高中数学概统考试

三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析

第十二章概率与统计

一、选择题

1.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间

到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

()

1123

(A)§(B)-(C)§(D)Z

【答案】B

■【解析】■

试题分析：如图所示,画出时间轴：

7:307:407:508:008:108:208:30

1'ACDB

d诩到达的时间会随机的落在图中线段加中，而当他的到达0寸间落在线段/C或D8时,才能保证他等车的

时间不超过10分钟根据几何被型，所求概率P・山坐■g.故选B.

■40■2

考点：儿何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定"测度"，常见的

测度有：长度、面积、体积等.

2.[2014高考广东卷.理.6]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所

示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，

则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()

4.200,20B.100,20C.200,10

D.100,10

【答案】A

【解析】由题意知，样本容储为（3500+4500+2000）x2%=200,其中高中生人数为

2000x2%=40,

高中生的近视人数为40*50%=20,故选4

【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.

【名师点晴】木题主要考查的是分层抽样和统计图，属于中等题.解题时要抓住关键字眼''样

本容量”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是分层抽样，即

样本容量

抽取比例

总体容量

3.12016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中

月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中/点表示十月的平均最高气温约为15。（2,

8点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（）

---平均・低，-----平均

（A）各月的平均最低气温都在（TC以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大

（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均气温高于2（TC的月份有5个

【答案】D

【解析】

试题分析：由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在。七以上，A正确；由图可在七月的

平均温差大于7.5。。，而一月的平均温差小于7.5。£7,所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；

由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5久7,基本相同，C正确：由图可知平均最高气温高于20七

的月份有3个或2个，所以不正确.故选D.

考点：1、平均数；2、统计图.

【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只

觉得是两把雨伞市:餐在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错

选B.

4.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5

个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

,11105

A.1B.—C.—D.—

212121

【答案】B.

【解析】从袋中任取2个球共有=105种，其中恰好1个白球1个红球共有C；oC=5。种,

所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为%=3,故选5.

10521

【考点定位】排列组合，古典概率.

【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能

力，解答此题关键在于理解所取2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球

的组合，属于容易题.

5.[2014湖南2】时一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、

系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为

0，。2，。3,则（）

c

A.pi=p2<p3B,22=<P\-Pi=Pi<PiD.

P\=Pl=03

【答案】D

【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被

抽到的概率相等,即Pl=P2=外，故选D.

【考点定位】抽样调查

【名师点睛】本题主要考查了简单随机抽样，分层抽样，系统抽样，解决问题的关键是根据抽

样的原理进行具体分析求得对应概率的关系，属于基础题目.

7.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,32）,

从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）

（附：若随机变量《服从正态分布,则P（〃一<J<〃+cr）=68.26%,

P(〃-2b<J<〃+2b)=95.44%。)

(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%

【答案】B

【解析】用及示&零件的长度，根据正态分布的性质得：

p(3<J<6)=g[p(—6<g<6)—尸(―3<4<3)]=09544”6826=01359,故选

B.

【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质.

【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，币;点考查了正态密度曲线的性质以及

如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算

能力.

9.12016高考新课标2理数】从区间[0,1]随机抽取2〃个数/，X2,…，X,,凹，y2,…，

y„,构成〃个数对(王,乂)，(4，%)，…，(X.,”)，其中两数的平方和小于1的数对共

有用个，则用随机模拟的方法得到的圆周率万的近似值为

,、4〃，、2〃，八、4加,、2m

(A)—(B)—(C)—(D)—

mmnn

【答案】C

【解析】

试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为二虬=吗=生，所以

品方形4Rn

4/72

7t----.选C.

n

考点：几何概型.

【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据

题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

11.[2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙

是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中•个球放入甲盒，如果这个球是红球，就

将另•个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中药:球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【答案】c

试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽

到的两个球是一红一黑，目红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：

口黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球

和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故形捌定乙盒和丙盒中异色球的大4关系，而摘到两个红球的

次数与由到两个黑球的次数应是相等的，故选C：

■"■I

考点：概率统计分析.

【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件

对应的基本事件有多种可能，那么•般我们通过逐•列举计数，再求概率，此题即是如此.

列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.

12.12014高考陕西版理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，

则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【解析】

试题分析：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有=10条线段，A,

B.C,。四点中任意2点的连线段都不小于该正方形边长，共有C：=6,所以这2个点

的距离不小于该正方形边长的概率p=—=一，故选c

105

考点：古典概型及其概率计算公式.

