工程力学 梅群 第2版 课件全套 第1-15章 静力学基本概念和物体的受力分析- 压杆稳定

工程力学工程力学理论力学材料力学机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。理论力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。物体：指速度远小于光速的宏观物体。理论力学的研究对象

早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》奠定了静力学基础。意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。意大利的伽利略(1564~1642)自由落体定律、惯性原理及加速度的概念。

英国的牛顿(1643~1727)建立经典力学。理论力学发展史静力学：运动学：动力学：研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。理论力学的研究内容理论力学篇——

静力学第一章静力学基本概念和物

体的受力分析§1.1静力学基本概念

静力学研究物体在力系作用下的平衡规律。何谓平衡？何谓力系？力系分类：按力的作用线分布：平面力系和空间力系；按力的作用线关系：汇交力系、平行力系和任意力系。理想化的力学模型。由于静力学研究的力学模型是刚体和刚体系统，故静力学又称刚体静力学。1.刚体的概念何谓刚体？

力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体的形状发生改变。外效应或运动效应；内效应或变形效应。

接触否？2.力的概念

力的三要素？单位？力的矢量表示。ABF何为矢量？仅有大小和方向？静力学研究的问题1）物体的受力分析2）力系的等效替换（力系的简化）3）建立各种力系的平衡条件§1.2静力学公理及推论

公理1二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。此公理提供了一种最简单的平衡力系。只受两个力作用而平衡的构件，叫二力构件或二力杆。FF'AB

公理2加减平衡力系公理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

作用在刚体上的力可沿其作用线任意移动，而不改变该力对刚体的作用。

推论1力的可传性原理AFBABFF1F2ABF2==作用于刚体上的力的三要素，滑动矢量

公理3力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，或者说，合力矢等于这两个力矢的矢量和，表示为：AF1FRF2

推论2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。说明：该定理是不平行三力平衡的必要条件，即：三力平衡必汇交。三力汇交不一定平衡。F1F2ABCF3F12平衡时必与共线，则三力必汇交于O点，且共面。

公理4作用与反作用定律两物体间相互作用的作用力和反作用力总是同时存在，大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在这两个物体上。

它是受力分析必须遵循的原则。ABBAFB′FBFA′FA

公理5刚化公理柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。它建立了刚体力学与变形体力学的联系。反之不一定成立。刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡）§1.3约束和约束力自由体——位移不受限制的物体。非自由体——位移受到限制而不能作任意运动的物体。

约束——对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。

约束力——约束作用于非自由体的力。(简称：反力、支反力)

除约束力外，非自由体上所受到的所有促使物体运动或有运动趋势的力，称为主动力。约束力是由主动力引起的，故它是一种被动力。

约束力取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。约束力阻止物体运动的作用是通过约束与物体相互接触来实现的，因此它的作用点在相互接触处；它的方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。约束力为拉力，作用线沿柔索背离物体。1.柔性约束约束力沿接触面公法线方向指向物体。2.光滑接触约束FN法线切线FN3.光滑铰链约束(1)连接铰链

约束力过销中心，大小和方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。FxFyFN

约束力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。(2)固定铰支座FRFxFy（3）滚动铰支座Fy(1)向心轴承(径向轴承)4.其它约束FByFBxFBz(2)止推轴承B(3)球铰链固定端接触面FAyFSAFNAFSAFNAMA柔性FAx若光滑，FSA=0AA约束类型固定铰链支座FNAFAx可动铰链支座连接铰链FAxFAyFAyAAA

解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即确定研究对象；然后考查和分析它的受力情况，这个过程称为进行受力分析。

分离体——把研究对象解除约束，从周围物体中分离出来，画出简图。

受力图——将分离体所受的主动力和约束力以力矢表示在分离体上所得到的图形。§1.4物体的受力分析和受力图

解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。1、确定研究对象，取分离体；2、先画主动力，再明确研究对象所受周围的约束，进一步明确约束类型，画对应约束力；3、必要时需用二力平衡共线、三力平衡汇交、作用与反作用等条件确定某些反力的指向或作用线的方位。注意：(1)受力图只画研究对象的简图和所受的全部力；(2)每画一力都要有依据，不多不漏；(3)不要画错力的方向，反力要和约束性质相符，物体间的相互约束力要符合作用与反作用公理。受力分析的步骤例1-1：用力F

