说法正确的个数为.

分析可依据柱体、锥体、台体和球体的概念进行推断.

解析一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不行能是球，所

以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一局部，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，

而②中的几何体其侧棱延长线并不肯定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形

成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错.故填0.

答案0

评注要精确????？区分各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面

入手，当然把握定义是大前提.

二、会折展

例2纸制的正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方

体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如下图的平面图形，那么标“△”的面的方位

是.

分析将平面绽开图按要求折叠成正方体，依据方位推断即可.

解析将平面绽开图折叠成正方体，如下图，标的面的方位应为北.故填北.

_____c,

「上B/

西1A

答案北

评注将空间几何体绽开成平面图形，或将绽开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明

中常常用到，应引起重视.解决这类问题的关键是充分发挥空间想象力量或亲自动手制作模

型进行实践.

三、会割补

例3如下图是一个三棱台ABC-A由Ci.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个

多面体，并用字母表示.

/\

分析三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边

形的公共边都相互平行.

解作CtE/ZBBi,连接。E,那么三棱柱为-多面体为AOECG4（如

下图）.

/\

评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积

或面积计算中常常要通过线、面，将不规那么的几何体通过割补的方法转化为规那么的几何

体，从而可以利用公式求解.

2三视图易错点剖析

一、棱锥的视图易出错

我们在画正三棱锥、正四棱锥时要留意从不同角度得到的三视图.实际上，在上述几何体的

三视图中，左视图最简洁出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了

高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图.

/主视

如图，对于正三棱锥「一ABC来说，它的主视图中，从前面对后面看，点B到了点。的位置,

点P到了点P'的位置，故主视图为等腰三角形P'AC（包含高线P'£＞）,从左侧向右侧看，

点A到了点。的位置，故左视图为三角形P8D从上面对下面看，俯视图中，点P到了点。

的位置，故俯视图为等边三角形A8C（外加三条线段OA、OB、0Q.

如图，对于正四棱锥「一ABC。来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形PEF和等腰三

角形PGH,俯视图为正方形ABCZ）（包含两条对角线AC和80.对于此三视图，左视图和主

视图易出错，但有了高线P0的衬托，便可降低出错率.

二、画三视图时，没有把不行见的轮廓线用虚线表示而出错

作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不行见的边界轮廓线用虚线表

示.这一点不能无视，否那么易出错.

例1画出如下图零件的三视图.

错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如下图.

主视图左视图

俯视图

剖析错误缘由是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.

正解

主视图左视图

三、不能由三视图复原正确的直观图而出错

当几何体的三视图，而需要我们去复原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要

的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过的三视图验证直观

图的正确性.

例2如图，通过三视图复原物体的直观图.

主视图左视图

俯视图

解通过三视图可以画出直观图，如下图:

注其中PC为垂直于底面的直线.

跟踪训练由下面的三视图复原物体的直观图.

主视图左视图

俯视图

解通过三视图可以看出直观图如下图：

DA

教材延伸《3直观图与原图形的互化知多少

在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现

了原图形与直观图的互化.关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规那么——“斜”

和“二测”.

“斜”也即是直角坐标系到斜45。坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要

做到“水平长不变，垂直倍半化”.现通过例题叙述一下两者之间的详细转化策略.

一、原图形到直观图的转化

例1正三角形ABC的边长为“，那么△A8C的平面直观图△△'B'C的面积为（）

分析先依据题意，在原图形中建立平面直角坐标系（以A8所在直线为x轴，以A8边上的高

所在直线为），轴），然后完成由原图形到直观图的转化，然后依据直观图AA'B'C的边长

及夹角求解.

解析依据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再依据斜二测画法画出其直观图，如

图②所示.

AO\O'D'B'x'

(D

易知，A'B'=AB=a,O'C=^0C=乎4作C'

D'_L4'B'于点D',那么CD'

答案D

评注通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为坐：1.在求解

中留意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位.

二、直观图到原图形的转化

例2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个边长为1的正方体，那么原来图形

的外形是（）

解析由直观图知，原图形在y轴上的对角线长应为2啦.

答案A

评注当由直观图向原图形转化时，关键是在直观图中建立斜45。坐标系，有了斜45。坐标系，

便可按“二测”的画图规那么逆推回去，而在正方形中建立45°坐标系是很简洁的(正方形的对

角线与任一边所成的角均为45。)，从而实现了由直观图向原几何图形的转化.