【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于中档题.解题时要准确

理解题意由“5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长”.利用排列

组合有关知识，正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数.从而得到所求事件的概率

17.12014课标I,理514位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则

周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

A.-B.-C.-D.-

8888

【答案】D

■【解析】由已知，4位同学各目在周六、周日两天中荐选一天参加公益活动共有2,=16种不同的结果，而‘

周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：(D一天一人，另一天三人，有。：老=8种不同的

备果；(2)周六、日各2人，有点=6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8+6=lM/

不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的枢率为=选D..

!■:168:

【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式.

【名师点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断

该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事

件的总数.

18.12015高考新课标1,理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

己知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试

的概率为()

(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312

【答案】A

【解析】根据独立.市复试险公式得，该同学通过测试的概率为《06X0.4+0.63=0.648,

故选A.

【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，

而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验,本题很好考查了学生

对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题,正确分析概率类型、

灵活运用概率公式是解本题的关键.

22.【2015高考安徽，理6】若样本数据再，X2,…，再。的标准差为8,则数据2玉一1,

2X2-1,…，2%0-1的标准差为()

(A)8(B)15(C)16(D)32

【答案】C

【解析】设样本数据芯，/,%的标准差为J万"则J欣=8,即方基£>X=64,

而数据2%一1,2X2-1,…，2xK)-l的方差。(2X-l)=22。X=22x64,所以其标准

差为应=16.故选C.

【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用.

【名师点睛】已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y=oX+6的均值、方差和

标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解.若随机变量X的均值EX、方差0X、标准

差ja,则数y=a¥+b的均值aEX+b、方差a°DX、标准差aj市.

25.12015高考湖北，理4】设x口N(“，其)，y口N(〃”云)，这两个正态分布密度曲

线如图所示.下列结论中正确的是()

A.P(Y>p2)>P(Y>^)B.P(X<a2)<P(X<

C.对任意正数t,P(X<t)>P(Y<t)D.对任意正数f,P(X>t)>P(Y>t)

【答案】C

'【解析】由正态密度曲线的性质可知，x-Ng£、YS存)的密度曲线分别关于x=4、x=a

时称，因此结合所给图象可得自〈为且b)的密度曲线兢y-N&,")的密度曲线女高“，丽

以0</<%,所以对任意正数f,p(z</)>p(y</).

■■■

【考点定位】正态分布密度曲线.

【名师点睛】正态曲线的性质

①曲线在X轴的上方，与X轴不相交.

②曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称.

③曲线在x=〃处达到峰值一4=.

c/2%

④曲线与x轴之间的面积为1.

定肘,曲线随八〃内变化而沿X利呼移，如区甲所小

⑥〃--定时，曲线的形状由。确定.。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；。越

小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中.如图乙所示.

29.[2015湖南理2]在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲

线C为正态分布N（0,l）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

A.2386B.2718C.3413D.4772

附：若X口NO，/),则尸(〃一cr<XK〃+cr)=0.6826,

P(〃一2cr<X<4+2。)=0.9544

【解析】

试题分析：根据正态分布的性质，P（0<x<l）=lp（-l<x<l）®0.34,故选C.

2

【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.

【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给

出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关

注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.

1.12016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处HI发，先到F处与小红会合，再

一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数

为（）

(A)24(B)18(C)12(D)9

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共

有C；条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为♦《=18条，故选B.

考点：计数原理、组合.

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，

类与类之间是独立的.

分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这

件事，步步之间是相关联的.

2.【2016年高考四川理数】设/为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含X’的项为

(A)—15x4(B)15x4(C)-20/x4(D)20/X4

【答案】A

'【解析】',

试题分析：二项式(x+i)6展开的通项工1=，；/■'」,令6-一4,得r=2,则展开式中含x，的项为.

Cixi2=-\Sx,故选A.

■・■

考点；二项展开式，复数的运算.

【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎

是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式

(x+z)6的展开式可以改为。+x)6,则其通项为C：产Y,即含丁的项为c：产与4=一15/.

10.12014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排

甲，则不同的排法共有()

A.192种B.216种C.240种D.288种

【答案】B

【解析】

试题分析：最左端排甲，有5!=120种排法；最左端排乙，有4x4!=96种排法，共仃

120+96=216种排法.选B.

【考点定位】排列组合.

【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题

与顺序有关，组合问题与顺序无关含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，

再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.通常用直接

法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

15.[2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1

个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

【答案】B

■【解析】'

试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有

谒/，=6x2x2=24（种）：第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有

@44/=6x2x2x4=96（种）；根据分类颁去计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.

■■_________________________________________

考点；1、分类加法计数原理；2、排列.

【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题，属于中档题目，根

据条件将分类，然后用分类计数原获得结果.