拉动碾子，遇到障碍A。画碾子的受力图。FPBABAPFFAFB例1-2：如图所示结构，画AD、BC的受力图。DCBAPFAyFAxACDF'CPF'CDCAPFABCFBFC例1-3梯子如图所示。画出下列各研究对象的受力图：（1）绳子DE；（2）AB杆；（3）AC杆；（4）

整体。DECBAEDBADCAE说明：三力平衡必汇交当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特殊情况。例1-4画出下列各构件的受力图。例1-5画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图。TTWABCD1、研究滑轮2、研究CD杆ABC3、研究AB杆4、研究整体WABCDTTWTCBA研究整体时，不画物体间的内力。工程力学第二章平面力系平面力系：各力的作用线处于同一平面内的力系。平面汇交力系：各力的作用线处于同一平面内且汇交于一点的力系。§2.1

平面汇交力系1.平面汇交力系合成与平衡的几何法AF1FRF2AF1FRF2F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeFR1FR2力多边形法则F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。用矢量式表示为：如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。

在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：例2-1已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：∵当碾子刚离地面时FNA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力FB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,FB=23.1kN所以又由几何关系：2.平面汇交力系合成与平衡的解析法力在坐标轴上的投影FxyFxFyabO力的正交分解与力的解析表达式FFxFyxyijO合力投影定理

平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。平面汇交力系合成的解析法合力的大小：方向:

作用点:力的汇交点平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系平衡条件：由得例2-2已知P=2kN，求FCD,FA解:1)取AB杆为研究对象2)画AB的受力图3)列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：4)解方程§2.2力矩和平面力偶理论MO(F)OhrFAB1.力对点之矩（力矩）力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位常用N·m或kN·m。2.合力矩定理与力矩的解析表达式平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对该点之矩的代数和。1）合力矩定理即

FFxFyxyOqxyA2）力矩的解析表达式例2-3求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置。取微元如图3.平面力偶与力偶矩

由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F,F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。

力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。1）力偶d

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：

(1)力偶矩的大小；

(2)力偶在作用面内的转向。2）力偶矩

平面力偶可视为代数量，以M或M(F,F')表示:

平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。4.平面力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论：任一力偶可以在它的作用面内任意移动转动，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度常用如图所示的符号表示力偶，M为力偶的矩力偶与力偶矩的性质1)力偶在任意坐标轴上的投影等于零。力矩的符号2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶矩的符号M3)只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动转动，且可以同时改变力的大小与力臂的长短，而对刚体的作用效果不变。==4)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。==M1(F1,F'1)，M2(F2,F'2)

在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。5.平面力偶系的合成和平衡条件已知任选一段距离d,使得所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即思考题1刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4思考题2从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？PORMFO例2-4不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2解:取杆AB为研究对象画受力图。

杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A处约束力的方位可定。ABCM1FAFC

Mi=0FA=FC=F,AC=aFa-M1=0M1=Fa(1)60o60oABCDM1M2取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定,则D点约束力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCAFDFC

FD=FC

Mi=0-0.5Fa+M2=0M2=0.5Fa(2)联立(1)(2)两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2例2-5图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车为P=20kN，求：导轨对A、B轮的约束力。解:

Mi=0；FA·400–P·60=0；

得：FA=3kN，FB=FA。PFFBFAP60cm400cmFAB力偶仅能被力偶平衡例2-6图示结构，已知M=800N·m，求A、C两点的约束力。§2.3

平面任意力系的简化1.力线平移定理

可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。ABMABF′F′F″FABF＝＝AB①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶M，且M=F·d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：力线平移定理的逆定理(一个力和一个力偶合成为一个力):将力矢量逆着力偶转向旋转90°，量取

，即得到该力的作用线。ABMF′F＝dOxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.平面任意力系向一点简化，主矢与主矩平面汇交力系

力，FR′

(主矢，作用在简化中心)平面力偶系

力偶，MO(主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为1)平面任意力系向一点简化·主矢与主矩

平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。2)主矢与主矩

原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O

。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。3.平面任意力系简化结果分析四种情况：(1)F′R=0，MO≠0;(2)F′R

≠0，MO=0;(3)F′R≠0，MO≠0;(4)F′R=0，MO=0(1)平面任意力系简化为一个力偶

平面力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。

F′R=0，MO≠0

如果主矩等于零，主矢不等于零，则平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。(2)