例3如下图，四边形ABCD是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，

ABC。是始终角梯形，AB//CD,A£>J_C£>,且BC与y轴平行，假设AB=6,DC=4,A£>=2,

那么这个平面图形的实际面积是.

分析由/BCx=45。，先计算BC的长度.

解析由斜二测直观图画法规那么知该平面图形是梯形，且AB与CQ的长度不变，仍为6和

4,高为4g，故平面图形的实际面积为3X(6+4)X4啦=2即.

答案2M

学法指导<4柱、锥、台的外表积求法精析

由于柱、锥、台的外表积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确

熟悉以及对外表积公式的正确运用.

一、锥体的外表积

例1正三棱锥的底面边长为4cm,它的侧棱与高所成的角为45。，求正三棱锥的外表积.

分析此题的关键在于求正三棱锥的斜高.

解如下图，过S点作.平面A8C于。点，那么。为AABC的中心，连接A0并延长与

8c相交于。点.由正三角形的性质得。为BC的中点，连接SQ,那么SQ为正三棱锥的斜高.

在RtAASO中，ZASO=45°,

AO=坐X4=4^(cm),，SO=A。=^^(cm).

2s

在RtASOD中，。。=¥乂4=寸901),

故SD=y/Sb2+01^=7号(cm).

依据正棱锥的侧面积公式：

Sflu=^X3X4X^^=4V15(cm2),

又△ABC的面积为45cm2,

故正三棱锥的外表积为(4A/Z+4、「)cm2.

评注有关棱锥、棱台的外表积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半

径五个量之间的关系.解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接

圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，

从而使问题得以解决.

二、柱体的外表积

例2如图，直三棱柱ABC—48C1，其底面是等腰直角三角形，且AB=BC=也，AC=A\A

=2.

(1)求该几何体的外表积；

(2)假设把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱外表积的最小值.

解(1)该几何体有5个面，两个底面的面积和为2X；X啦X也=2,三个侧面面积和为2X(也

+也+2)=4(6+1),故其外表积S=6+441

(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S,那么组合后的直棱柱的外表积为2S—25i,故

当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的外表积最小.

又侧面A4cle的面积最大，此时拼得的棱柱的外表积最小值为2S-2S四边形A4GC=4+

8^2.

评注本例中(1)的关键在于精确?????识别几何体的各个面的外形；(2)的关键在于找到影响拼

合后的面积变化量，当然也可以分类争论，列举出各种拼合的方法，一一计算外表积，再进

行比拟.

三、台体的外表积

例3一个正三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm,且其侧面积等于两底面面积之和，

求棱台的高.

分析求棱台的侧面积要留意利用公式及正棱台中的特别直角梯形，转化为平面问题来求解

所需的几何元素.

解如下图，正三棱台ABC—481G中，O,Oi分别为两底面中心，D,5分别为BC和BC1

中点，那么为棱台的斜高.

由4B|=20cm,A8=30cm,

那么OiD\cm,。。=5小cm,

由S侧=S上+S下，得

京20+30)X3XDD1=^p(202+302),

・二DO］」3ycm.・••棱台的斜高为13ycm.

在直角梯形。。。。］中，

彳一(00—05)2=44(cm).

，棱台的高为4小cm.

评注此题的关键是找到正棱台中的特别直角梯形.

为你支招＜5空间几何体体积的求解“三法"

空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在详细求解过程中，仅仅记住公式

是远远不够的，还要把握图形的内在因素，把握一些常见的求解策略，敏捷选择恰当的方法

进行求解.

一、直接用公式求解

依据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，

再代入公式进行求解.

例1圆锥的外表积为ISjtcn?,侧面绽开图的圆心角为60。，求该圆锥的体积.

分析依据锥体的体积公式丫=；5力=；兀/儿知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计

算.

兀3+兀〃=15兀,

60X7T/

(2nr=180■

解得4

所以h—yjp—r—ylffir)2-/2=共35户

—y[35r—y[35X-\j^=5事.

所以丫=；兀XX5小=25^7t(cmJ).

评注直接利用几何体的体积公式求体积时，需坚固把握公式，明确各几何量之间的关系，

精确?????进行计算.

二、分割补形求解

当给出的几何体比拟简单，有关的计算公式无法运用时，可以采纳“分割〃或“补形”的方

法，化简单的几何体为简洁的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简洁几何体的体积和或差求解.

例2如下图，在三棱台ABC-ABCi中，AB：AiBi=l：2,求三棱锥A-ABC、三棱锥B

一A18C、三棱锥C-481G的体积之比.