18.12014辽宁理6】把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）

A.144B.120C.72D.24

【答案】C

■1

试题分析：将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6,故任何两人不相邻的做法，可安排:“135”「136”严1,4,6”3.

“24,6”号位遇坐人，故总数由4/；=24,故选“

考点：排列组合.

【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本

是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人

都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.

本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题

的能力.

7.12014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品/与产品8相邻，且

产品A与产品。不相邻，则不同的摆法有种.

【答案】36

"ira■

试题分析:先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有《种方法，而A、B可交换位置,所以有2£=48

■

种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2勾=12种摆法，故满足条件的摆法有48-12=36种..

考点：排列组合，容易题.

【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年

都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考

查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题

用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.

9.12014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个

数的中位数是6的概率为.

【答案】

6

【解析】上述十个数中比6小的数有6个，比6人的数有3个，要使得所选的七个数的中位

数为6,则应该在比6大的数中选择3个，在比6人的数中也选择3个，因此所求事件的概

【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.

【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和占典概型，属于中等题.解题时要抓住重要字眼

“中位数是6"，否则很容易出现错误.用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防

止出现错误.解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即

A包含的基本事件的个数

(^基本事件的总数'

16.【2016高考上海理数】在(五-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256,

则常数项等于

【答案】112

【解析】

试题分析:

因为二项式所有项的二项系数之和为2",所以2"=256,所以n=8,

L2---t84

二项式展开式的通项为丁川——）r=（—2）,C；x33,令——r=0,得r=2,

x33

所以13=112.

考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.

【名师点睛】根据：项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是

二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的

通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.

2.[2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上

时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.

3

【答案】-

2

【解析】

治题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结集有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次'

试蛉中成功次数<的取值为0J2,其中R4=0）=：,P&=1）=1.=2）=:,

424

113

在1次试勘中成功的率为P（^>I）=4+-=4，

■4-4-■

□I□4g

所以在2次试蛉中成功次数X的粒率为P（X=l）=Cjx£xl=i,I\X=2）=弓尸=弓,

448416

EY=lx-34-2x9—=3i

8162

■■

考点：离散型随机变量的均值

【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有

可能取值玉,々,…，怎,再求得对应的概率耳。=1,2,…，则均值为4.

8.12015高考广东，理13］已知随机变量X服从二项分布8（〃,p）,若E（X）=30,

D（X）=20,则0=.

【答案】

3

【解析】依题可得E（X）=〃p=30且。（X）=〃p（l—p）=20,解得p=；,故应填入;.

【考点定位】二项分布的均值和方差应用.

【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题，解答

此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式E（X）=印，O（X）=np（\-p）并运用

其解答实际问题.

11.【2014年.浙江卷.理12】随机变量J的取值为0,1,2,若P（J=0）=（,£代）=1,

则。（/=.

2

答案：-

5

解析：设J=1时的概率为p，则E（J）=0x［+lxp+2x（l—p—1）=1,解得p=1,

故0僮）=（0_鹏+（］_］八|+（2_］区=|

考点：方差.

【名师点睛】本题主要考查相互独立事件的概率公式的应用，解决问题的关键是根据所给条

件求解对应事件的概率，然后求方差即可；求相互独立事件同时发生的概率的方法：（1）利

用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事

件入手计算

2.12016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用

三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个

200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购

买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下

面柱状图：

ill!

8910

'■的秣0

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(I)求X的分布列；

(II)若要求。(入〈〃)20.5,确定〃的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与w=20之中选其一,应选用

哪个？

【答案】⑴见解析(ID19(ill)〃=19

【解析】

试题分析：(I)先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22〃再用相互独立事件概率模型求

概率，然后写出分布列；(H)通过频率大小进行比较；(川)分别求出n=9,n=20的期望，根据

〃=19时所需费用的期望值小于〃=20时所需费用的期望值，应选〃=19.

试题解析：(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易战零件数为

8,9,10,11的概率分另I」为0.2,0.4,0.2,0.2,从而

p(x=16)=0.2x02=0.04；

=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

P(X=19)=2x0.2义0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x02=0.04.

所以X的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(H)由(I)知P(X418)=0.44,尸(XW19)=0.68,故〃的最小值为19.

(III)记F表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)一

当〃=19时目=19x200x0.68+(19x200+50ax0.2+(19x200+2x50ax0.08

+Q9x如0+3x500x0.04=4040.

当”=20时，

ZZ=20x200x0.88+(20x200+50%0.08+(20x200+2x50®x0.04=4080.

可知当w=19时所需费用的期望值小于并=20时所需费用的期望值，故应选彦=19.