平面任意力系简化为一个合力

F′R≠0，MO=0如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′(3)平面任意力系简化为一个合力

F′R≠0，MO≠0如果主矢和主矩均等于零，此时平面任意力系平衡。(4)

平面任意力系平衡

F’R=0，MO=0主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力作用线距简化中心结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO′从图中可以看出所以由主矩的定义知：AAA

一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。4.平面固定端约束AMAFAyFAxFAMA简化中心：A点主矢思考：三角形分布载荷处理？主矩简化最终结果yxMAdxl

分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。5.平行分布线荷载的简化结论：1)合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积;2)合力的方向与线荷载的方向相同;3)合力的作用线通过荷载图的形心。1)均布荷载2)三角形荷载3)梯形荷载l/2l/2qQQqq2q1可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加。§2.4

平面任意力系的平衡条件和平衡方程1.平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即：由于可得平面任意力系的平衡方程(1)一般式2.平衡方程平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。(2)二矩式其中AB连线不垂直于投影轴x。平衡过A点的合力合力为0(平衡)合力沿AB连线合力为0(平衡)合力垂直x轴力系不可能简化为一力偶或或或(3)三矩式其中A、B、C三点不共线。平衡过A点的合力合力为0(平衡)合力沿AB连线合力为0(平衡)合力沿ABC连线力系不可能简化为一力偶或或或平面任意力系的平衡方程(1)一般式(2)二矩式(3)三矩式注意：

以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数；投影轴应选在与尽可能多的未知力垂直的方向上；矩心应选在尽可能多的未知力的交点上。解：以刚架为研究对象，受力如图。解之得：例2-7求图示刚架的约束力。APqFAyFAxMAAPabq例2-8求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：ABCPqmFBFAyFAxABCPabqm例2-9悬臂吊车如图所示。横梁AB长l=2.5m，重量P=1.2kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q=7.5kN。求图示位置a

=2m时拉杆的拉力和铰链A的约束力。解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出

支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45°；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCF例2-10

1）取AB杆为研究对象，受力分析如图。ABDCFFFCFAyFAxllABC2）列平衡方程。解：3）求解平衡方程可得若将力FAx和FAy合成，得FFCFAyFAxllABC

外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m。试求铰支座A及支座B的约束力。F1ABl2l1llF2M例2-111)取梁为研究对象，受力分析如图。3)解方程。FAxABxyFAyF1FByF2M解：2)列平衡方程。F1ABl2l1llF2M

三铰拱桥如图所示，左右两段由铰链C连接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m例2-12AC1)取AC段为研究对象。解：2)受力分析如图。DFCxGFAxFAyFCyABCDEGF3mG1m6m6m6m3)列平衡方程。4)再取BC段为研究对象，受力分析如图。ACDFCxGFAxFAyFCyGF′CxFBxFByCEBFF′Cy6)联立求解。

FAx=-FBx=FCx=9.2kN

FAy=42.5kN，FBy=47.5kN，FCy=2.5kN5)列平衡方程。GF′CxFBxFByCEBPF′CyF

自重为G=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示，其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。ADl

l3lqBMFG例2-131)取T字形刚架为研究对象，受力分析如图。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx解：ADl

l3lqBMFG2)按图示坐标，列写平衡方程。3)联立求解。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx

由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。

当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。

因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。§2.5物系的平衡

在静力学中,求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目等于独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为超静定问题或静不定问题。总未知量数与总独立平衡方程数之差称为超静定次数。

超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移协调条件来求解。静定（未知数三个）超静定（未知数四个）

组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN·m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例2-14CE1）取CE段为研究对象。解：2）受力分析如图。4）联立求解。FE=2.5kN，FC=2.5kN3）列平衡方程。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4F1M3l/8Il/8FCFE6）列平衡方程。7）联立求解。FA=15kN，MA=-2.5kNMAF2l/4JAFCHl/8l/8FA5）取AC段为研究对象，受力分析如图。

两根铅直杆AB、CD与水平杆BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l=2m，受力情况如图所示。已知水平力F=6kN，M=4kN·m，q=3kN/m。求固定端A及铰链C的约束力。MBCFByFBxFCxFCy解:1)取BC分析求得结果为负说明与假设方向相反。例2-15ABCDF2l/3l/2Mq02)取CD分析FCDF'CxF'CyFDxFDy求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2Mq0Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA3)取AB、BC分析求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2Mq0工程力学§3.1

力在空间直角坐标轴上的投影1.投影第三章空间力系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法xyzagbFcabOyxzFFxFyFzFxyjg

当力与坐标轴x，y间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x，y轴上，这叫间接投影法。已知：F

夹角j,g,求：Fx

,Fy

,Fz

.