A

分析如图，三棱锥8-4BC可以看作棱台减去三棱锥4一A8C和三棱锥C-4BiCi后剩余

的几何体，然后相比即可.

解设三棱台的高为力，SAABC=S,那么SZ\ABCj=4S.

所以吃棱甄-w-s&ABC-h=^Sh,

咚棱锥cf4G=(SZ\AiB|Cr/i=gs/?.

匕桂台ABC—A4G亭，

又

匕：棱锥片。—吟棱台AAC-AMG_咚棱制一丽_

所以咚棱锥。一4与G=争/2—/汽—/。=会"

所以匕棱锥A_AAC:忆.棱锥—A4c:吟棱锥c_AMG=]•2：4

评注三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体

积.在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而

求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法.

三、等积转换求解

对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过转变顶点和底面，利用体积不变的原理,

求原几何体的体积.

例3如下图的三棱锥。一ABC为长方体的一角，其中OA,OB,0C两两垂直，三个侧面OAB,

OAC,OBC的面积分别为cn?,1cm23cm2,求三棱锥O—A8c的体积.

分析三棱锥O—A8C的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥0—A8C看作C为顶

点，△048为底面.由三棱锥的体积得出三棱锥。一ABC的体积.

落=,

x=\,

解设。A,OB,0C的长分别为xcm,ycm,zcm,那么由可得V5z=l,解得，y=3,

].z=2.

宓=3.

12，

于是VWO-ABC=VC-OAB=^S^OAB^OC

=3X2X1X3X2=l(cm3).

热点跟踪＜6“三共”问题的证法精析

一、证明点共线

例1如下图，在正方体ABCD-AiBiCQi中，设线段4c与平面ABCQi交于。.求证：B、

。、。共线.

证明..,QC平面A8G。，。£平面4|。|。3,

5G平面ABCiG,3G平面AQiCB,

二平面ABCiD]Cl平面A\D\CB=BD].

•.•AC。平面ABCiDi=Q,且AiCU平面A{D\CB,

二。6平面AQ1C8；而QG平面ABGOi.

，。在两平面的交线BO上，，B、。、功共线.

评注证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可依据公

理3证明这些点同在两平面的交线上.

二、证明线共点

例2如图，△48C与△48G三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点

的连线相交于一点.

p

分析要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上.

证明由A山i〃AB,知A/1与AB可确定平面a.

同理CLBI,CB和AC,AC可分别确定平面£和小

又△ABC与△AICi不全等，那么48WAB.

假设A4,BBi的交点为P,那么P6A4,且「CB8.

又/CI尸CG,BB\U}那么PG夕；AAiUy,那么PGy.

所以点P在夕Dy的交线上，

即PGCG,这样点尸在A4,BBl,CG上，即三对对应顶点的连线相交于一点.

评注解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.

三、证明线共面

例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面.

分析四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种状况加以证明.

证明分两种状况证明：

①有三条直线过同一点，如图，

由于入住/4,所以过A,4可确定平面a.

由于8,C,Oe/4,所以8,C,DRa.

所以ABUa,ACUa,AD^a.

因此四条直线l2,h,/4共面.

②任意三条直线都不过同一点，如图.

由于/|C，2=A,所以过/I,，2可以确定平面a.

又由于。，EC/2,B,ce/1,所以。，E,B,Cea.

由EGa,BWa,可得BEUa,即bUa.

同理可证，/4ua.因此四条直线6，h,h,/4共面.

评注证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条

直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面a,另两条直线确定一个平面夕，再证

a,用重合，从而三线共面.

学法指导＜

7平行问题证明的三个突破口

一、由中点联想三角形的中位线，查找平行关系

例1如图，在长方体A8CD—AiBCiCi中，E是C。的中点，求证：A2〃平面

分析要在平面8OE内查找与4。1平行的直线，由条件E是CDi的中点，易想到利用三角形

的中位线来查找.由于底面ABC。是平行四边形，其对角线的交点就是AC的中点，这样就找

到了中位线，从而问题就解决了.

证明连接AC,与BD交于点0.

由于底面ABCD是平行四边形，

所以。是AC的中点.

连接0E,由于E是CQ的中点，

所以0E是△AAC的中位线.所以。E〃AG.

又OEU平面BDE,平面BDE,

所以A。〃平面BDE.

评注运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时，不能无视限制条件：一条直线在平

面内，一条直线在平面外，如此题中OEU平面B£)E,AOg平面BOE,否那么证明不完善.