考点：概率与统计、随机变量的分布列

【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但

难度不是太大大,求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

3.12015高考天津，理16](本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比

赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙

协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”

求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(I)—；

35

(II)随机变量X的分布列为

X1234

1331

P

TZ7714

E(X)=

【解析】(I)由已知,有

C；C；+C；C；_6

P(N)

c：35

所以事件〃发生的概率为9.

35

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

尸(丫=左)=(*=1,2,3,4)

~cT

所以随机变量X的分布列为

【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列可数学期望.

【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把

实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价

值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.

4.12016高考新课标2理数】某险种的基本保费为。(单位：元)，继续购买该险种的投

保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:

上年度出险次数01234>5

保费0.85aa1.25Q1.5a1.75a2a

设该险种一续保人-年内出险次数与相应概率如F：

一年内出险次数01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;

(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【答案】(1)0.55；(II)；(III)1.23.

【解析】

试题分析：(I)根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(II)一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3,由条件概率

公式求解；(W)记续保人本年度的保费为X,求X的分布列，再根据期望公式求解.

试题解析：(I)设/表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件/发生当且仅当一年内出

险次数大于1，故N⑷=0.2+02+0.1+0.05=055.

(II)设6表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件方发生当且仅当一年内出险

次数大于3,故氏3)=01+005=0.15.

又P(如尸⑶，故明/)=需=筋啮年

因此所求概率为2.

(III)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为

X0.85。a1.25a1.5。1.75。2。

P0.300.150.200.200.100.05

EX=().85ax().3()+ax().15+1.25。x().2()+1.5。x0.2()+1.75ax().10+2ax0.05

=1.23。

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23

考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.

【名师点睛】条件概率的求法：

(D定义法：先求尸(4)和尸(48),再由P(8M)=粤瞿，求P(8⑷：

(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先

求事件A包含的基本事件数«U),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数

n(AB),得尸(8|/)="(斐).

求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)

求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)山均值定义求出E(X).

14..12016高考山东理数】(本小题满分12分)

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜•个成语，在一轮活动中，

如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人

都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是'，乙每轮猜对的概率是士：每轮

43

活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

(I)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(II)“星队”两轮得分之和为才的分布列和数学期望EX.

223

【答案】(I)*(II)分布列见解析，EX=—

36

【解析】

试题分析：(1)找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，山独立事件的概率公

式和互斥事件的概率加法公式求解：(II)由题意，随机变量I的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得到X的分布列，根据期望公式求解.

试题解析：

(1)记事件人:“甲第一轮猜对”,记事件B：“乙第•轮猜对”,

记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，

记事件E：“，星队'至少猜对3个成语”.

由题意，E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的独立性与互斥性，

P(E)=P(ABCD)+P(1BCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+尸(ABCD)

=/⑷P(8)P(C)P(O)+P(7)P(B)P(C)尸(0+尸⑷P⑻P(C)P(0+

P(/)P⑻尸(弓尸(O)+P(/)P⑻P(C)P(方)

3232.(12323132、

――-x—x—x—I-2x-—x—x—x—I--x—x—x—•

4343(43434343J

_2

2

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为

3

(II)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

山事件的独立性与互斥性，得

11111

p(x=o)=—X—X-X——

4343L44

3111121105

P(X=l)=2x—X-X—X—+—X—X—X—=-------=

43434343J14472

313131121231121225

P\X-2)=­x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x—I—x-x-x-=---

\,4343434343434343144

「43%衿+%衿

7V八c(32313212、_60_5

P(X=4)=2x—x—x—x—+—x—x—x—

\>(43434343)一不一'

小人32321

P(X=6)=—x—x—x—=一.

,743434

可得随机变量X的分布列为

X012346

p152515J_

1447214412124

152515123

所以数学期望EX=0x——+lx—+2x—+3x—+4x—+6x1=—.

14472144121246

考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.

【名师点睛]本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分

布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，

利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数

学应用意识、基本运算求解能力等.

17.[2016高考天津理数】（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.

现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件4发生的概率：

（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期

望.

【答案】（I）-（II）详见解析

3

【解析】

试题分析：（1）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：G3再确定选出的2

人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：C；C：+C：,最后根据概率公式求概率

（H）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公

式计算数学期里

试题解析：解：（I）由已知，有

C103

所以，事件4发生的概率为

3

（口）随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

Hx=o）/+.盘4

do15

7

P（X=1）=c；C+c；c：

15

GC_4

P（X=2）

Go-15

所以，随机变量X分布列为

X012

474

P

151515

474

随机变量X的数学期望E（X）=0x]+lxj+2x^=l.

考点：概率，概率分布与数学期望

【名师点睛】求均值、方差的方法

1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；

2.已知随机变量，的均值、方差，求：的线性函数n