Fxy=FsingO1)合成将平面汇交力系合成结果推广得：合力的大小和方向为：2空间汇交力系的合成与平衡或2)平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：

该力系的合力等于零。由以解析式表示为：亦即：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例3-1重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，已知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，b=45°，不计杆重，求绳索的拉力和杆所受的力。解：以A为研究对象，受力如图。由几何关系：解得：1.空间力偶的矢量表示§3.2空间力偶zxyOF′FzxyOFF′zxyOFF′

由以上分析可知：空间力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。可用一矢量M表示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向；M的作用线与力偶作用面的法线方位相同。

M称为力偶矩矢。力偶矩矢为一自由矢量。

空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。FMF'力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。

空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：2.空间力偶系的合成与平衡根据合矢量投影定理：于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：空间力偶系的合成

空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：所以：上式即为空间力偶系的平衡方程。空间力偶系的平衡求:轴承A,B处的约束力。例3-2已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。解：取整体，受力图如图所示.§3.3力对点之矩和力对轴之矩1.力对点之矩以矢量表示——力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB

空间力对点之矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示。

其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用面的法线。

由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。以r表示力作用点A的矢径，则以矩心O为原点建立坐标系，则xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F对z轴之矩定义为：力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。2.力对轴之矩xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。

由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴之矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对轴的矩不变。力对轴之矩实例FzFxFyxyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有比较力对点之矩和力对轴之矩的解析表达式得：即：力对某点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。3.力对点之矩与力对通过该点轴之矩之间的关系求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。解：yxzFjqbcaFxy例3-3如图，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。解：FbbcaABCDa例3-4§3.4空间任意力系向一点简化及平衡条件1.向一点简化

空间力系向点O简化→空间汇交力系+空间力偶系，如图。主矩主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点之矩与力对轴之矩的关系，有空间汇交力系的合力

结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。—有效推进力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头2.平衡方程F'R＝0，MO＝

0空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。空间汇交力系空间力偶系空间平行力系空间任意力系平衡方程的几种特殊形式例3-5已知：求：解：把力分解如图解：取小车，作受力图解得例3-6小车自重P=8kN作用于E点，作用于C点载荷

P1=10kN。求：A，B，D处的约束力。DCPEHGFxyzBAF2F1F3F4F5F6ΣMAB=0,ΣMAE=0,ΣMAC=0,ΣMBF=0,ΣMDH=0,ΣMFG=0,例3-7图示水平的矩形均质板重P，用6根直杆支承，直杆两端均为球铰。水平力F=2P。求：各支杆的内力。F解：取板，作受力图§3.5

重心

物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，该力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。1.重心坐标一般公式计算重心坐标的公式为对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：均质物体的重心就是几何中心，即形心。2.确定重心的方法1）简单几何形状物体的重心2）组合法找重心则例3-8已知：均质等厚z字型薄板尺寸如图所示。求其重心坐标。解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可。用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为

例3-9求图示均质板重心的位置。解一：（组合法）建立如图坐标：解二：（负面积法）

x

y

a

a

a

a

C1

C2

O

x

a

a

a

a

C2

C1

O

y工程力学理论力学篇——

运动学

运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。

运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础；其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。

时间概念：瞬时和时间间隔。

运动学所研究的力学模型为：点和刚体。运动实例1——刨床运动实例2——飞机机动飞行运动实例3——齿轮传动运动实例4——齿轮齿条传动运动实例5——四连杆机构第四章点的运动描述和刚体基本运动

§4.1

点的运动描述

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本节研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。1.运动方程

选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即一、矢径法MrO2.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。

动点的速度矢沿着矢径矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度

点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。

有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。

如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定二、直角坐标法这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。