二、由平行四边形查找平行关系

例2如图，在正方体48CZ5-48IG£>I中，点N在上，点〃在8C上，且CM=ON,

求证：MN〃平面ABBiAi.

分析要在平面内找一条直线与MN平行，可依据平行关系作ME〃BC,N/〃A。来

构造平行四边形，从而找到与MN平行的直线.

证明作ME〃BC交BBi于点、E,作NF〃/1。交AB于点F,连接EF

A,

AFB

由于A£)〃BC,所以NF〃ME.

由于CM=Z)N,BD=B\C,

所以BiM=BN.

NF_BN

由寸蔗=瓦下'AD=BD,

所以ME=NF.

所以四边形MEFN为平行四边形.所以MN〃EF.

又MW平面AB81A1,EFU平面A8BA,

所以MN〃平面ABB\A\.

评注构造平行四边形的关键在于抓住条件特征，合理引入平行线.肯定要留意平行四边形

的一条边在要证的平面内，其对边为待证直线，如此题中直线EF与MN.

三、由对应线段成比例查找平行关系

例3如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD是正方形，M,N分别是P4,8。上的点，

PM_BN

宿一彷

求证：〃平面P8C.

分析条件中给出一个比例关系，由此想到运用比例线段在平面P8C内查找一条直线与

平行.

证明连接AN并延长，交BC于点E,连接尸E.

在正方形A8CZ）内，BC//AD,

「所以ND-AN

1pMBNPMNE

由于r而一而'助'以而=丽，

所以MN〃PE.

又PEU平面PBC,MNQ平面PBC,

所以MN〃平面PBC.

热点跟踪＜

8转化中证明空间垂直关系

空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容.在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面

面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转

化关系.

一、证明线面垂直

证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；

二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直.

例1如图，AB是圆。的直径，以垂直于圆。所在的平面，M是圆周上任意一点，ANLPM,

垂足为点N.求证：4ML平面P8M.

证明由于%垂直于圆。所在的平面，所以南

由于M是圆周上一点，所以

又由于B4CIAM=A,所以8M_L平面

所以BMA.AN.

又由于AN_LPM,PMCBM=M,所以AN_L平面P8M.

评注此题是考查线面垂直很好的载体，它融合了学校所学的圆的特征，在求解时要留意线

线、线面垂直关系的转化.

二、证明面面垂直

证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而

得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到

面面垂直.

例2如图，ZXABC为等边三角形，EC_L平面ABC,BD//EC,且EC=C4=2BO,M是E4

的中点.

⑴求证：DE—DA；

(2)求证：平面平面EC4.

证明(1)如图，取EC的中点F,连接。F,易知DF//BC.

由于EC_LBC,所以。尸_LEC.

在RtA£F£>和RtADBA中，

由于EF=*C=BD,FD=BC=AB,

所以丝.所以DE=DA.

(2)如图，取CA的中点N,连接MV,BN,那么MN〃EC,且MN=；EC.

又EC//BD,且BD=*C,

所以MN〃BD,且MN=8D所以四边形8DWN是平行四边形.所以点N在平面BDW内.

由于EC_L平面ABC,所以EC_LBM

又CALBN,ECQCA=C,所以BN_L平面ECA.

由于BNU平面MN8。，所以平面2£>M_L平面ECA

评注在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题.

三、证明线线垂直

证明线线垂直，往往依据线面垂直的性质,即假如一条直线垂直于一个平面，那么它和这个

平面内的任意一条直线垂直.

例3如图，平面aC平面4=CD,EAla,EB邛,垂足分别为A,B,求证：CO_LA8

证明由于E4_La,CDUa,所以CD_LEA.

又由于EB_L£,CD",所以EB_LCD

又由于EACE8=E,所以CD_L平面ABE

由于ABU平面ABE,QX平面ABE,

所以CDLAB.

评注证明空间中的垂直关系的问题时，常常要用到化归与转化的数学思想，主要表达在线

线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中.其转化关系如下：

判定定理判定定理

线线垂直线面垂直面面垂直

性质定理性质定理

教材延伸（9空间中垂直关系的探究型问题

随着新课程的普及，创新型问题越来越受到高考命题者的青睐，并且渗透到各个章节之中,

下面就直线与空间中垂直关系的开放探究型问题列举两例，供同学们学习.

例1如图，设△ABC内接于。。，力垂直于。。所在的平面.

圉