如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：MrOkijyyxxzz

速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度若已知速度的投影，则速度的大小为其方向余弦为

加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为其方向余弦为加速度三、自然法1.弧坐标这就是自然坐标形式的点的运动方程。

设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即MOs(-)(+)2.自然轴系

即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即Mnbt

曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。3.曲率MM'△s△jtt'两个相关的计算结果(当Δt→0)OMM't"t't△j△s△t4.点的速度用矢量表示为：

在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。rr'△rMM'△stv5.点的切向加速度和法向加速度由于所以上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。全加速度为at和an的矢量和大小：方向：解：取M点的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例4-1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即j=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B做上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

将j=wt带入上式，得M点的运动方程：将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：例4-2一人高h2，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标系x如图所示，由几何关系得:上式对t求一阶导数，得M点的速度为:h1h2xmx2Mx

例4-3杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝wt(w为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系，则即为小环M的运动方程。故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为且有§4.2

刚体的平移

如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。刚体平移的速度和加速度yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O平移刚体各点的速度相同平移刚体各点的加速度相同§4.3

刚体定轴转动

在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。两平面间的夹角用j表示，称为刚体的转角，用弧度(rad)表示。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置。

符号规定：自z轴的正端往负端看，从固定面起，逆时针转向为正；顺时针转向为负。一、转角

当刚体转动时，转角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。

转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:

角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s(弧度/秒)表示。

角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。二、运动方程三、角速度

角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即

角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。

如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。四、角加速度

工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，w与n的转换关系为匀速转动匀变速转动§4.4

定轴转动刚体内

各点的速度和加速度当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都做圆周运动:圆心在轴线上;圆周所在的平面与轴线垂直;圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为

设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是一、速度转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。

点M的加速度有切向加速度和法向加速度。切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。二、切向加速度法向加速度为：

转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。三、法向加速度1）如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；2）如果w与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。速度和加速度点的速度：(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。

(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q都有相同的值。点的全加速度：

例4-4齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、w1、α1，求w2、α2。解：因啮合点无相对滑动，所以由于于是可得即w1α1r1O1O2r2w2α2v1v2aτ1aτ2

解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为求当t=1s时，则为因此轮缘上任一点M的速度和加速度为方向如图所示。例4-5一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为,

单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。M点的全加速度及其偏角为现在求物体A的速度和加速度。因为因此上式两边求一阶及二阶导数，则得§4.5以矢量表示的角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度

角速度矢量从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由决定，指向由右手法则确定。以表示z轴的单位矢量，则角速度矢量对上式求导，则角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。角速度矢量用矢积表示点的速度

在旋转轴上任选一点O为原点，动点的矢径用r表示，则点M的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即

转动刚体上任一点的速度等于刚体的角速度矢量与该点矢径的矢量积。用矢积表示点的加速度将速度矢量对时间求一阶导数，有分析两项的大小和方向，有

转动刚体上任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。

转动刚体上任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。工程力学第五章点的合成运动§5.1绝对运动、相对运动和牵连运动xy'x'yo'o

相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。

习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，以Oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，以O'x'y'坐标系表示。

用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：(1)动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动(absolute)；(2)动点相对于动参考系的运动，称为相对运动(relative)；(3)动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动(embroil)。vavevr定参考系动参考系动点牵连运动绝对运动相对运动一点、二系、三运动xy'x'yo'ovavevr(1)动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。

(2)动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。

由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系做平动，否则其上各点的运动都不完全相同。

由于动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：

在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示)。解：静系取在地面上，动系取在杆上，则牵连点的概念例5-1如图杆长l，绕O轴以角速度w转动，圆盘半径为r，绕O′轴以角速度w′转动。求圆盘边缘M1和M2点的牵连速度。§5.2点的速度合成定理点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。处理具体问题时应注意：(1)选取动点、动参考系和定参考系。(2)应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。

动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。

动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。动点动系动点动系动点动系点线接触点线接触点圆接触

点线、点圆接触问题中，常取接触点为动点，动系固连在具有长的直线形或圆形轨道的物体上(即直线或圆所在的物体上)。线圆接触线圆接触动点动系动点动系例5-2如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w

绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。ABeCOqwvevavrq解：因为杆AB做平动，选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例5-3刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为ω，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度ω1。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。jAO1OwBjvevavr例5-4水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：uABOMrjvrvave例5-5求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设OA=a,AC＝b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vAqBCOvavevrvCwOCO'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae§5.3牵连运动是平动时点的加速度合成定理点的速度合成定理两边对时间求导右边第一项：右边第二项：牵连运动是平动时点的加速度合成定理O'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae

曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω做匀角速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。例5-6解：1.选择动点，动系与定系：动系——Bx′y′，固连于丁字形杆。2.运动分析绝对运动——以O为圆心的圆周运动。相对运动——沿槽CD的直线运动。牵连运动——丁字形杆BC

沿水平方向平动。动点——滑块A定系——固连于机座。应用加速度合成定理3.加速度分析绝对加速度aa：aa=OAω

2，沿着OA，指向O。相对加速度ar：大小未知，方向沿铅直槽DE。牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量，沿水平方向得杆BC的加速度

凸轮在水平面上向右做减速运动，如图所示。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。例5-7

解：1.选择动点，动系与定系动系——Ox′y′，固连于凸轮。2.运动分析绝对运动——直线运动牵连运动——水平平动动点——AB的端点A。相对运动——沿凸轮轮廓曲线运动定系——固连于机座。3.速度分析绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆

周的切线

。牵连速度ve：ve=

v，方向水平向右。根据速度合成定理可求得：4.加速度分析绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量，方向沿直线AB。相对加速度切向分量art：

大小未知，垂直于OA，假设指向右下。牵连加速度ae：ae=

a

，沿水平方向。相对加速度法向分量arn：arn=vr

2/R，沿着OA，指向O。根据加速度合成定理上式投影到法线n上，得解得杆AB在图示位置时的加速度例5-8图示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ω0转动。套筒A可沿BC杆滑动。已知BC=DE，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：1.选择动点，动系与定系动系——Cx′y′，固连于杆BC。2.运动分析绝对运动——以O为圆心的圆周运动。牵连运动——平动。动点——滑块A。相对运动——沿杆BC直线运动。定系——固连于机座。

3.速度分析绝对速度va：va=ω0r，垂直于OA向下。相对速度vr：大小未知，方向沿杆BC向左。

牵连速度ve：ve=

vB，垂直于BD向右下。可得因而杆BD的角速度大小为应用速度合成定理4.加速度分析。绝对加速度aa：aa=ω0r

，沿OA，指向O。牵连加速度切向分量aet：

与aBt相同，大

小未知，垂直于DB，假设向下。相对加速度ar：大小未知，沿BC杆，指向未知，假设向右。牵连加速度法向分量aen：aen

=aBn=ω2l=ω02r2/l，方向沿直线DB，指向D。上式两端向y轴投影得解得根据加速度合成定理所以杆BD的角加速度例5-9平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O转动的角速度为ω，角加速度为α。求OC与水平线成夹角φ时顶杆的速度和加速度。BACOjyxwMαM解法1用运动方程求解。因推杆做平动，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：BACOjyxwMαMy解法2取圆盘的中心C为研究的动点，动参考系与平底推杆AB固连，分析动点的速度和加速度如图所示。BACOjyxwMMαj可求得：向y轴正向投影：BACOjyxMj线圆接触线圆接触动点动系动点动系§5.4牵连运动是转动时点的加速度合成定理rO'O'j'k'i'y'z'x'xyzO

设动参考系O'x'y'z'以角速度we绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k'的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArAwe同样可得i′、j′的导数：rMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzO

点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。令 ,称为科氏加速度，于是有qwevraC科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。aC大小为工程中常见的平面机构中，we垂直于vr，此时aC=2wevr，且vr按we转向转90°就是aC的方向。weaCvr当牵连运动为平动时，we=0，因此aC=0，此时有这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。在北半球,沿经线(南北)流动的河流的右岸易被冲刷(如香江),铁路的右轨磨损厉害，在南半球则相反。例5-10刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为ω，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度ω1和角加速度。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。vevavrjAO1OwBjAO1OBww1a1araetaenaaaC由于动参考系做转动，因此加速度合成定理为：jAO1OBw1a1araetaenaaaCh为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影：即：得：摇杆O1B的角加速度：ABOCw例5-11偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径为，以匀角速度w绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。vrvaveq解：选取杆AB的端点A作为动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。ABOCwq加速度分析如图arnartaCaaaenh例5-12图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB＝10cm，OB与BC